第04讲 认识实数(解析版)

添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群第04讲认识实数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1无理数的识别题型2无理数的大小估算题型3实数概念理解题型4实数的分类题型5实数的性质题型6实数的数轴题型7实数的大小比较04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航无理数、实数、一一对应、无限不循环小数、数系扩充。1.理解无理数和实数的概念，知道实数分为有理数和无理数。2.能识别常见无理数（如π、含根号开不尽的数、无限不循环小数）。3.知道实数与数轴上的点一一对应，能在数轴上估算并标出简单无理数的位置。4.体会数系扩充的必要性，感受逼近思想与数形结合的数学方法。学习重点：无理数与实数的概念，以及实数与数轴上点的一一对应关系。学习难点：理解无理数是无限不循环小数，以及用数轴上的点表示无理数（如2的几何构造）。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01无理数的概念概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式(2)常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.【易错提醒】无理数是无限不循环小数。常见形式：含π的数、开方开不尽的根式（如√2）、有规律但不循环小数（如0.1010010001…）。注意分数（如1/3）是循环小数，不是无理数。即时即练在实数，，，，（两个之间依次多一个），，中，无理数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【知识点】无理数【分析】此题考查无理数的定义，解题关键在于掌握无理数为开方开不尽的数，以及像（两个之间依次多一个），等有这样规律的数．无理数：无限不循环的小数是无理数，根据无理数的定义依次判断即可；【详解】解：上述数中，是无理数的有：（两个之间依次多一个），，，共个；故选：C．知识点02实数1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.2.实数的分类按定义分：按与0的大小关系分：实数实数3.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.【易错提醒】实数包括有理数和无理数，不是仅指无理数。注意：所有开方运算结果不一定都是无理数（如√4=2），带根号的数不一定是无理数。分类勿遗漏0。即时即练把下列各数的序号填在相应的横线上：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧0，⑨（每两个1之间依次多一个0）．整数_______________；负分数_____________；无理数_____________．【答案】①④⑧；③⑥；②⑦⑨【知识点】实数的分类【分析】本题考查实数的分类，根据实数的分类即可求得答案．【详解】解：整数：①④⑧；负分数：③⑥；无理数：②⑦⑨；故答案为：①④⑧；③⑥；②⑦⑨．题型1无理数的识别【例1】下列各数是无理数的是（）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】本题考查无理数的识别，涉及无理数定义：无限不循环小数或无法表示为分数的数，熟记无理数定义是解决问题的关键．根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为分数的数即可得到答案．【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意；B、中，是无理数，有理数与无理数相乘仍为无理数，符合题意；C、0是整数，属于有理数，不符合题意；D、，是整数，属于有理数，不符合题意0故选：B．【例2】下列四个实数中，是无理数的是（

）A． B．0.3 C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义，即无限不循环小数，逐一判断各选项是否为有理数或无理数．【详解】A、，是整数，属于有理数，不符合题意；B、是有限小数，可表示为分数，属于有理数，不符合题意；C、是分数，属于有理数，不符合题意；D、是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；故选：D．【技巧归纳】1.定义法：无限不循环小数为无理数，常见π、e、开方开不尽的数（2）。2.排除法：整数、分数（含循环小数）为有理数，其余多为无理数。3.注意形式：22仍无理，带根号但能开尽（4【变式1-1】在实数：，，3，，，（相邻每个1之间依次多一个0），中，无理数的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义．根据无理数的定义（无限不循环小数）逐一判断各数是否为无理数．【详解】解：（即）：有限小数，属于有理数；：整数，属于有理数；3：整数，属于有理数；：化简为，是无理数，故为无理数；：是无理数，减去有理数2仍为无理数；（无限不循环）：符合无理数定义；：有限小数，可化为分数，属于有理数；综上，无理数共3个，故选：A．【变式1-2】下列各数中：（3和3之间的0的个数依次增加1个），，无理数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．【详解】解：，，，∴、、是整数，是分数，是小数，它们不是无理数；，（3和3之间的0的个数依次增加1个），是无限不循环小数，它们是无理数，一共3个；故选：D．题型2无理数的大小估算【例3】下列各数，比大的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了实数的大小比较，先估算和的大小，再比较即可求解，掌握实数的大小比较方法是解题的关键．【详解】解：∵，，∴比大的是，故选：．【例4】估计的值应在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】B【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；通过估算的值，再减去2，确定结果所在区间．【详解】解：∵，∴，∴的值应在2和3之间；故选B．【技巧归纳】1.找邻近平方数：如5，因4<5<9，故2<5<3。2.二分逼近：取中间值平方比较，逐步缩小范围到所需精度。3.保留近似值：常用1.414、1.732、2.236等熟记。【变式2-1】如图，数轴上点A表示的数可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解决本题的关键．设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．【详解】解：设点表示的数为，由图可知：，∵，即：，故选项A符合题意；∵，即：，故选项B不符合题意；∵，即：，故选项C不符合题意；∵，即：，故选项D不符合题意；故选：A．【变式2-2】《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（为“勾”，为“股”，为“弦”）若“勾”为，“股”为，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】C【分析】本题考查无理数的估算，实数与数轴，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．根据题意列式计算后估算其大小，然后确定其在数轴上的位置即可．【详解】解：若“勾”为，“股”为，则，，，则“弦”在如图所示数轴上可表示在点，故选：C．题型3实数概念理解【例5】已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【知识点】实数与数轴、实数概念理解【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得．【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①错误；任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确；实数与数轴上的点一一对应，故③正确；整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数，∴有理数有无限个，无理数也有无限个，故④错误．∴正确的是②③共2个．故选：B．【例6】下列说法正确的是（

