《概率论》-二随机变量wancheng

由第一章可知，一个随机试验E有多种可能的结果，所有这些可能的结果构成一个样本空间=（），但有时在进行随机试验时，人们往往不是关心样本空间本身，而是对某个数感兴趣，而这个数又依赖与样

点。第一节随机变量(一)随机变量例1某射手向某一目标射击三次，每次击中的概率是p，击不中的概率是q，人们关心的是三次命中目标的次数X，这个数X有如下特点：（1）X的取值事先不知道，只知道它的可能值是0、1、2、3.（2）X的可能取什么值与样本点有关，即X=X（）定义:当我们引入随机变量以后，就可以用随机变量来描述事件。例如在例1中，X取值为1，写成，它表示”击中目标的次数为1”这一事件。像这样的样本点的函数X()叫随机变量。（二）随机变量的分类下面再举几个随机变量的例子.按随机变量的取值的情况可以把随机变量分类，最常用是两类。（1）离散型随机变量。这类随机变量只取有限个值或可列无限多个值，如例1、2、3、4.（2）连续型随机变量。这类随机变量的可能取值可以连续的充满某一区间，如例5、6.第二节离散型随机变量及其分布（一）概率分布随机变量作为一个实值函数与普通函数有本质的差异：(1)定义域不同。随机变量是定义在样本空间上的，样本空间上的元素不一定是实数，而普通函数是定义在数轴上的。（2）随机变量的取值随试验的结果的不同而不同，我们在试验之前只知道它的可能取值而不能确定它取什么值，并且随机变量取各个值有一定的概率。例如在上一节的例1中，X的可能取值为0，1，2，3.为直观起见，将X的可能值及其相应的概率列成一个表（表2.1），称为概率分布表。xp0123表2.1X的概率分布可以用表或图表示，也分别称为X的概率分布表与概率分布图。由概率的基本性质可知，概率分布具有以下性质：（1）非负性（2）规范性反之，可以证明，具有性质（1），（2）的数列必是某个随机变量的概率分布。XPx1x20x3x4p1p2pp3p4例1、设随机变量的X的概率分布为：

试确定常数a.

例2、从1、2、3、4、5五个数中任取三个数，记X表示三个数中的最小者，求：（1）X的概率分布。（2）P{}解：（1）X的可能取值是1、2、3.于是，X的概率分布律为：123XP0.60.30.1解：

得a=1.（2）法一：P{X≥2}=P{X=2}+P{X=3}=0.4

法二：P{X≥2}=1－P{X＜2}=1－P{X=1}=0.4（二）几种常用的分布下面介绍几种常见的离散随机变量的概率分布。两点分布（0—1分布）定义

如果随机变量X只可能取0、1两个值，且P{X=1}=p，P{X=0}=q，则称X服从两点分布，记作X~B(1,p).特别地，当p=1是，随机变量X以概率1取值为1，称之为退化分布或单点分布。例如，投篮时中与不中，任选一名学生是男生还是女生，检验产品是否合格，电器元件的开或关等等，都可以用两点分布的随机变量来描述。例3、一箱产品中共10件，其中8件正品，2件次品，从中任选一件，定义随机变量如下：则P{X=1}=0.8，P{X=0}=0.2，X~B（1，0.8）若离散型随机变量X的分布律为二项分布其中0<p<1,称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~B(n,p)。当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-kk=0,1在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那么由二项概率公式得X的分布律为：即X服从二项分布。（0－1）分布可用B(1，p)表示。即为（0－1）分布例4、某人进行射击，每次射击击中目标的概0.01，独立射击500次，试求最少两次击中的概率。解：将每一次射击看成是一次贝努力试验，设击中的次数为X，显然X是随机变量。则X~B（500，0.01），其分布律为于是，所求概率为：直接计算上式是麻烦的，下面我们给出著名的二项分布的泊松逼近定理。泊松定理设λ>0是一常数，n是任意整数，设npn=λ，则对任意一固定的非负整数k，有证明定理的条件npn=λ，意味着n很大时候pn必定很小。因此当n很大，p很小时有近似公式其中λ=np。在实际计算中，当时用（λ=np）作为的近似值效果很好。而当时效果更佳。的值有表可查。从而例5（续例4）、利用近似公式计算概率P{X≥2}。这个概率很接近1，它说明虽然每次射击的命中率很小，但如果射击500次，则击中目标至少两次是几乎可以肯定的，这一事实说明，一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小，但只要试验次数很多，且试验是独立进行的，那么这一事件发生的几乎是肯定的。请读者不妨用次原理去解释彩票一等奖总有人中出这一博彩现象。泊松(Poisson)分布上式给出的概率满足：pk=P{X=k}

0,且设随机变量X的所有可能取值为0,1,2…,而取各值的概率为其中λ>0为常数,则称X服从参数为

的泊松分布，记为X~()。例6、已知某电话机一小时内的电话次数X服从=3的泊松分布，求在一小时内有多于5次电话呼唤的概率。解：第三节随机变量的分布函数（一）分布函数的概念.定义

设X是随机变量，对任意实数x，事件{X

x}的概率P{X

x}称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即

F(x)＝P{X

x}.

