青岛版初中数学八年级上册《分式的基本性质》新授教案

青岛版初中数学八年级上册《分式的基本性质》新授教案

一、教学基本信息

课题名称：分式的基本性质

授课学科：初中数学

授课年级与学期：八年级上册

使用教材：青岛出版社义务教育教科书数学八年级上册

课时安排：第1课时（总2课时）

课型：新授课

教学环境：智慧教室（配备交互式电子白板、学生平板、实物投影仪、无线投屏设备）

二、教学分析（基于核心素养与大单元教学视角）

（一）教材内容深度剖析

本节内容“分式的基本性质”在青岛版教材中，位于八年级上册第三章“分式”的第一节第二课时。从整个中学数学代数知识体系的宏观脉络审视，本节内容处于承上启下的关键枢纽位置。

承上方面：分式是分数概念的代数推广。学生在小学阶段已经娴熟掌握分数的基本性质，在七年级则系统学习了整式的运算、因式分解等关键工具。分式的基本性质，本质上是将分数的基本性质“分数的分子与分母同乘（或除以）同一个不为零的数，分数的值不变”进行代数化的抽象与延展。这种从具体数字到抽象字母（整式）的迁移，是学生数学抽象思维和符号意识发展的重要阶梯。

启下方面：分式的基本性质是整个分式运算体系的基石。它是后续进行分式的约分、通分、四则混合运算（加、减、乘、除、乘方）的逻辑前提和理论依据。没有对分式基本性质的深刻理解与灵活运用，分式的化简与求值、分式方程的求解都将成为无源之水。此外，分式所蕴含的“形式”与“值”的辩证关系，也为高中阶段函数概念（特别是定义域、值域、对应法则）、解析式变形以及极限思想埋下了伏笔。从大单元教学视角看，本节是“数与式”大单元中从“整式”到“分式”的关键转折点，其教学效果直接关系到学生代数思维从确定性（整式恒等）向条件性（分母不为零）的跃迁。

（二）学情分析与诊断

认知基础：

1.学生已牢固掌握分数的基本性质及其在约分、通分中的应用。

2.学生已具备整式的概念，能够进行简单的整式乘法运算，并对提公因式法、公式法等因式分解方法有初步了解。

3.学生初步建立了用字母表示数的代数思想，但对代数式在约束条件下（如分母不为零）的性质变化尚不敏感。

认知障碍与思维难点预判：

1.抽象障碍：从具体的“数”到抽象的“式”（特别是含字母的整式）的跨越。学生容易理解“同乘以2”，但可能对“同乘以一个整式m”的必要性和合理性产生困惑，难以理解m的“任意性”与“不为零”的约束。

2.理解误区：容易忽视“整式C不为零”这一核心条件，或将“同乘以（或除以）同一个整式”机械记忆，不理解其保持分式值不变的数学本质——分子与分母的“比”未变。

3.应用难点：在运用性质进行分式变形时，难以识别分子、分母是“整式的积”的形式，从而在约分时找不准公因式；在应用性质将分式化为指定分母的形式时，缺乏逆向思维和分析目标的能力。

4.前摄抑制：分数的强固认知可能产生负迁移，例如，认为分式约分只能约去数字因数，而不敢或想不到约去相同的字母或整式因子。

（三）核心素养培育指向

1.数学抽象：从分数的具体性质中抽象概括出分式的基本性质，完成从算术到代数的思维飞跃。

2.逻辑推理：通过观察具体分式变形、提出猜想、进行逻辑验证（从特殊到一般），最后得出一般性结论，体验完整的数学发现过程，培养严谨的推理能力。

3.数学运算：将分式的基本性质作为“算法”的算理依据，为后续进行规范、灵活、高效的分式约分与通分运算奠基。

4.数学建模：理解分式作为描述现实世界中两个量之比（或商）的模型，其值在特定变换下保持不变的特性，体会数学模型的不变性。

5.直观想象与数据分析：结合图形（如面积模型）或实际数据变化，直观感知分式值的不变性，发展数形结合思想。

（四）跨学科联系与真实情境

1.物理学：电阻的并联公式（1/R=1/R1+1/R2），在通分计算时隐含了分式的基本性质；溶液的浓度公式（浓度=溶质/溶液），当溶质和溶液按比例增减时，浓度不变，是分式基本性质的现实原型。

