小学一年级数学：“求减数”的实际问题逆向思维与数量关系建模（导学案）

小学一年级数学：“求减数”的实际问题逆向思维与数量关系建模（导学案）

  一、设计理念与理论框架

  本教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心素养导向，紧密围绕“数与代数”领域中“数的运算”这一核心内容。我们深刻认识到，对于小学一年级学生而言，“求减数的实际问题”不仅是减法运算的一种应用，更是其数学思维发展过程中的一个关键转折点。它标志着学生从正向的、顺向的加减运算思维，开始初步接触并尝试理解逆向的数学逻辑关系。这本质上是对“总数-部分=另一部分”这一基本数量关系的深化与灵活运用，是构建初步代数思维的萌芽。

  本设计秉承“建构主义”学习理论，强调学生在真实或拟真情境中的主动探究与意义建构。我们打破传统“例题-讲解-练习”的线性模式，转而采用“大任务驱动、问题链引导、多表征支撑”的立体化教学模式。通过创设连贯的、富有童趣且蕴含数学意义的情境故事，将抽象的数学问题“包装”成学生乐于探究的挑战。在探究过程中，我们强调“动作表征（实物操作）→形象表征（图画、符号）→抽象表征（算式、关系式）”的渐进式思维内化路径，引导学生在“做数学”、“画数学”、“说数学”和“想数学”的多元活动中，自主发现“求减数”问题的结构特征与解决方法，并最终建立起稳固的心理模型。

  本设计还融入了“深度学习”的理念，不仅关注学生能否正确列式计算，更关注其理解算理、构建模型、迁移应用及反思监控等高阶思维能力的培养。我们设计了层次分明、由浅入深的探究与练习序列，旨在引导学生穿越“情境层”、“方法层”、“模型层”和“应用层”，实现从解决一个具体问题到掌握一类问题解决策略的跨越。同时，我们注重评价的嵌入性与过程性，通过观察、对话、作品分析等方式，实时评估学生的学习进程，并提供差异化指导，确保每一位学生都能在自身认知基础上获得实质性发展。

  二、教材分析与学情研判

  （一）教材内容纵向关联分析

  在苏教版一年级数学下册的编排体系中，“求减数的实际问题”通常位于“100以内的加法和减法（一）”单元的后半部分。在此前，学生已经系统学习了100以内整十数加减整十数、两位数加减整十数、一位数（不进位、不退位），并初步接触了“求被减数”、“求加数”等简单逆向思考的实际问题。本课内容可以视为对减法意义理解的深化和对已有逆向思维经验的迁移与扩展。它是后续学习“求两数相差多少”以及更复杂的两步计算实际问题的关键基石。教材通常通过一个具体的生活情境（如：摘走一部分果子后还剩多少，求摘走了多少）引入问题，引导学生借助实物操作或画图理解数量关系，并用减法算式求解。本设计将在尊重教材核心逻辑的基础上，对情境的连贯性、探究的深度和模型的抽象度进行优化与拓展。

  （二）学生认知结构与学习起点分析

  从认知心理发展角度看，一年级学生（约6-7岁）正处于皮亚杰认知发展理论中的“前运算阶段”向“具体运算阶段”过渡的关键期。他们的思维具有具体形象性，逻辑推理能力初步发展，但仍需依赖具体事物或形象的支撑。对于“逆向”思维，学生已有初步体验但尚不稳固。

  知识技能起点：学生能熟练计算100以内的不退位减法；能理解加法和减法的基本含义（合并、移走、比较）；可能已经初步接触过类似“已经知道总数和剩下的，求去掉的部分”的情境，但未必能清晰识别其与标准减法情境的差异，也未必能自觉、稳定地运用减法模型。

  思维与困难预见：本节课的核心难点在于学生需要“倒过来想”。他们容易固守“求剩下用减法”的思维定式，当遇到“已知剩下和总数，求去掉的部分”时，可能产生困惑：为什么还是用减法？这里的“减数”代表什么？如何从具体情境中剥离出“总数”、“去掉的部分”、“剩下的部分”这三个关键量，并明确其关系，是学生面临的主要挑战。此外，学生用规范数学语言表述思考过程的能力也处于发展阶段。

  三、学习目标

  基于以上分析，确立本课素养导向的三维学习目标：

  1.知识与技能目标：在具体的生活情境中，理解“已知总数和剩余部分，求减数（去掉部分）”这类实际问题的数量关系。能正确区分此类问题与“求剩余”问题的异同。掌握通过画图（如简单的线段图、集合圈图）分析题意的方法，并能正确列出减法算式进行解答，学会口答。

