《概率论》-四随机变量的数字特征

第一节数学期望例1某工厂生产的某产品分一等、二等及三等三个等级，这三个等级的产量经抽样检查依次占总量的70%、25%、5%，每件产品相应的产值依次为20元、15元和10元，问这批产品的平均产值是多少？

假定这批产品的总量为N，由题设一、二、三等品的件数大致分别为N·75%、N·25%、和N·5%件，从而总产值大致因此平均产值就自然而然地理解为

（一）随机变量的数学期望

后一和式的每一项式两个数的乘积，其中一个是产品可能的产值，另一个式产品具有相应产值的概率（在此具体问题中用频率替代了概率）、仿此，对一般离散型随机变量，我们有如下定义：

为随机变量X的数学期望，简称期望，记为E(X)，即则称E(X)是一个实数，形式上是X的可能值的加权平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称E(X)为X的平均值，简称均值。它完全由X的分布所决定，又称为分布的均值.例2:某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分别为5元，2元和-4元。问厂家对每件产品可期望获利多少？解:设X表示一件产品的利润(单位：元),X的分布率为X52-4P0.60.20.2X的数学期望:虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每件产品的平均利润为2.6元，还是有利可图的。若X为一连续型的随机变量，它的数学期望定义如下：设连续型随机变X的密度函数为飞f(x),若：

则称若则称x为数学期望不存在此处要求和理由同定义1例3若X的密度函数为

则称X服从Cauchy分布。其数学期望不存在。例4某公共汽车停靠站每隔5分钟有一辆汽车到站，乘客在任一时刻达到此地，求候车时间的数学期望。解设X为乘客的候车时间，则X服从【0，5】上的均匀分布，即其密度函数为故例5设随机变量X的密度函数为求X的数学期望E(X).解f(x)为一分段函数，且在区间【0，2】之外取值为0，因此二随机变量函数的数学期望

设随机变量X,Y的数学期望E(X),E(Y)存在.三数学期望的性质下面我们来看一个实际问题例9某地中秋节的月饼全部来自于某食品加工厂，该地中秋节月饼需求量X在4到6吨之间服从均匀分布，食品厂每销出1吨月饼获利1万元，若积压1吨月饼，则损失4千元（淡季降价处理），为使工厂所获利润的数学期望最大，问该厂应生产多少吨月饼为宜？例10在一次试验中时间A发生的概率为p，则在n次这样的独立重复试验中事件A发生的次数X~B(n,p),求E(X)例12：将n封不同的信的n张信笺与n个信封进行随即匹配，记X表示匹配成对数，求E（X）。第二节方差方差具有如下基本性质：若是常数C为一随机变量，则

D(C)=0

设为一随机变量，C为常数，则

第三节几种常用分布的数学期望与方差X01P1-pp第四节协方差和相关系数若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为P{X=xi，Y=yj}=pij，i,j=1,2,…若(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)第五节矩、协方差矩阵设n维随机变量(X1,X2,···Xn)

的1+1阶混合中心矩为n维随机变量(X1,X2,···Xn