2.经济学：商品单价（总价/数量）在总价与数量成比例变化时保持不变。

3.地理与测绘：地图的比例尺（图上距离/实际距离）是一个固定比值，缩放地图时，其各部分的比例关系保持不变，可视作分式基本性质的几何体现。

4.信息技术：图像、音视频的压缩与解压算法中，保持关键比例关系不变的思想，与分式基本性质的内核相通。

三、教学目标

依据课程标准、教材内容和核心素养要求，确立以下三维整合的教学目标：

（一）知识与技能

1.准确叙述分式的基本性质，并能用数学式子（$\frac{A}{B}=\frac{A\timesC}{B\timesC}$，$\frac{A}{B}=\frac{A\divC}{B\divC}$，其中C是不等于零的整式）进行表征。

2.深刻理解性质中“同乘（或除以）同一个不等于零的整式”的含义，并能举例说明忽略“整式不为零”条件可能导致错误。

3.能熟练运用分式的基本性质，对分式进行恒等变形，包括：不改变分式值的情况下，改变分子、分母的符号；将分式约分化为最简形式；将分式化为指定分母的等价形式。

（二）过程与方法

1.经历从具体分式计算、观察猜想、说理验证到归纳概括的完整探究过程，体会从特殊到一般、类比迁移的数学思想方法。

2.通过将分数与分式进行类比、对比，学会运用类比方法探索新知，同时通过辨析差异，形成对分式特性的准确认知。

3.在应用性质解决问题的过程中，掌握分析（分析分子分母的整式结构）、转化（向目标形式转化）和逆向思考等策略。

（三）情感、态度与价值观

1.在探索分式基本性质的过程中，感受数学知识之间的内在联系（分式与分数、整式），体验数学的统一美与严谨性。

2.通过克服从分数到分式的认知障碍，获得成功的体验，增强学习代数的信心。

3.初步形成在运用数学规则时关注其适用条件的严谨科学态度。

四、教学重难点

教学重点：分式基本性质的探索、理解和符号化表达。

教学难点：1.对性质中“整式C不为零”条件的深刻理解与自觉运用。2.灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形，特别是逆向运用性质将分式化为指定形式。

五、教学准备

教师准备：

1.精心设计的探究学习任务单（纸质与电子版）。

2.PPT课件，内含动态演示（如分式值在分子分母同乘同除时的动态变化）、对比表格、阶梯式练习题组。

3.几何画板或类似软件制作的互动课件，用于直观展示分式值不变的几何模型（如长方形面积模型）。

4.实物道具：可伸缩的长方形框架或等比例缩放的地图卡片。

5.课堂实时反馈系统（如希沃易课堂、ClassIn等）的后台设置与题目推送准备。

学生准备：

1.复习分数的基本性质及其应用。

2.回顾整式的乘法和因式分解（提公因式法、平方差公式）的相关知识。

3.熟悉个人平板电脑的基本操作。

环境准备：智慧教室网络畅通，交互白板、学生平板、小组投屏设备调试完毕。

六、教学过程设计

（一）创设情境，温故引新（预计用时：8分钟）

教师活动一：生活情境导入

教师在交互白板上展示两组高清晰度图片。

第一组：同一张人物照片的三种尺寸（头像、半身照、全身照），但面部比例协调，不失真。

第二组：同一张地图的局部放大图（如从中国地图放大到山东省地图）。

师：请同学们观察这两组图片，思考一个数学问题：照片中人的面部特征、地图上的形状轮廓，在放大或缩小的前后，发生了什么变化？又有什么是保持不变的？

（学生观察、思考、轻声讨论）

生1：大小变了。

生2：但是样子没变，各部分之间的比例关系没变。

师：非常精准的观察！在数学中，我们经常用“比”或“商”来描述这种关系。当“比”的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数时，这个“比”的值——也就是它们的关系——保持不变。这是我们小学就学过的什么性质呢？

全体学生：分数的基本性质！

教师活动二：复习与唤醒

师：非常好！那么谁能准确地复述一下分数的基本性质？

生3：分数的分子和分母同时乘或者除以同一个不为零的数，分数的大小不变。

教师在白板上板书：$\frac{a}{b}=\frac{a\timesc}{b\timesc}$，$\frac{a}{b}=\frac{a\divc}{b\divc}$(c≠0，强调c是数)。

师：这个性质是我们进行分数约分、通分的根本依据。今天，我们将要走进代数世界，研究一种新的式子——分式。上节课我们已经认识了分式，它形如$\frac{A}{B}$（B中含有字母，且B≠0）。一个自然的问题是：分式是否也具有类似的性质呢？如果有，它会和分数的性质完全一样吗？让我们带着这个核心问题，开启今天的探索之旅。

