【核心素养】人教版小学数学三年级上册《集合思想的应用》教案

【核心素养】人教版小学数学三年级上册《集合思想的应用》教案一、教学内容解析（一）【基础】教材地位与作用本节课《集合思想的应用》是人教版义务教育教科书小学数学三年级上册第九单元“数学广角——集合”的第一课时，也是学生第一次正式接触数学中的集合思想。在小学数学教学体系中，这属于渗透数学思想方法的起始课，具有承上启下的关键作用。此前，学生在一年级学习分类时，已经初步感知了把具有相同特征的事物放在一起，这为理解集合的概念埋下了伏笔。在此之后，学生将在解决更复杂的实际问题，如容斥原理、排列组合等问题时，反复应用这种思想方法。集合思想是数学中最基本的思想之一，它不仅贯穿整个中小学数学学习（如数的分类、图形的集合定义、概率中的事件等），更是培养学生逻辑思维、抽象思维和全面思考问题能力的重要载体。通过本节课的学习，学生将经历从生活问题中抽象出数学模型的初步过程，体会数学符号的简洁与优美，感受数学与生活的紧密联系14。（二）【难点】核心概念与思想方法本节课的核心是引导学生经历集合图的产生过程，理解并掌握解决简单的重叠问题（即容斥原理）的基本方法。其核心思想是“包含与排除”，即在计算两类事物的总和时，要减去重复计算的部分4。具体而言，学生需要理解：1.集合的概念：一些具有共同特征的人或事物组成一个整体。2.子集与交集：在两类事物中，有一部分可能同时属于两个集合，这部分就是两个集合的“交集”。3.并集的计算：求两个集合的总人数，不能简单相加，必须减去重复计数的交集部分。其数学模型为：总人数=集合A的人数+集合B的人数既属于A又属于B的人数410。（三）【热点】核心素养培育点依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本节课着力培育的核心素养聚焦于以下几个方面2：1.抽象能力：从具体的名单中抽象出数学元素，并创造性地用图形（韦恩图）表示数量关系。2.逻辑推理能力：通过分析名单，发现重复现象，推理出造成计算冲突的原因，并寻求合理的解决方法。3.模型意识：将生活中的重叠现象（如参加两个兴趣小组、两样都喜欢的水果等）概括为“集合”这一数学模型，并运用模型解决同类问题。4.应用意识：用所学的集合思想去观察和解释生活中的现象，感受数学的价值。二、学情分析（一）【基础】知识起点与生活经验三年级的学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段。他们对生活中“重复”的现象已有初步的感性认识，例如，一个同学可能同时参加了两个兴趣小组，一种水果可能既被爸爸喜欢又被妈妈喜欢。在知识储备上，学生已经掌握了基本的加减法运算，能够对事物进行简单的分类。这种生活经验和运算能力为本节课的学习奠定了坚实的基础。（二）【难点】认知冲突与思维障碍尽管学生能感知“重复”，但在定量计算时，容易忽视重复部分。例如，面对例题“参加跳绳的有9人，参加踢毽的有8人”，学生的第一反应往往是直接相加得到17人，而不会主动去思考名单中是否有重复的人。这构成了本节课最核心的认知冲突。学生的思维障碍主要在于：难以将“重复的人”从总数中剥离出来，难以理解为什么需要“减一次”而不是“减两次”，以及如何用清晰的图示或表达式来表征这种包含与排除的关系。（三）【重要】学习动机与课堂生成巧妙的冲突设置是点燃学生思维火花的导火索。当学生发现简单的加法得出的结论与实际情况（有重复）不符时，会产生强烈的求知欲和探究动力。课堂上，学生的生成资源是极为丰富的，可能包括：直接用加法计算的错误结果；在名单上做标记（如打勾、连线）的方法；创造出的各种图形（如两个交叉的圆圈）。这些生成资源都是推进教学、建构新知的最佳素材，需要教师在课堂上敏锐捕捉并有效利用35。