）A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数【答案】D【知识点】实数的分类、实数概念理解【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可．【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意；B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意；C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意；D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意；故选：D．【技巧归纳】1.实数组成：有理数（整数、分数）与无理数（无限不循环小数）。2.与数轴关系：每个实数与数轴上点一一对应。3.分类标准：按定义（有理/无理）或性质（正/负/零）区分，注意0既非正非负。【变式3-1】下列说法正确的是（

）A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数【答案】C【知识点】实数概念理解、实数与数轴【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可．【详解】A.两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意；B.无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；C.实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；D.分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．故选：C．【变式3-2】下列判断正确的是（）A．是分数，是有理数 B．是整数，是有理数C．是无限小数，是无理数 D．3.1415926是小数，是无理数【答案】B【分析】本题考查有理数与无理数的定义．逐一分析各选项中的数是否属于所述类别，结合有理数与无理数的定义判断正误．【详解】解：A．是无理数，其除以2仍为无理数，故不是有理数，判断错误．B．，是整数且属于有理数，判断正确．C．是分数，属于有理数，判断错误．D．3.1415926是有限小数，属于有理数，判断错误．故选：B．题型4实数的分类【例7】把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）．(1)正实数：{}；(2)负实数：{}；(3)有理数：{}；(4)无理数：{}．【答案】(1)，，，（两个1之间依次增加一个7）(2)，(3)，，(4)，，（两个1之间依次增加一个7）【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数；（2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数；（3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数；（4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数．【详解】（1）正实数：{，，，（两个1之间依次增加一个7）}；（2）负实数：{，}；（3）有理数：{，，}；（4）无理数：{，，（两个1之间依次增加一个7）}．【例8】请将下列各数分别填入相应的括号内：…（两个6之间依次增加一个5），，0，，8，，，，，，．正数：{

，…}；有理数：{

，…}；负数：{

，…}；无理数：{

，…}．【答案】正数：；有理数：；负数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}；无理数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}．【分析】根据正数、有理数、负数、无理数的定义进行分类．正数是大于0的数；有理数是整数、有限小数或无限循环小数；负数是小于0的数；无理数是无限不循环小数．本题考查了实数的分类，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．【详解】解：正数：；有理数：；负数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}；无理数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}．【技巧归纳】1.二分法：实数分为有理数和无理数。2.三分法：正实数、零、负实数。3.有理数再分：整数（正整数、零、负整数）和分数（正负分数、有限小数、无限循环小数）。4.注意：无理数是无限不循环小数。【变式4-1】在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）．(1)有理数集合：{

…}；(2)无理数集合：{

…}；(3)正实数集合：{

…}；(4)负实数集合：{

…}．【答案】(1)(2)，，…（小数部分由相继的正整数组成），(3)(4)（小数部分由相继的正整数组成），，，【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．（1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可．【详解】（1）解：有理数集合：；（2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}；（3）解：正实数集合：；（4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}．【变式4-2】把下列各数填入相应的大括号内：，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）．有理数：｛