易知，对任意实数a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{X

b}－P{X

a}＝F(b)－F(a).例1、设随机变量服从两点分布，即P{X=0}=p，P{X=1}=1-p，求其分布函数F（x）.一般的，设离散随机变量X的分布律为则X的分布函数为其分布函数如右图：01p1xF(x)解：例2、将一质点投于半径为4的圆内，落点到圆心的距离为X，设质点落到圆内任一同心圆中的概率等于两圆面积之比，求X的分布函数。4x解：（4）直观上，当x->-∞时，事件{X≤x}趋于不可能事件，从而其概率趋于0，当x->+∞时，事件{X≤x}趋于必然事件，从而其概率趋于1。（二）分布函数的性质（1）F（x）是x的单调非降函数。（2）0≤F（x）≤1（非负有界性）。（3）F（x+0）=F（x）即F（x）是有连续的。第三节连续随机变量及其密度函数（4）若x为f(x)的连续点，则有概率密度f(x)具有以下性质：定义:设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(t),使得对于任意实数x，有则称X为连续型随机变量，称f(t)为X的概率密度函数，简称概率密度或分布密度。由性质（2）知：介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面积等于1（见图1）。由性质（3）知：X落在区间（x1,x2）的概率等于区间（x1,x2）上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积（见图2）。由性质（4）知：若已知连续型随机变量X的分布函数F(x)求导得概率密度f(x)。图１图２(1)若X为具有概率密度f(x)的连续型随机变量。则有如果x0为f(x)的连续点，有f(x)在x0处的函数值f(x0)反映了概率在x0点处的“密集程度”，而不表示X在x0处的概率。设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于各点的质量密度。（2）若X为连续型随机变量，由定义知X的分布函数F(x)为连续函数（注意：反之不然）。X取一个点a的概率为零，事实上两点说明在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间，即有事件{X=a}并非不可能事件概率为零的事件不一定是不可能事件；概率为1的事件不一定是必然事件。

例1、设随机变量X的密度函数求：（1）常数c（2）P{0≤X≤1}（3）P{x>1}解:(1)由概率密度的性质2得例2、设随机变量X的密度函数试确定常数c，并求使P{X≥1}及其分布函数F（x）。解：则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b)，均匀分布设连续型随机变量X的概率密度函数为X的分布函数为：（二）三种重要的连续型随机变量的分布概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的图形可用图示设连续型随机变量X具有概率密度则称X服从参数为

的指数分布。指数分布X的分布函数为f(x)和F(x)可用图形表示指数分布这一种特性称为无记忆性，如果X是某一原件的寿命，那么此式表明原件在使用了s小时后的条件下再使用t小时的概率等于从最初开始使用t小时的概率，原件对它已使用过的s小时已没有记忆。例3、设X~，试求P{X>t}和P{X>s+t|X>s}其中t>0,s>0.解：利用可以证明，正态分布设随机变量X的概率密度为其中

,

(

>0)为常数,则称X服从参数为

,

的正态分布或高斯分布,记为X~N(,2).X的分布函数为（1）最大值在x=μ处，最大值为;（3）曲线y=f(x)在处有拐点；正态分布的密度函数f(x)的几何特征：（2）曲线y=f(x)关于直线x=μ对称，于是对于任意h>0，有（4）当时，曲线y=f(x)以x轴为渐近线当

固定，改变

的值，y=f(x)的图形沿Ox轴平移而不改变形状，故又称为位置参数。若

固定，改变

的值，y=f(x)的图形的形状随

的增大而变得平坦。

越小，X落在

附近的概率越大。参数

=0，

=1的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,1)。其概率密度函数和分布函数分别用和表示，即和的图形如图所示。由正态密度函数的几何特性易知一般的正态分布，其分布函数F(x)可用标准正态分布的分布函数表达。若X~,X的分布函数F(x)为因此，对于任意的实数a,b(a<b)，有函数写不出它的解析表达式，人们已编制了它的函数表，可供查用。例4、设X~N(0,1)，求(1)P{2≤X≤3}(2)P{|X|<1}(3)求x，使得P{|X|≥x}=0.10解：定理：下面考虑一般正态分布的概率计算问题，先介绍正态变量的标准化定理。例5、设随机变量X~N（3，4），求P{2<X≤4}解：例6、解：第五节随机变量函数的分布设X是离散型随机变量，Y是X的函数Y=g(X)。那么Y也是离散型随机变量。设y=g(x)为一个通常的连续函数，X为定义在概率空间上的随机变量，令Y=g(X)，那么Y也是一个定义在概率空间上的随机变量。例1设随机变量X的概率分布为XP-1011/31/31/3解：Y的可能取值为0，1.YP011/32/3一、离散型随机变量函数的分布一般地，设随机变量X的概率分布为为了求Y=g（X）的分布，我们先形式的列出下表：若表中没有相同的，则这个表就是Y=g（X）的分布；若中有相同的，则把相同的值归为一个值，而把对应的概率相加，这样归并后的表格便是Y=g（X）的概率分布。YPg（X）P例2、设X为离散型随机变量，其分布函数为解：由X的分布函数F(X)知，X子、只取四个值：-2，-1，0，1.得X的分布律为XP-2-1010.20.150.250.4显然，Y只取0、1、2三个值，且P{Y=0}=P{|X+1|=0}=P{X=-1}=0.15P{Y=1}=P{|X+1|=1}=P{X=0}+P{X=-2}=0.45P{Y=1}=P{|X+1|=2}=P{X=1}=0.4因此，Y的分布函数为设X为连续型随机变量，具有概率密度fX(x)。又Y=g(X)，在大部分情况下Y也是连续型随机变量。为了求出Y的概率密度fY(y)，可以先求出Y的分布函数FY(y)由FY(y)便可求出Y的概率密度fY(y)=F’Y(y)。计算的关键是给出上式的积分区间。即将事件转化为用X表示的事件。其中。这种方法称之为分布函数法。定理

设随机变量X具有概率密度fX(x)。函数g(x)为（-∞，+∞）内的严格单调的可导函数，则Y=g(X)也是一个连续型随机变量，且Y的概率密度函数为当函数