三、教学目标基于对教材和学情的分析，设定如下教学目标：1.【基础】知识与技能：在具体情境中，使学生感受集合的思想，理解并掌握用韦恩图表示两类事物重叠关系的方法。能借助韦恩图解决简单的重叠问题，并能列式正确计算总数。2.【重要】过程与方法：通过观察、猜测、操作、交流等活动，经历韦恩图的产生过程，探究解决重叠问题的策略，体会数形结合思想和模型思想。3.【非常重要】情感态度与价值观：在自主探索和合作交流中，感受数学与生活的紧密联系，培养善于观察、勇于思考、乐于表达的学习品质，增强学习数学的兴趣和自信心。四、【重要】教学重难点（一）教学重点理解集合图的各部分意义，能借助集合图分析并解决简单的重叠问题。（二）教学难点经历集合图的建构过程，理解并掌握计算总数时为什么要减去重复部分，并能根据不同列式理解其算理。五、教学策略与方法为实现教学目标，突破重难点，本节课将采用“问题驱动式”与“活动探究式”相结合的教学策略。具体方法如下：1.情境创设法：以学生熟悉的校园活动（如运动会报名）为切入点，创设真实的、具有挑战性的问题情境，引发认知冲突，激发学习内驱力5。2.直观演示法：充分利用多媒体课件动态演示名单如何演变为集合图的过程，并借助教具（如两个可以重叠的彩色纸圈或呼啦圈）进行实物演示，将抽象的数学思维过程直观化、可视化9。3.小组合作法：组织学生在小组内交流自己的思考过程和表示方法，在思维的碰撞中互相启发，共同构建对集合图的理解。4.数形结合法：引导学生将算式与韦恩图中的具体部分一一对应起来，理解不同算法背后统一的数学本质，做到言之有理、落笔有据3。六、【非常重要】教学实施过程（一）【基础】创设情境，制造冲突（预计用时：5分钟）环节目标：激活经验，引发认知冲突，明确探究任务。1.谈话引入：同学们，咱们学校一年一度的趣味运动会又要开始啦！这是大家最期待的活动。请看大屏幕（出示课件：三（1）班参加跳绳和踢毽比赛的报名表）。这是班主任王老师统计的报名表，为了公平公正，她请同学们核对一下信息。2.呈现信息：跳绳名单（9人）：杨明、陈东、刘红、李芳、王爱华、马超、丁旭、赵军、徐强踢毽名单（8人）：刘红、于丽、周晓、杨明、朱小军、李芳、陶伟、卢强3.引发猜想：仔细观察这两份名单，你有什么发现？（引导学生发现刘红、杨明、李芳这三个同学的名字在两份名单里都出现了。）老师现在想考考大家，参加这两项比赛的共有多少人？请你快速列式并计算出结果。4.暴露冲突：指名回答，学生中必然会出现两种答案：一种是用9+8=17（人）直接相加；另一种可能是在名单上发现重复后，得出14人（如9+83=14）。教师将两种答案（17人和14人）同时板书在黑板上。5.聚焦问题：奇怪了，同样是这两个项目，为什么会有两个不同的答案呢？到底哪一个才是正确的？问题可能出在哪里？今天我们就一起来当一回小小统计员，研究一下这种有重复现象的问题。（板书课题：有趣的“重复”问题）（二）【非常重要】自主探究，构建模型（预计用时：20分钟）环节目标：经历韦恩图的创造过程，理解各部分含义，建立集合模型。1.【基础】明确任务，尝试解决教师提出明确要求：请同学们以小组为单位，利用老师提供的学具（印有名单的白纸、彩笔、剪刀），或者用自己的方法，重新整理这份名单。要求是让大家一眼就能看出：（1）参加跳绳的有谁？一共有几人？（2）参加踢毽的有谁？一共有几人？（3）两项都参加的有谁？有几人？（4）参加这两项比赛的共有多少人？2.【难点】汇报交流，展示思维教师组织学生在实物展台上展示不同的整理方法，并请代表介绍想法。（1）展示方法一：标注法。有的学生在名单上把重复的人名圈出来，或者打上“√”做记号。（2）展示方法二：连线法。有的学生用线把重复的人名连起来，表示他们同时出现在两个项目中。