  2.过程与方法目标：经历“情境感知—操作探究—画图表征—列式解答—回顾检验”的完整问题解决过程。通过对比、归纳等活动，逐步抽象概括出“总数-剩下=去掉”的数量关系模型。发展初步的逆向思维能力、几何直观（画图表征）能力和模型意识。

  3.情感态度与价值观目标：在解决富有童趣的数学问题过程中，感受数学与生活的密切联系，体验探究成功的乐趣。在小组合作与交流中，养成认真倾听、乐于表达、敢于质疑的良好学习习惯。初步形成解决问题后的检验意识和严谨求实的科学态度。

  四、教学重难点

  教学重点：理解“求减数”实际问题的数量关系，掌握通过画图分析问题并正确列式解答的方法。

  教学难点：突破“求减数为什么用减法”的认知冲突，理解减法算式中各数在具体情境中的实际意义，建立“总数-剩下=去掉”的数学模型。

  五、教学准备

  教师准备：多媒体课件（内含连贯情境动画、互动练习）；实物磁贴（猴子、桃子等）；一套大型的“数学小侦探”探究工具卡（含情境卡、操作卡、记录卡）；板贴词语卡片（如“原来共有”、“吃掉了”、“还剩”、“？个”等）；奖励性评价贴纸。

  学生准备：每人一套学具（小圆片、小棒或积木块约20个）；课堂练习本；彩笔；一张“我的探究学习单”。

  六、教学实施过程

  第一阶段：情境导入与问题提出——启动思维，激发冲突(约8分钟)

  活动一：故事启航，温故引新

  教师以多媒体动画或生动语言创设“花果山智慧乐园”的大情境：“数学小侦探们，欢迎再次来到花果山智慧乐园！看，小猴子乐乐遇到了一个数学问题，正挠头呢，我们快去帮帮它吧！”

  呈现情境1（顺向思维复习）：乐乐原来有10个又大又红的桃子，它开心地吃掉了3个。动画清晰展示“吃掉”的过程。教师提问：“你能用三句话讲清楚这件事吗？（原来有…吃掉了…还剩…）”“还剩多少个桃子呢？怎样列式计算？”学生很容易说出：10-3=7（个）。教师追问：“这里的10、3、7分别表示什么？”（总数、去掉的部分、剩下的部分）并板贴关键词和算式，形成第一个数量关系结构：原来共有-吃掉了=还剩。

  设计意图：通过熟悉的顺向“求剩余”问题复习减法的基本含义和数量关系，为后续的逆向思考搭建稳固的“锚点”。清晰的语言表述和意义追问，为新课学习做好认知和语言铺垫。

  活动二：情境翻转，制造认知冲突

  紧接着，教师出示情境2（逆向问题初现）：画面一转，乐乐又抱来一堆桃子。这次情境描述变为：“第二天，乐乐又摘了一些桃子。它把这些桃子放在石桌上，数了数，一共有10个（总数明确呈现）。然后它玩了一会儿回来，发现桃子只剩下3个了！（屏幕上石桌上的桃子由10个动态变为3个）”

  教师引导学生描述：“这次的故事和刚才有什么不一样？”学生可能会说：“这次知道开始有多少，也知道最后剩多少，但不知道被吃掉（或拿走）了多少。”“问题是不知道吃掉了几个。”

  教师聚焦问题，清晰板书核心问题：“是呀，桃子怎么变少了？被吃掉（或拿走）了几个呢？这就是我们今天要和小侦探们一起侦破的‘神秘消失案’！”

  设计意图：在连贯情境中自然翻转问题，形成强烈对比。已知信息从“总数、去掉数”变为“总数、剩余数”，问题从“求剩余”变为“求去掉数”。这种对比旨在引发学生的认知冲突，激起他们强烈的探究欲望，明确本节课的核心挑战所在。

  第二阶段：操作探究与模型初建——多元表征，理解算理(约15分钟)

  活动三：化身侦探，实物探案

  教师将问题具体化并发给每位学生“探案工具”（学具小圆片）：“假设这10个小圆片就是乐乐最初的10个桃子。请你用它们摆一摆，演示出桃子‘从10个变成3个’这个过程。想一想，可以怎样知道‘消失’了几个？”

  学生独立操作。教师巡视，关注不同的操作策略：有的可能直接拿走一些直到剩下3个，然后数拿走了几个；有的可能先摆出10个，再在旁边摆出剩下的3个，然后对比。请不同策略的学生上台用教师的大磁贴演示并讲解。

