第8讲 一定是直角三角形吗-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）（教师版）

第八讲一定是直角三角形吗【学习目标】1.会用勾股定理逆定理判定三角形是不是直角三角形.2.理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数【基础知识】1.如果三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.2.满足条件a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，常见的数组有3、4、5；5、12、13；8、15、17等等.这些数组的倍数仍然是勾股数组.【考点剖析】考点一：勾股数例1．（1）下列各组数据中，是勾股数的是（）A．3，4，5 B．1，2，3C．8，9，10 D．5，6，9【答案】A【详解】解：A、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；B、，不能构成三角形，故不是勾股数；C、，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D、，不能构成直角三角形，故不是勾股数．故选：A．（2）下列各组数中，是勾股数的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项错误；

B、，，，不是整数，故此选项错误；C、，能构成直角三角形，是整数，故此选项正确；D、，，，不是整数，故此选项错误；故选：C．考点二：直角三角形的判定例2．（1）下列条件中，能判断是直角三角形的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】A【详解】解：①，∴，∴∠C=90°，即△ABC为直角三角形；②，∴，∴，∴∠A=90°，即△ABC为直角三角形；③，∴=，即△ABC为直角三角形；④，∴可以假设∠A=6k，∠B=3k，∠C=2k，∴6k+3k+2k=180°，∴k=，∴∠A=＞90°，即△ABC是钝角三角形；⑤，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则x+2x+3x=180°，解得x=30°，故∠C=3x=90°，即△ABC是直角三角形；⑥，设AB=3x，AC=4x，BC=5x，则（3x）2+（4x）2=（5x）2，即△ABC是直角三角形，故选：A．（2）如图，根据下列条件，不能判断是直角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：A、∠D=20°，∠B=70°，则∠BAD=180°-20°-70°=90°，则△ABD是直角三角形；B、AB=5，AD=12，BD=13，满足，则△ABD是直角三角形；C、AC=BC=CD，则∠B=∠CAB，∠D=∠CAD，∴∠BAD=∠CAB+∠CAD=（∠B+∠CAB+∠D+∠CAD）=90°，则△ABD是直角三角形；D、∠B=3∠D，∠BAD=8∠D，则3∠D+8∠D+∠D=180°，解得：∠D=15°，则∠BAD=8∠D=120°，则△ABD不是直角三角形；故选D．考点三：勾股定理逆定理的应用例3．古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．（1）你能说说其中的道理吗？（2）仿照上面的方法，你能否只用绳子，设计一种不同于（1）的直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】解：（1）设相邻两个结点的距离为x，则此图1中的三边长分别为、、，∵，∴以、、为边长的三角形是直角三角形，即是直角三角形，其中；（2）∵，∴如图所示，即为所求（答案不唯一，正确即可得分）．例4．如图，在中，∠ACB=90°，AB=13，AC=12，点D为外一点，连接BD，CD，测得CD=4，BD=3，求四边形ABDC的面积．【答案】36．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，AB=13，∴BC2=AB2-AC2=132-122=25，∴BC=5，∵CD=4，BD=3，∴CD2+BD2=42+32=25，∴CD2+BD2=BC2，∴△DBC是直角三角形，且∠D=90°，∴S△DBC=BD×DC=×3×4=6；由（1）知在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5，∴S△ABC=BC×AC=×5×12=30．∴S四边形ABCD=S△ABC+S△DBC=30+6=36．【真题演练】1．在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝12，b＝5，c＝13C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝7，b＝24，c＝25【答案】A【详解】A、，所以该三角形不是直角三角形，故该选项符合题意；B、，所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意；C、，所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意；D、，所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意．故选A．2．以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．4，6，8 C．8，24，25 D．6，12，13【答案】A【详解】解：A、32+42=52，能组成直角三角形；B、42+62≠82，不能组成直角三角形；C、82+242≠252，不能组成直角三角形；D、62+122≠132，不能组成直角三角形．故选：A．3．下列条件中，使不是直角三角形的是（）A．，， B．C． D．【答案】C【详解】A、∵，∴是直角三角形；B、∵，∴是直角三角形；C、设a=b=2x，c=3x，∵，，∴，∴不是直角三角形；D、设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，∵，∴，解得x=，∴∠C=3x=，∴是直角三角形；故选：C．4．若的三边为下列四组数据，则能判断是直角三角形的是（）A．1、2、2 B．2、3、4 C．6、7、8 D．6、8、10【答案】D【详解】解：不是直角三角形，故不符合题意；不是直角三角形，故不符合题意；不是直角三角形，故不符合题意；是直角三角形，故符合题意；故选：5．以下列三个数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．9，16，25【答案】C【详解】解：故错误；故错误；故正确；故错误；故选：6．已知的三边长分别为a，b，c，且这三边长满足，则最长边上的高h=（）A．3 B．4 C．5 D．【答案】D三角形的面积公式列方程即可求解．【详解】解：∵，∴，，，

解得：，，，

则，

故这个三角形的形状是直角三角形，根据题意得：即，解得：．故选：D．7．已知a，b，c是△ABC的三条边，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A． B．∠A：∠B：∠C=3：4：5C．∠C=∠A-∠BD．a：b：c=5：12：13【答案】B【详解】解：A、∵b2=c2-a2，

