《概率论》-八假设检验

第一节假设检验思想概述

前面我们讨论了对总体参数的估计问题，即对样本进行适当的加工，以推断出参数的值（或置信区间）。本章介绍的假设检验，是另一大类统计推断问题，它是先对总体分布形式或分布中的某些参数提出假设，然后再通过对样本的加工，即构造统计量，推断出假设结论是应该接受或拒绝，该方法在数理统计的理论研究和实际应中都有重要作用。（一）问题的提出例8.1 某工厂引进一台包装洗衣粉，每袋标准重500g，包装机正常工作时称得洗衣粉的重量X服从正态分布 ，为检验包装机是否正常工作，随机抽取洗衣粉9袋，称得重量为498，511，520，515，512，524，518，506，497.问该包装机的工作是否正常？我们假设 ，如果洗衣粉重量X的均值 ，则说明包装机工作是正常的。于是提出假设：称为原假设或零假设，是与相对应的假设，称为备择假设。在处理实际问题时，通常把希望得到的陈述视为备择假设，它的对立假设是

假设提出之后，我们关心的是它的真伪。所谓对假设的检验，就是根据来自总体的样本，按照一定的规则对作出判断：是接受，还是拒绝。这个用来对假设作出判断的规则叫做检验准则，简称检验，如何对统计假设进行检验呢？我们结合上例来说明假设检验的基本思想和做法。2、假设检验的基本思想3、两类错误(2)原假设H0实际是不正确的，但是却被错误的接受了，这样就犯了“纳伪”的错误，通常称为第二类错误（typeⅡerror）,其发生的概率P{接受H0∣H0不真}=

。(1)原假设H0实际是正确的，但是却被错误地拒绝了，就犯了“弃真”的错误，通常称为第一类错误（typeⅠerror）。由于仅当小概率事件A发生时才拒绝H0，所以犯第一类错误的概率就是条件概率P{拒绝H0∣H0为真}=

。(四)检验结果的实际意义A）检验的原理是“小概率事件在一次试验中不发生”，以此作为推断的依据，决定是接受或拒绝。B）在假设检验中，原假设与备选假设的地位是不对等的。一般来说是较小的，因此检验推断是“偏向”原假设，而“歧视”备选假设的。C）在应用中，如果要用假设检验说明某个结论成立，那么最好设为该结论不成立。若通过检验拒绝了，则说明该结论的成立是很具有说服力的。第二节单个正态总体参数的假设检验设总体，抽取容量为n的样本X1，X2，…，Xn，样本均值与样本方差分别是在一定条件下检验关于未知参数或的某些假设1.单个正态总体均值的假设检验（1）已知时关于的假设检验（

检验法）设总体

,已知， 是取自总体的一个样本， 假设由选取为假设检验的统计量.作为检验统计量。(2)未知时，关于的检验（t检验法）当H0为真时，首先来求检验问题H0：；H1：的拒绝域（显著性水平为）。由于未知，不能再利用作 为检验统计量了。注意到S2是的无偏估计,用S2来代替，即采用所以关于H0的拒绝域为。可得关于

的各种不同的假设检验问题的拒绝域。这种用t统计量作为检验统计量的检验法称为t检验法。例1:设某次考试考生成绩服从正态分布,从中随机抽出36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?(取显著性水平=0.05)?例8.2一种汽车配件的平均长度要求为12cm，高于或低于该标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在购进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件提供商提供的样品进行检验，以决定是否购进。现对一个配件提供商提供的10个样本进行了检验，结果如下：

12.210.812.011.811.912.411.312.212.012.3

假定该供货商生产的配件长度服从正态分布，在0.05的显著性水平下，检验该供货商提供的配件是否符合要求？解：依题意建立如下原假设与备择假设： 根据样本数据计算得： 由于未知，计算检验统计量： 根据自由度 ，查t分布表得： 由于 ，所以不拒绝原假设，样本提供的证据还不足以推翻原假设。H0为

=

0,而备择假设H1表明

可能大于

0，也可能小于

0，称之为双边备择假设。备择假设为双边备择假设的检验问题称为双边假设检验（two-sidedtest）问题。当统计量的观测值落在内时，则拒绝原假设H0。因为拒绝域位于一边，所以称这类假设检验为单边假设检验（one-sidedtest）。(3)双边检验与单边检验例8.3已知某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布 ，某日测得5炉铁水的含碳量如下：

4.34，4.40，4.42，4.30，4.35

若标准差不变，该日铁水含碳量的均值是否显著降低（取）？解：设该日铁水含碳量 ，因为假定标准差不变，所以可认为已知 ，要检验的假设是： 选取统计量 已知 ，计算样本均值

由此得统计量的观测值查附表得 因为 ，所以拒绝原假设而接受备择假设，即认为该日铁水含碳量的均值显著降低了。(1)双边检验2、单个正态总体方差的假设检验(

检验法）设总体

,未知时,检验假设例8.4某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差 的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机抽取26只电池，测出其寿命的样本方差问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化（取）解：本题要求在水平 下检验假设

现在 由（8.5）拒绝域为 或

由观察值 得 ，所以拒绝，认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化。(2)单边检验(右检验或左检验)设总体

,未知时,检验假设零件直径xi9.29.49.69.810.010.210.410.610.8频数ni113675421解:要检验的假设是因为未知,所以选取统计量第三节 两个正态总体参数的假设检验设总体

，总体，从两个总体中分别独立抽取样本X1，X2，…，Xn1

及Y1，Y2，…，Yn2，样本均值与样本方差分别是及来检验关于参数的某些假设。1、两个正态总体均值的假设检验作假设（1）若已知，在成立前提下作函数拒绝域为，其中于是拒绝域为（2）与未知，但在成立下有例8.6设有甲、乙两种安眠药，比较它们的治疗效果，以表示失眠患者服甲药后延长睡眠的时数，以表示失眠患者服乙药延长睡眠的时数。现独立观察16个患者，其中8人服甲药，8人服乙药，延长时数分别为 假设与服从方差相同的正态分布，试问：这两种药的疗效有无显著差异 ？解：设 作假设 在成立的前提下，

拒绝域为 经计算得 于是有 由于 ，故接受，认为甲、乙两种药的疗效无显著差异。统计量2、两正态总体方差的假设检验(F检验法)(1)双边检验第四节 总体分布函数的假设检验检验法在总体的样本分布未知时,根据样本值x1,x2,…,xn来检验关于总体分布的假设的一种方法.

设总体的分布函数未知，是来自总体的一个样本，提出假设 此时已知，可以含有未知参数。若中含有未知参数，一般先利用最大似然估计给出参数一个点估计值。（一）检验法的基本思想将随机试验的可能结果的全体分为个互斥事件在成立前提下计算，若将试验进行次，事件出现的频率为。由大数定律可知，若试验次数很多，在成立前提下，的值应该比较小，故选用统计量若知道统计量的分布，便可利用样本值来判别是接受还是拒绝了。对于的分布，皮尔逊（Pearson）给出了下面的结论：近似地服从自由度为的分布，

定理8.1若试验次数充分大（一般），则当成立时，无论总体服从何种分布，统计量其中是分布中未知参数的个数。（二）检验法的基本步骤例8.7将1875年到1955年（共计81年）的某63年里上海市一年中（5月至9月）下暴雨次数的记录资料整理得下表：

试检验上海市一年中下暴雨的次数是否服从泊松分布解：要检验 其中为未知参数。先计算为真时，的极大似然估计 现有拟合检验法校验 概率函数为为计算列表计算如下：0123456784814191040.05740.15410.23440.22330.15950.091170.0702278.745