  策略1（拿走策略）：“我先把10个桃子都摆出来（贴出10个磁贴），然后，我觉得可能是被吃掉了一些，我就假装吃掉它们，一个一个拿掉（演示拿掉动作），拿到只剩下3个为止。然后我数一数拿掉了几个，就是7个。”

  策略2（配对比较策略）：“我也是先摆10个。然后我想，剩下的是3个（在下方对应摆出3个）。我看一看，上面这10个桃子里，哪一部分是和下面的3个一样的？（将其中3个与下面3个连线配对）配成对的这3个就是剩下的。那上面多出来的这一部分（指着未配对的7个），就是被吃掉的部分。”

  教师大力肯定两种策略，并引导全班同学用学具模仿操作一次，特别是策略2的“配对比较”法，直观地展现了“总数”与“剩余”之间的关系。

  设计意图：动作表征是此阶段学生理解算理的最可靠支柱。通过亲手“摆”和“拿”，学生将抽象的“减少”过程具体化、外显化。策略1是顺向操作的逆向模拟，策略2则更具数学结构性，直接可视化了“总数”包含“剩余”和“去掉”两部分，为理解减法算式意义奠定坚实基础。

  活动四：绘制蓝图，图像建模

  教师引导：“小侦探们，我们的探案过程除了用摆，还能用什么方法记录下来，让别人一看就明白呢？”引出“画数学”的方法。

  教师示范或引导学生共同探索如何用简单的图画（如圆圈）或更抽象的条形、线段图来表征问题。例如：

  画法1（集合圈图示）：先画一个大圈，里面画10个小圆圈代表总桃子。然后在大圈内，将其中3个小圈涂色或圈起来，写上“剩3个”。那么，大圈里没被圈起来的那部分，就是“？个”，表示被吃掉的。

  画法2（简易线段图）：画一条短线段，平均分成10小格（或用一大段表示），标注“10个”。从一端开始，截取一段标注“？个”，剩下的部分标注“3个”。这种画法初步渗透了线段图的雏形，更具抽象性。

  学生在自己的“学习单”上选择一种方式画图表征情境2。教师展示有代表性的学生作品，引导学生用语言描述图画表达的意思：“图画告诉我们，从10个这个整体里，分成了两部分，一部分是剩下的3个，另一部分就是我们不知道的、被吃掉的个数。”

  设计意图：从动作表征过渡到图像表征，是思维抽象化的重要一步。画图将动态的操作过程凝固为静态的分析工具，帮助学生将注意力从“过程”转移到“关系”上。不同画法的交流，丰富了学生的表征系统，发展了几何直观能力，也为后续学习更规范的线段图埋下伏笔。

  活动五：算式解密，语言固化

  教师指向板书画的图和最初板书的数量关系式“原来共有-吃掉了=还剩”，提问：“根据我们摆的和画的，谁能用这个关系式来说一说，这个问题里‘原来共有’是几个？（10个）‘还剩’几个？（3个）‘吃掉了’是几个？（不知道，是？个）”将具体数代入关系式：10-？=3。

  “那要求‘吃掉了’几个，其实就是求什么？”（求减数）“算式该怎么写呢？”引导学生写出算式：10-3=7（个）。再次追问：“这个算式和我们以前‘求剩下’的算式样子一样，都是‘总数-一部分=另一部分’。但意义一样吗？这里的‘减去的3’表示什么？”（表示剩下的部分）“算出来的‘7’表示什么？”（表示被吃掉的部分，也就是我们要求的减数）。

  教师总结并板书核心模型：“看来，当我们知道原来一共有多少（总数）和还剩下多少（剩余部分），要求去掉了多少（减数）时，我们也是用减法来计算。关系是：总数-剩下的=去掉的。”并组织学生齐读这个关系式。

  设计意图：这是从具体形象走向抽象符号的关键环节。将操作和图画与抽象算式建立联系，引导学生理解虽然算式形式相似，但每个数的实际意义因问题不同而不同。通过对比和语言固化的过程，帮助学生突破“为什么用减法”的难点，初步建构起“求减数”的数学模型。

  第三阶段：分层练习与模型内化——巩固技能，深化理解(约12分钟)

  练习设计遵循“仿—变—拓”的梯度，形式多样，注重反馈与评价。

  层级一：基础巩固，模仿建模

  呈现与例题结构完全一致的问题，如图书角借书问题：“图书角原来有45本故事书。小朋友们借走一些后，还剩20本。借走了多少本故事书？”