（教师板书本章大单元主题“分式”与本节课题“分式的基本性质”）

设计意图：从真实的照片缩放、地图比例尺情境入手，将抽象的“比值不变”思想直观化、生活化，有效激发学生兴趣。通过复习分数的基本性质，激活学生的原有认知结构，为类比学习提供坚实的“锚点”。明确提出核心探究问题，指明本节课的思维方向，赋予学习活动以明确的目的性。

（二）合作探究，构建新知（预计用时：22分钟）

阶段一：观察特例，提出猜想

教师活动三：特例计算与引导观察

师：我们先来看几个具体的分式。请同学们独立计算，并观察等号左右两边分式的分子、分母发生了怎样的变化，分式的值又怎样？

教师通过课堂系统向全体学生平板推送探究任务一：

任务一：计算与观察

1.$\frac{1}{2}$与$\frac{1\times3}{2\times3}$的值相等吗？$\frac{6}{8}$与$\frac{6\div2}{8\div2}$的值相等吗？

2.$\frac{x}{y}$(y≠0)与$\frac{x\cdot2}{y\cdot2}$的值相等吗？请赋予x,y一组具体的数值（如x=2，y=3）进行验证。

3.$\frac{2a}{3b}$(b≠0)与$\frac{2a\cdotm}{3b\cdotm}$(m≠0)的值相等吗？请赋予a,b,m具体数值验证。

4.$\frac{x^2}{x+1}$(x≠-1)与$\frac{x^2\cdot(x-1)}{(x+1)\cdot(x-1)}$的值相等吗？请赋予x一个不等于-1和1的数验证。

（学生独立计算、验证，并在平板提交结论。教师巡视，关注学生赋值验证的过程。）

师：大部分同学已经完成了验证。我们请一位同学分享一下他对第4题的验证过程和结果。

生4：我令x=2。左边=$\frac{4}{3}$，右边=$\frac{4\times1}{3\times1}=\frac{4}{3}$，相等。我令x=0，左边=0，右边=0，也相等。

师：很好，选取了不同的值进行验证，结论支持它们相等。那么，根据以上一系列具体例子，你能大胆猜想一下分式可能具有什么性质吗？请与你的同桌进行一分钟的讨论。

（学生热烈讨论）

生5（小组代表）：我们觉得，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不是零的……东西，分式的值可能不变。

师：“东西”这个词很形象！在分数里，这个“东西”是“数”。在分式里，这个“东西”可能是什么？

生6：可能是数，也可能是字母，或者是一个整式。

师：精彩！这就是从数到式的推广。那么，我们如何用更数学的语言表述这个猜想？

阶段二：推理验证，形成结论

教师活动四：引导严谨说理

师：猜想需要证明。对于$\frac{A}{B}$（B≠0），如果我们认为“分子分母同时乘以一个不为零的整式C，分式值不变”，即$\frac{A}{B}=\frac{A\timesC}{B\timesC}$，我们该如何说明其正确性呢？请大家思考：我们如何判断两个分式相等？

生7：看它们的值是不是始终相等。

师：具体怎么操作？

生8：根据分式的概念，$\frac{A}{B}$表示A÷B。那么$\frac{A\timesC}{B\timesC}$表示(A×C)÷(B×C)。根据除法运算的性质，(A×C)÷(B×C)=A÷B。所以它们的值相等。

教师将此说理过程用板书和逻辑链清晰呈现：

已知：B≠0，整式C≠0。

求证：$\frac{A}{B}=\frac{A\timesC}{B\timesC}$。

说明：$\frac{A\timesC}{B\timesC}=(A\timesC)\div(B\timesC)=A\divB=\frac{A}{B}$。

师：同理，对于除以一个不为零的整式C，我们也可以进行说明。由此，我们的猜想通过了逻辑的检验，可以上升为一个正确的数学结论。

阶段三：归纳提炼，精准表述

教师活动五：归纳性质与辨析关键

师：现在，请同学们尝试用最精准的数学语言，概括我们发现的这个结论。

（学生思考并尝试表述，教师修正补充）

师生共同归纳，教师板书核心结论：

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：

$\frac{A}{B}=\frac{A\cdotC}{B\cdotC}$，$\frac{A}{B}=\frac{A\divC}{B\divC}$（其中C是不等于零的整式）。

师：请同学们齐读一遍这个性质，并圈出关键词。

（学生齐读，圈画“都”、“同一个”、“不等于零的整式”）

师：现在我们来聚焦几个关键辨析点。请看白板上的问题：

辨析1：$\frac{x}{y}=\frac{x^2}{xy}$成立吗？为什么？（成立，分子分母同乘以x，且x作为整式，隐含了x≠0的条件吗？）

辨析2：$\frac{a+b}{a-b}=\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}$一定成立吗？（不一定，成立的条件是a+b≠0且a-b≠0，但题目未说明，故不能直接认为成立。）