（3）展示方法三：分类列表法。有的学生把名单分成三类：只跳绳的、只踢毽的、两项都参加的，然后重新画了一个表格。（4）【非常重要】展示方法四：图形表示法。可能有个别学生能画出两个交叉的圆圈。如果学生没有画出，教师则需要将其作为核心环节进行引导。3.【非常重要】聚焦核心，动态建构韦恩图师：同学们的方法都很有创意，都能清楚地表示出谁重复了。数学家们在研究这类问题时，也发明了一种非常简洁、直观的图形。你们想不想看看？（教师利用多媒体课件，动态演示将两份名单变成两个彩色椭圆的过程）（1）动态演示：首先，一个红色椭圆“跳”出来，把跳绳的同学一个一个“吸”进去，集合在一起。引导学生观察：这个红圈里包含了哪些人？它表示什么？（表示参加跳绳的全体同学，即跳绳集合）（2）接着，一个蓝色椭圆“跳”出来，把踢毽的同学一个一个“吸”进去，集合在一起。引导学生思考：刘红、杨明、李芳这几个人有什么特殊的地方？他们应该去哪儿？（3）制造矛盾：如果两个椭圆分开摆放，刘红她们只能在一个圈里，这样对吗？（不对，因为他们既参加了跳绳，又参加了踢毽）那怎么办？（4）巧妙融合：课件将红色和蓝色的椭圆慢慢靠近，最终重叠在一起，刘红、杨明、李芳三人刚好被框在两个椭圆相交的、重叠的区域里。（5）揭示概念：同学们，这个图在数学上叫做“韦恩图”，也叫“集合图”。它用简单的线条和位置关系，把复杂的关系说得清清楚楚！现在，谁能结合这幅图，给大家介绍一下它每一部分表示的含义？指名上台指图说明：左边红色月牙形部分：表示（只参加跳绳）的同学。右边蓝色月牙形部分：表示（只参加踢毽）的同学。中间重叠交叉部分：表示（既参加跳绳又参加踢毽）的同学。整个红色圈：表示（所有参加跳绳的）同学。整个蓝色圈：表示（所有参加踢毽的）同学。整个红色圈和蓝色圈合起来：表示（参加这两项比赛的全体）同学。4.【重要】数形结合，探究算法师：现在，看着这幅神奇的图，你能列式计算参加比赛的总人数吗？请同学们在练习本上列式，并和同桌说一说你的算式表示的是图中的哪一部分。学生汇报，教师板书不同的算法，并引导其与图形对应：（1）9+83=14（人）追问：为什么减3？这“3”在图中指的是哪部分？引导学生明确：因为9+8时，中间重叠部分的3个人被加了两次，所以必须减掉一次，才能得到总人数。（2）6+3+5=14（人）追问：这里的6、3、5分别对应图中的哪部分？（6是只跳绳的，3是两项都参加的，5是只踢毽的）直接把三部分加起来，也很清楚！（3）93+8=14（人）或83+9=14（人）追问：93表示什么？（从跳绳的总人数里去掉重复的，得到只跳绳的人数）再加上踢毽的总人数（或只踢毽的人数），道理是一样的。教师小结：同学们真了不起，创造出了这么多精彩的算法。虽然方法不同，但它们都有一个共同的秘密，那就是在计算总数时，都要考虑那部分“既……又……”的人数，不能重复，也不能遗漏。（三）【基础】巩固练习，深化理解（预计用时：8分钟）环节目标：应用模型解决不同情境问题，巩固对集合思想的理解。1.【基础】基本应用（教材第105页做一做第1题）课件出示：把下面动物的序号填写在合适的圈里。让学生独立完成在课本上。完成后，指名上台展示，并提问：这个圈里填的都是什么？（会游泳的）这个圈里填的都是什么？（会飞的）中间交叉的部分填的动物有什么特点？（既会游泳又会飞，比如天鹅、野鸭等）为什么有些动物（如小狗、猫）一个圈都没进？（它们既不会飞也不会游泳）2.【重要】变式练习（教材第105页做一做第2题）课件出示：我们班参加剪纸和绘画兴趣小组的学生名单。让学生根据韦恩图回答问题。（1）参加剪纸的有（）人？你是怎么数的？（数整个红圈，包括重叠部分）（2）参加绘画的有（）人？（3）两个组都参加的有（）人？