  要求学生独立完成“三部曲”：1.画一画（用自己喜欢的方式画图表征题意）。2.算一算（列出减法算式）。3.说一说（和同桌交流：算式中的每个数代表什么，为什么用减法）。

  教师巡视指导，重点关注学习有困难的学生是否能正确画图分析。集体反馈时，展示不同画法，并请学生完整口述解题思路和检验方法（如：借走的20本加上剩下的25本是不是等于原来的45本）。

  设计意图：在相似情境中独立应用刚刚建立的模型和“画图-列式-说理”的解题程序，实现技能的初步自动化，巩固模型。

  层级二：灵活变式，理解本质

  变式1（情境变，结构不变）：“妈妈买来一盒鸡蛋，一共30个。周末做菜用了一些，现在盒子里还有12个。用了多少个鸡蛋？”此题将“吃掉”、“借走”变为“用掉”，检验学生是否能剥离情境外壳识别相同数学模型。

  变式2（信息呈现方式变）：结合简单图示呈现问题。如：展示一个袋子，旁边标注“原来有28个松果”，再展示从袋子里拿出一些放到树洞里的动画，树洞旁标注“还剩9个”。问：拿出了多少个松果？这需要学生从动态图示中提取信息。

  变式3（语言叙述逆向干扰）：“一辆公共汽车到站后，下去一些人，车上还有24位乘客。已知这辆车原来有40个座位，全部坐满。下去了多少人？”此题中“40个座位全部坐满”是隐含的“总数”信息，需要学生辨别提取，避免被非数学信息干扰。

  学生独立或小组合作完成。反馈时，着重讨论变式3，引导学生辨析：为什么“40个座位全部坐满”这个信息很重要？（因为这确定了最初的总人数就是40人）如果没有这个信息，能算吗？

  设计意图：通过变化情境、变化信息呈现方式、增加干扰信息，促使学生聚焦于问题的数量关系结构，而非表面情节，深化对模型本质的理解，提升信息筛选和数学化能力。

  层级三：对比辨析，凸显关系

  将“求减数”问题与“求剩余”、“求总数”问题并列呈现，组织对比讨论。

  出示三个问题：

  A.树上有15只鸟，飞走了8只，还剩几只？（求剩余）

  B.树上原来有一些鸟，飞走了8只，还剩7只。原来有几只？（求被减数/总数）

  C.树上有15只鸟，飞走一些后，还剩7只。飞走了几只？（求减数）

  小组讨论：这三道题有什么相同点和不同点？它们用的方法有什么联系？

  引导学生发现：三道题都和“飞走”、“剩下”有关，数量关系都涉及“总数”、“去掉部分”、“剩余部分”三个量。已知和未知的量不同，决定了我们选择不同的算法（顺向减法、逆向加法、逆向减法），但它们共享同一个基本的“部分-整体”关系模型。

  设计意图：此环节是本节课的思维升华点。通过系统性的对比，帮助学生将本课新知纳入到更广阔的“加减法实际问题”认知网络中，理解加减法互逆关系的本质，构建完整的知识结构，防止孤立、僵化地记忆某类题型。

  第四阶段：拓展迁移与模型应用——联系生活，发展思维(约8分钟)

  活动六：生活寻踪，创编问题

  教师引导：“生活中，还有很多这样的‘求减数’小秘密。比如，你的储蓄罐、班级的粉笔盒、超市的货架……你能当个小老师，也编一个这样的数学问题考考大家吗？”

  学生独立思考后，在小组内分享自己创编的问题。小组评选出一个最有意思的问题，提交全班交流。教师选择2-3个典型问题进行全班解答。例如学生可能编出：“妈妈买了一箱酸奶，我每天喝一瓶。喝了一星期后，发现箱子里还有5瓶。这一箱酸奶原来有多少瓶？（此题为求总数，可作为辨析）”“我们班图书角有50本书，今天同学们还回来一些后，书架上总共有45本。今天还回来多少本？（此情境需仔细分析数量变化）”

  对于学生编题中出现的其他类型问题或逻辑小错误，教师将其视为宝贵的教学资源，引导全班一起分析和修正。

  设计意图：从解题到编题，是思维层次的又一次飞跃。创编问题要求学生逆向运用模型，并需要结合生活经验考虑逻辑合理性，这极大地促进了学生对模型结构的深度内化和灵活运用，同时体会到数学的广泛应用性。