｝；无理数：｛

｝；整数：｛

｝；负实数：｛

｝．【答案】有理数：；无理数：；整数：负实数：．【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答．【详解】解：有理数：；无理数：；整数：负实数：．题型5实数的性质【例9】实数的相反数是__________．【答案】【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可获得答案．【详解】解：实数的相反数是．【例10】的相反数是______，的绝对值是______．【答案】【详解】解：的相反数为.，，则．【技巧归纳】1.运算封闭：加、减、乘、除（除数≠0）结果仍为实数。2.比较大小：正数>0>负数；两负数绝对值大的反而小。3.数轴对应：每个实数与数轴上的点一一对应。4.相反数、倒数、绝对值：定义与有理数相同。【变式5-1】的相反数是______，的绝对值是______．【答案】//【详解】解：的相反数为．∵，∴，∴．【变式5-2】（1）的倒数是__________．（2）相反数和绝对值都为的实数是_____________．（3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________．【答案】【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算．（1）根据倒数的定义求解即可；（2）根据相反数和绝对值的定义求解即可；（3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可．【详解】解：（1）的倒数是；故答案为：；（2）设该实数为，则相反数为，绝对值为，且，由于，∴；故答案为：；（3）=，其相反数为，绝对值为，倒数为；故答案为：，，．题型6实数的数轴【例11】如图，数轴上的点表示的数为，则．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴．根据勾股定理求出的长，即可得到的长，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可．【详解】解：如图，，∴，故答案为：．【例12】如图，在数轴上，点表示的数为，垂直数轴，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为．【答案】【分析】本题主要考查了实数，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键．先根据题意确定，，再根据勾股定理求出，即可得答案．【详解】解：由题意可知，，根据勾股定理，得，点在正半轴，且点对应的实数为，故答案为：．【技巧归纳】1.一一对应：每个实数对应数轴上唯一一点，反之亦然。2.比较大小：右点表示的数大于左点。3.表示无理数：用勾股定理作2等，以原点为心画弧取点。4.求距离：|a-b|。【变式6-1】如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为．【答案】/【分析】本题考查了实数与数轴，直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案．【详解】解：由图知，，∴是直角三角形，∵，，∴，∴，∴N点所表示的数为：．故答案为：．【变式6-2】如图，数轴上表示的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．(1)写出实数x的值．(2)求的值．【答案】(1)(2)1【分析】本题考查了实数与数轴．（1）先求出，再根据点B到点A的距离与点C到点O的距离相等作答即可；（2）将代入计算即可．【详解】（1）解：∵点A，B分别表示1，，∵点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，；（2）解：题型7实数的大小比较【例13】比较大小：．【答案】【分析】本题考查的是实数的大小比较．利用平方法将两个数都转化为有理数是解决此题的关键．因为两个数均大于0，将二者平方后比较大小，平方大的数就大．【详解】解：∵，∴故答案为：．【例14】比较大小：．(填“”“”或“”)【答案】【分析】本题主要考查了实数的大小比较，根据，即可求解．【详解】解：∵，∴．故答案为：．【技巧归纳】1.数轴法：右大左小。2.近似法：取无理数近似值比较。3.平方法：平方后比较（正数）。4.作差法：差>0则大。5.作商法：商>1且正数则大。6.找中间量。注意分母有理化。【变式7-1】比较大小：（选填“”，“”或“”）．【答案】【分析】本题考查了实数的大小比较，正确估算出的取值是解题关键．先判断出，即可判断出，问题得解．【详解】解：∵，∴．故答案为：【变式7-2】（1）比较与的大小；（2）比较与的大小【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了实数的大小比较．（1）先确定的范围，再确定的范围，即可比较；（2）先确定和的范围，即可比较．【详解】解：（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以；（2）因为，，所以．一、单选题1．实数的相反数是（

）A． B． C．6 D．【答案】A【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数，∴的相反数为．2．如图，在数轴上表示的点可能是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【分析】先判断出的取值范围，进而可得出结论．【详解】解：，，点符合题意．故选：B．3．在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】根据无理数定义（无限不循环小数是无理数），逐个判断给定实数，统计无理数个数得到结果，常见无理数包括含π的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类．【详解】∵是分数，0是整数，3.14是有限小数，是整数，以上都属于有理数；又∵中π是无限不循环小数，∴是无理数，∵开平方开不尽，是无限不循环小数，∴是无理数，∵开立方开不尽，∴是无理数，∵0.202002000…是无限不循环小数，∴是无理数，是分数、0是整数、3.14是有限小数、是整数，这些都是有理数，∴无理数共有4个．4．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和，A是线段的中点，则点C所表示的实数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得，再根据右边的点减去左边的点表示数轴上两点之间的距离，据此求解即可．【详解】解：设点表示的数为，∵点B关于点A的对称点为C，，即，解得，点C所表示的实数为．5．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，，记，那么三角形的面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积介于整数和之间，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先根据公式计算出三角形面积，再估算面积的范围即可得到n的值．【详解】解：根据题意，三角形三边长为，，，则，∴，∵，∴，∵面积介于整数和之间，∴．二、填空题6．如图，在数轴上点A表示的实数是________【答案】【分析】先由勾股定理求解，再由实数与数轴的对应关系即可得到点A表示的实数．【详解】解：由勾股定理可得，∴∴在数轴上点A表示的实数是．7．比较大小：______．______．【答案】【分析】通过比较和的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小绝对值大的反而小即可；先比较和的大小，然后比较和的大小即可．【详解】解：①，，，∴．，∴，∴．8．若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为______．（填字母）【答案】【分析】通过平方法估算的范围即可求解．【详解】解：，，∵，∴，即，∵为正整数，且满足，∴，∴数轴上表示的数的点为．9．在，，，（每两个之间的个数依次增加），，中，无理数的个数有______个．【答案】【分析】先将化简，再根据无理数的定义逐个判断各数即可求解．【详解】解：是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；，是整数，属于有理数；（每两个之间的个数依次增加）是无限不循环小数，是无理数；是无限不循环小数，是无理数；是开方开不尽的数，是无理数；无理数有个．10．斐波那契数列中的第n项可以用表示，随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值，因此斐波那契数列又称黄金分割数列．在上述式子中，最接近的整数为______．【答案】2【分析】估算出，从而可得，由此即可得出结果．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴最接近的整数为2．三、解答题11．利用勾股定理在数轴上画出的点P【答案】【分析】在数轴原点的正半轴上取点，使（单位长度）；过点作数轴的垂线，在垂线上截取（单位长度）；连接，由勾股定理得，再以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，点就是表示的点．【详解】略12．把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧0（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩3.14．(1)整数集合：{

…}；(2)分数集合：{

…}；(3)非负有理数集合：{