（4）参加这两个组的一共有（）人？要求学生列式计算。集体订正时，重点让列式有误的学生说说自己错在哪里，再次强化“减去重复部分”的意识。（四）【热点】拓展提升，回归生活（预计用时：5分钟）环节目标：拓展思维边界，感受集合思想的普适性，培养应用意识。1.【难点】开放探究师：刚才我们解决的都是“有人重复”的问题。如果王老师发现，参加跳绳的有5人，参加踢毽的有5人，两项都参加的有2人，那总人数是多少？如果两项都参加的有5人呢？（总人数就是5人，说明这5个人两组全参加了）如果两项都参加的有0人呢？（总人数就是10人，说明没有重复，两部分没有交集）2.【热点】联系生活师：其实，集合图在我们生活中随处可见。你能举出一些生活中的例子吗？引导学生举例：昨天进的水果和今天进的水果有几种重复？我们班男生和戴眼镜的同学，这两部分人的关系可以用集合图表示吗？喜欢吃苹果和喜欢吃香蕉的同学，他们的分布情况是怎样的？3教师适时展示超市进货单、班级视力统计等图片，让学生真切感受到数学就在身边。（五）【基础】全课总结，回顾反思（预计用时：2分钟）环节目标：梳理知识脉络，提升认知水平。师：同学们，时间过得真快，一节课马上就要结束了。请你静静地想一想，这节课你有什么收获？引导学生从知识、方法、感受等角度进行总结。生1：我学会了用韦恩图来表示有重复的事物。生2：我知道了计算总人数时，不能简单相加，要减去重复的。生3：我发现生活中很多地方都有重复现象，都可以用集合图来分析。教师总结：今天我们走进“数学广角”，初步探索了集合的奥秘。我们用韦恩图这个神奇的“法宝”，轻松解决了有重叠问题的数学题。希望同学们能带着这双善于发现的眼睛，去寻找生活中更多的数学问题，并用我们今天学到的方法去解决它们。七、【重要】分层作业设计为了满足不同层次学生的学习需求，实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程理念，特设计以下分层作业：（一）【基础】必做题1.课本练习题：完成教材第106页练习二十三第1、2题。【设计意图】这两道题是课中例题和练习题的直接变式，旨在巩固学生对韦恩图的基本认识和对重叠问题基本数量关系的掌握，要求全体学生都能独立完成。（二）【重要】选做题2.生活小调查：请你调查你们学习小组的同学，看看他们喜欢吃苹果还是喜欢吃香蕉。将调查结果整理后，尝试画出一个集合图，并根据你的集合图提出一个数学问题并解答。【设计意图】本题旨在引导学生将课堂所学知识迁移应用到真实的生活情境中，培养学生的调查能力、数据整理能力和应用意识，是对核心素养的进一步落实。（三）【难点】拓展题3.思维挑战：三（1）班有45人，期末考试中，语文得优的有30人，数学得优的有28人，每人都至少有一门得优。请你算一算，语文和数学都得优的有多少人？如果告诉你语文和数学都没得优的有5人，那么语文和数学都得优的又是多少人？【设计意图】本题是对容斥原理的变式与提升。第一问是已知总人数和两个分项，求重叠部分，是对公式的逆向应用。第二问则引入了“两样都不”的情况，将两集合问题扩展到了更复杂的范围，旨在挑战学有余力的学生的思维极限，培养其逻辑推理和综合分析能力410。八、【重要】导学案设计学习主题：有趣的“重复”班级：__________姓名：__________评价：__________【学习目标】我知道：用两个圈表示有重复现象的两类事物的方法。我理解：计算总数时，为什么要减去重复的部分。我会用：集合图解决生活中的一些简单问题。【课前小研究】1.想一想：我们班参加学校跳绳比赛的有5人，参加踢毽比赛的有4人。小华说：“那参加这两项比赛的一共有9人。”你觉得小华说得对吗？为什么？如果不对，可能会是几个人呢？我的想法：____________________