辨析3：$\frac{m}{n}=\frac{m\times0}{n\times0}$成立吗？（不成立，因为C=0，不符合“C是不等于零的整式”的条件。）

通过辨析，教师强调：“整式C不为零”是性质成立的生命线，在运用时必须时刻审视。分式自身的分母B不为零是分式有意义的先决条件，而性质中C不为零是变形等价的保障。

设计意图：本环节是突破重点、化解难点的核心。通过“计算观察—提出猜想—说理验证—归纳表述”的科学探究流程，让学生亲历知识的生成过程，培养其数学抽象和逻辑推理素养。特例设计具有梯度，从数到字母，再到简单整式、稍复杂整式，逐步逼近一般形式。说理环节回归分式的除法本质，将新知识（分式性质）与旧知识（除法性质）牢固链接。最后的辨析环节直击学生最容易忽略和出错的“条件”问题，通过强烈的认知冲突，深化对性质关键词的理解，培养思维的严谨性。

（三）深化理解，初步应用（预计用时：15分钟）

教师活动六：性质的直接应用——符号法则与简单变形

师：掌握了性质，我们首先要会用它进行一些基本变形。请看例1：

例1：不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号。

(1)$\frac{-3x}{2y}$(2)$\frac{-a}{-5b}$(3)$\frac{2m}{-3n}$

师：这里的“不含‘-’号”是什么意思？我们如何利用基本性质实现？

生9：就是让分子和分母都是正的，或者负号在分式前面。我们可以利用性质，给分子和分母同乘以-1。

教师板书(1)的规范过程：$\frac{-3x}{2y}=\frac{(-3x)\times(-1)}{2y\times(-1)}=\frac{3x}{-2y}$。并提问：这样处理，分母还有负号，是否符合要求？

生10：不符合，要求分子分母都不含负号。应该把负号放到分式前面：$-\frac{3x}{2y}$，或者同时变分子分母：$\frac{3x}{2y}$。

师：非常好！这里有两种处理方法：一是将负号视为分式本身的符号，提到前面；二是利用性质同时改变分子分母的符号。我们通常约定，当分式的分子、分母中都有负号时，同时改为正；当只有一个负号时，通常把负号放在分式前面。请完成(2)(3)。

（学生练习，教师巡视，强调规范书写。然后通过系统推送变式练习，如处理$\frac{x-1}{-x^2}$等。）

师：再看例2：填空。

(1)$\frac{x}{2y}=\frac{(\)}{6xy^2}$(2)$\frac{ab}{a^2}=\frac{b}{(\)}$

师：这类问题如何思考？我们要运用性质的逆向思维。

生11：看分母（或分子）从左边到右边怎么变的，分子（或分母）就跟着同样变化。

教师引导学生分析(1)：左边分母$2y$→右边分母$6xy^2$，相当于乘以了$3xy$。根据性质，分子$x$也必须乘以$3xy$，所以填$3x^2y$。

学生独立完成(2)，并说明是利用了约分（同除以a）。

教师活动七：探究应用——约分与最简分式

师：像例2(2)这样，把分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。经过约分后，分子和分母没有公因式的分式，叫做最简分式。化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。这与分数的约分完全类似，但工具升级了：我们需要先对分子、分母进行因式分解，找到公因式。

例3：约分(1)$\frac{6a^2b}{-8ab^2}$(2)$\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}$

教师板书(1)的详细过程：

解：$\frac{6a^2b}{-8ab^2}=-\frac{6a^2b}{8ab^2}$（处理符号）

$=-\frac{2ab\cdot3a}{2ab\cdot4b}$（寻找数字系数最大公约数2，字母公因式ab）

$=-\frac{3a}{4b}$（同除以公因式2ab）

强调：系数约分；相同字母约去最低次幂。

对于(2)，引导学生发现分子$x^2-9=(x+3)(x-3)$，分母$x^2+6x+9=(x+3)^2$，找到公因式(x+3)。

师：约去(x+3)时，我们要注意什么？

生12：注意$x+3≠0$。

教师补充：在约分过程中，我们默认分式是有意义的，即隐含了分母不为零的条件。但作为良好的习惯，我们可以注明“其中x≠-3”。

设计意图：本环节是性质的应用初探，旨在让学生掌握性质的基本运用模式。从简单的符号处理、填空到核心应用——约分，循序渐进。通过例1强调数学表达的规范性；通过例2训练逆向运用性质的分析能力；通过例3将约分程序化，并自然引出因式分解的工具作用和最简分式的概念，为后续复杂的化简运算搭好台阶。在约分中再次提醒“隐含条件”，强化条件意识。