∴c2=b2+a2，∴△ABC是直角三角形

故本选项不符合题意；B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴最大角∠C=×180°=75°，此三角形不是直角三角形，本选项符合题意；C、∵∠C=∠A-∠B，

∴∠C+∠B=∠A，

∴∠A=90°，

∴△ABC是直角三角形，

故本选项不符合题意；

D、∵a：b：c=12：13：5，

∴a2+c2=b2，

∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．8．中，，的对边分别是，，，下列说法错误的是（）A．如果，则是直角三角形B．如果，则是直角三角形，且C．如果，则是直角三角形D．如果，则是直角三角形【答案】B【详解】A选项：根据三角形内角和定理，可求出为度，故A正确；B选项：解得应为度，故B错误；C选项：设三角分别为，，，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：度，度，度，则是直角三角形，故C正确；D选项：化简后有，根据勾股定理，则是直角三角形，故D正确；故选B．9．如图，一块四边形的土地，其中，，，，．（1）试说明；（2）求这块土地的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）如图，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=4m，AD=3m，由勾股定理得：BD=5m，∵BC=13m，CD=12m，BD=5m.∴BD2+DC2=BC2，∴∠BDC=90°，即BD⊥BC；（2）如图，四边形ABCD的面积是S△ABD+S△BDC=×3×4+×5×12=36．10．如图是一块四边形菜地，，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，DA＝13m，求这块菜地的面积．【答案】【详解】如图，连接AC，因为，AB＝4，BC＝3，所以AC2=42+32，AC=5因为AC2+CD2=52+122=169，AD2=132=169所以AC2+CD2=AD2，所以，所以菜地的面积为．【过关检测】1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，5，6 D．5，12，13【答案】C【详解】解：A、32＋42＝52，符合勾股定理的逆定理，故错误；B、62＋82＝102，符合勾股定理的逆定理，故错误；C、52＋52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故正确；D、52＋122＝132，符合勾股定理的逆定理，故错误．故选：C．2．已知△ABC中，a､b､c分别是∠A､∠B､∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A=∠C-∠B B．a：b：c=25：7：24C． D．【答案】D【详解】解：A.由∠A=∠C-∠B且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC是直角三角形，A选项不符合题意；B.设a=25，b=7，c=24，此时，故△ABC是直角三角形，B选项不符合题意；C.由条件可得到，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形，C选项不符合题意；D.此时，故△ABC不是直角三角形，符合题意．故答案选D．3．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）（1）a=b，∠A=45°（2）∠A=32°，∠B=58°（3）a=5，b=12，c=13（4）a=32，b=42，c=52A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：（1）∵a=b，∴∠A=∠B．∵∠A=45°，∴∠A=∠B=45°，∠C=90°，∴△ABC是直角三角形；（2）∵∠A=32°，∠B=58°，∴∠C=180°﹣32°﹣58°=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）∵a=5，b=12，c=13，∴a2+b2=c2，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形．（4）∵a=32，b=42，c=52，∴a2+b2≠c2，∴不能判定△ABC是直角三角形．∴直角三角形的个数有3个，故选：C．4．下列说法中正确的是（）A．已知a,b,c是三角形的三边，则B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在中，，所以D．在中，，所以【答案】D【详解】A.在直角三角形中，两个直角边为a，b，斜边为c，则才有，排除.B.在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，排除.C.在中，,则斜边为AB，故有，排除.D.在中，,则斜边为AB，故有，正确.5．已知三角形的三边长为6,8,10，则这个三角形最长边上的高为（）A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．10【答案】B【详解】解：∵62+82=102，

∴这个三角形是直角三角形，

∴边长为10的边上的高为6×8÷10=4.8．

故选：B．二、填空题6．若三角形三边长分别为15，12，9，则这个三角形最长边上的高是____.【答案】【详解】因为，所以此三角形是直角三角形，设最长边上的高为，所以该三角形的面积为，解得.故答案为.7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点在小正方形的格点上，连接，则________．【答案】45【详解】解：如图，连接由勾股定理得：为等腰直角三角形，故答案为：8．三角形的三边a，b，c满足(a－b)2＝c2－2ab，则这个三角形是______．【答案】直角三角形．【详解】解：∵（a-b）2=c2-2ab，∴a2-2ab+b2=c2-2ab，∴a2+b2=c2．∴△ABC是直角三角形．故答案为：直角三角形．9．阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2）），M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题：（1）若点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q两点间的距离；（2）若点A（1，2），B（4，﹣2），点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由．【答案】(1)13；(2)△AOB是直角三角形.【详解】解：(1)P，Q两点间的距离＝＝13；(2)△AOB是直角三角形，理由如下：AO2＝(1﹣0)2+(2﹣0)2＝5，BO2＝(4﹣0)2+(﹣2﹣0)2＝20，AB2＝(4﹣1)2+(﹣2﹣2)2＝25，则AO2+BO2＝AB2，∴△AOB是直角三角形．故答案为(1)13；(2)△AOB是直角三角形.10．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：其中m、n为正整数，且m>n.(1)观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长?说明你的理由．(2)探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a=___，b=___，c=___.(3)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直