  活动七：游戏激趣，挑战自我

  设计一个“智慧翻翻乐”的课堂小游戏。多媒体课件上呈现多个“智慧卡片”，卡片背面是不同情境（包括求减数、求剩余、求总数等混合题型）。学生选择翻卡，全班一起快速判断问题类型（说出是“求什么”），并口头列式，说清思路。答对获得团队积分。此环节节奏较快，旨在训练学生快速识别问题模型、灵活反应的能力。

  设计意图：以游戏化的方式结束新课练习，保持学生的学习热情，在轻松愉快的氛围中实现知识的综合应用与快速检索，提升思维敏捷性。

  第五阶段：总结反思与评价延伸——梳理提升，展望未来(约7分钟)

  活动八：回顾历程，梳理收获

  教师提问：“今天的‘数学侦探’之旅，你有哪些收获？”引导学生从知识、方法、感受等多角度反思。

  学生可能总结：“我知道了怎么解决‘求吃掉了多少’这种问题。”“我学会了先画图再列式的方法。”“我明白了知道总数和剩下的，求去掉的，要用减法。”“我觉得编题挺有意思的。”……

  教师在此基础上进行系统化总结，利用板书，梳理本节课的核心模型“总数-剩下的=去掉的”，再次强调画图分析策略的重要性，并点明其与加减法关系的联系。

  活动九：自我评价，激励成长

  引导学生完成“学习单”上的“自我评价”部分，用涂星的方式评价自己今天在“积极思考”、“动手操作”、“合作交流”、“解决问题”等方面的表现。

  活动十：布置作业，弹性延伸

  设计分层实践性作业：

  1.基础作业：完成教材配套练习中关于“求减数实际问题”的题目，坚持用画图辅助分析。

  2.实践作业（二选一）：

    （1）家庭小调查：回家后，寻找一个家中涉及“求减数”的实际例子（如：一桶食用油用了多少；一卷纸巾还剩多少，求用了多少等），记录下来，并讲给家长听，请家长签字。

    （2）数学日记：以“今天我当数学小侦探”为题，用图画和简单的文字记录下本节课你印象最深的一个环节或一道题。

  设计意图：通过多元化的总结与评价，促进学生元认知能力的发展。分层作业兼顾巩固与拓展，将数学学习延伸至课外和生活，满足不同学生的需求，体现因材施教。

  七、板书设计

  板书是课堂教学的思维地图和视觉锚点，本课板书力求结构清晰、突出重点、动态生成。

  （左侧区域：情境关键词与关系式）

  花果山智慧乐园——“神秘消失案”

  原来共有-吃掉了=还剩（复习）

    10-3=7（个）

  总数-去掉的（？）=剩下的（新授模型）

    10-？=3

    10-3=7（个）

  核心模型：总数-剩下的=去掉的

  （中间区域：学生作品展示区）

  用于粘贴学生有代表性的画图表征作品（如集合圈图、简易线段图等）。

  （右侧区域：方法策略与对比区）

  侦探法宝：

    1.摆一摆（动手操作）

    2.画一画（图表分析）

    3.想一想（关系建模）

    4.算一算（列式解答）

    5.查一查（回顾检验）

  对比发现：

    求剩余：总数-去掉的=剩下的（顺向）

    求减数：总数-剩下的=去掉的（逆向）

  八、学习任务单（“我的探究学习单”）示例

  班级：__________姓名：__________评价：☆☆☆☆☆

  第一部分：侦探初体验（对应情境2）

  1.摆一摆，画一画：请你用喜欢的方式，把“10个桃子，剩下3个，求吃掉几个”这件事画下来。

    （此处留白，供学生绘画）

  2.写一写，说一说：根据你的图，列出算式：________-________=(个)

    算式中，第一个数表示________________，减去的数表示________________________，得数表示________________________。

  第二部分：侦探练兵场

  1.（基础题）停车场原来有35辆汽车，开走一些后，还剩10辆。开走了多少辆？

    我的画图：（留白）

    我的算式：______________________口答：。

  2.（变式题）一盒巧克力有24块。姐姐和弟弟一起吃了一些后，还剩6块。他们一共吃了多少块？

    我的算式：口答：。

  第三部分：侦探大挑战（对比与创编）

  1.请圈出下面问题中，需要用“总数-剩下的”来解决的问题（可多圈）。

    A.树上原来有28个苹果，摘了9个，还剩几个？

    B.小华做了30颗幸运星，送给小朋友一些后，自己还有15颗。送了多少颗？

    C.商店运来一批水果，卖出40箱后，还剩25箱。运来多少箱？

  2.我也能当小老师！请创编一个“求减数”的数学问题。

    我编的题目：____________________________________

    _____________