（四）分层练习，巩固拓展（预计用时：12分钟）

教师通过智慧课堂系统，推送分层练习包。系统根据学生前序任务的完成情况（非成绩，而是答题速度和过程特征）给出建议层级，学生也可自主选择。

A组（基础巩固，面向全体）：

1.下列变形中，正确的是（）

A.$\frac{x}{y}=\frac{x^2}{y^2}$B.$\frac{x}{y}=\frac{x+1}{y+1}$C.$\frac{-x}{y}=-\frac{x}{y}$D.$\frac{x}{y}=\frac{x-a}{y-a}$(a≠0)

2.填空：

(1)$\frac{2x}{x-y}=\frac{(\)}{5x(x-y)}$

(2)$\frac{(\)}{m^2-4}=\frac{1}{m+2}$

3.约分：

(1)$\frac{15abc}{-25a^2bc^3}$(2)$\frac{4-x^2}{x^2-2x}$

B组（能力提升，面向大多数）：

1.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。

(1)$\frac{0.5a-0.1b}{0.3a+0.7b}$(2)$\frac{\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y}{\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y}$

2.先化简，再求值：$\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$，其中x=3。

3.小明在化简分式$\frac{x^2-y^2}{x-y}$时，直接得到x+y，你认为他的化简对吗？请说明理由。

C组（思维拓展，学有余力）：

1.探究题：若分式$\frac{2x-1}{x^2+3}$的值是正数，求整数x的值。此题与分式的基本性质有何关联？（提示：考虑分子分母同乘以一个正数，分式值的符号不变）

2.联系实际：要将浓度为$\frac{a}{b}$的盐水稀释为浓度为$\frac{a}{b+c}$的盐水，需要加多少水？请用分式的基本性质解释这个过程中，什么量在变，什么量不变。

教师活动：巡视指导，重点关注A组学生的规范书写，点拨B组学生系数化整的方法（同乘以最小公倍数）和化简求值的格式，与C组学生探讨符号判断和实际模型。利用实物投影仪展示具有代表性的正确解法和典型错误，组织学生互评。对于普遍性错误，如B组第1题系数化整时漏乘某项，进行集中讲解。

设计意图：分层练习满足不同层次学生的发展需求，实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。A组题夯实基础概念和基本技能；B组题引入系数化整和化简求值，提升综合应用能力，其中第3题再次辨析隐含条件（x≠y）；C组题将性质引申到符号判断和实际问题建模，发展高阶思维和跨学科应用意识。智慧课堂系统的运用使得分层推送和即时反馈成为可能，提高效率。

（五）课堂小结，反思升华（预计用时：3分钟）

师：同学们，这节课即将结束，让我们共同来回顾与梳理。请大家围绕以下几个问题在小组内交流，然后我们请代表分享。

1.本节课我们学习了哪个核心数学结论？它是如何得来的？

2.在运用这个性质时，最需要警惕的是什么？

3.分式的基本性质与分数的基本性质有什么联系和区别？

4.本节课的学习，对于后续学习分式的其他知识有什么作用？

（学生小组讨论，代表发言）

生13（代表小组）：我们学习的核心是分式的基本性质。我们是通过类比分数、计算例子、猜想再证明得到的。最需要注意的是“同乘或除以的整式不能为零”。

生14：联系是形式很像，思想一样。区别是分数里乘除的是“数”，分式里是“整式”，而且更强调式子不能为零。

生15：这个性质是后面约分、通分、运算的基础，就像盖房子的地基。

教师进行总结性板书，形成知识结构图：

分数基本性质（旧知）→类比、推广、验证→分式基本性质（新知）

↓

应用方向

约分→最简分式

通分（下节课）

恒等变形

师：总结得非常到位。我们从旧知出发，通过科学的探究方法获得了新知，并初步看到了它的强大应用前景。数学的王国就是这样在不断推广和深化中构建起来的。

（六）布置作业，延伸学习

必做题：

1.教材对应章节课后练习第1、2、3题。（巩固双基）

2.完成学习任务单上的“性质辨析与应用”板块。（规范书写）

选做题：

3.探究：分式$\frac{x}{x+1}$与$\frac{x^2}{x^2+1}$是否相等？你能用几种方法判断？（深化对“值相等”的理解）

4.预习：尝试利用分式的基本性质，将分式$\frac{1}{2a}$和$\frac{