第06讲 平方根(原卷版)

添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群第06讲平方根内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1平方根概念理解题型2求一个数的平方根题型3已知一个数的平方根，求这个数题型4平方根中的数值转换器问题题型5利用平方根解方程题型6求代数式的平方根题型7算术平方根与平方根综合问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航平方根、±、开平方、正负两个、负数无平方根。1.理解平方根的概念，知道正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根是0，负数没有平方根。2.掌握平方根的符号表示（±），能区分平方根与算术平方根的联系与区别。3.能求出一个非负数的平方根，并正确书写解题过程。4.经历平方根概念的形成过程，体会从特殊到一般、分类讨论的数学思想。学习重点：平方根的概念及求法，平方根与算术平方根的区别与联系。学习难点：理解负数没有平方根的原因，以及正确书写和区分“a”与“±a”的意义。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01平方根（1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”,（2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”,（3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。【易错提醒】正数平方根有两个(±a)，互为相反数；0的平方根是即时即练1.用式子表示“9的平方根等于”正确的是（

）A． B． C． D．2.下列说法正确的是（

）A．是16的平方根 B．0没有平方根C．25的平方根是5 D．3.求下列各数的平方根：(1)81；(2)；(3)1.69；(4)；(5)；(6)知识点02开平方（1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数；（2）区别：取值范围不同：中a为任意实数；中a；被开方数不同：中被开方数为；中被开方数为a；运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。联系：结果为非负数；中a≧0时，=【易错提醒】求一个数的平方根(±a)时，正数有两个互为相反数，勿只写正根；0的平方根是即时即练1.解决下列问题：(1)已知是的整数部分，，求的平方根；(2)已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简．

题型1平方根概念理解【例1】下列哪个数没有平方根（

）A． B． C．0 D．【例2】下列说法正确的是（

）A．的平方根是 B．的平方根是C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根【技巧归纳】1.定义：若x2=a，则x是a的平方根，记作±a2.双重性：正数有两相反平方根；0的平方根是0；负数无平方根。3.区别：a是算术平方根（非负），−a【变式1-1】下列说法中，正确的是（

）A．的平方根是 B．的算术平方根是C．0的平方根与算术平方根都是0 D．带根号的数都是无理数【变式1-2】下列说法：①是5的一个平方根；②的算术平方根是－3；③的平方根是；④0的平方根是0．其中错误说法的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型2求一个数的平方根【例3】的平方根是．【例4】化简：＝．【技巧归纳】求平方根的关键是找到平方后等于该数的值。正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。计算时先判断符号，再分解质因数简化根式，结果用根号或小数表示。【变式2-1】16的平方根是；2的算术平方根是．【变式2-2】求下列各数的平方根及算术平方根：(1)；(2)；(3)；(4)．题型3已知一个数的平方根，求这个数【例5】已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是．【例6】一个数的两个平方根分别是与，则这个数是．【技巧归纳】已知平方根求原数，直接将平方根平方即可。注意正数有两个相反平方根，平方后得同一数。若给出的是算术平方根，平方得原数；若为负数平方根，平方后同样得正数。勿忘0的情况。【变式3-1】若和是某正数m的两个平方根，则这个正数m为．【变式3-2】若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是．题型4平方根中的数值转换器问题【例7】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（

）A． B． C．5 D．【例8】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的值是______．【技巧归纳】数值转换器问题：明确输入运算顺序，依次求出平方根或算术平方根。注意平方根通常取非负，多个输出时考虑正负。若反求输入，则逆向运算并将结果平方。留意定义域，负数无实数平方根。【变式4-1】如图，是一个数值转换器，原理如图所示．(1)当输入的x值为16时，求输出的y值；(2)是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．(3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则．【变式4-2】有一个数值转换器，运算流程如下：(1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值．(2)若输出的值为，求输入的值．题型5利用平方根解方程【例9】解方程：【例10】解方程：．【技巧归纳】解形如x2=a的方程：先判断a的正负，a<0无实数解；a=0得x=0；a>0得x=±a【变式5-1】解方程：【变式5-2】解方程：．解：．．．．．．第一步．．．．．．第二步．．．．．．第三步(1)以上解方程的过程中从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________．(2)请写出正确的解方程过程．题型6求代数式的平方根【例11】若a是的整数部分，b是的小数部分．则的平方根是．【例12】若|，则的平方根为．【技巧归纳】求代数式的平方根，先确保代数式非负，再将其视为整体开平方，结果用±表示。若含未知数，需讨论其范围以保证被开方数非负，并化简根号内的完全平方项，注意绝对值处理。【变式6-1】已知实数x，y满足，则的平方根为．【变式6-2】已知实数，，满足：，求：(1)，，的值．(2)的平方根．题型7算术平方根与平方根综合问题【例13】已知的平方根是，的算术平方根是4．(1)求a、b的值；(2)求的平方根．【例14】已知的平方根为，的算术平方根为．(1)求的值；(2)求的平方根．【技巧归纳】区分算术平方根（非负）与平方根（互为相反数）。已知平方根求原数用平方，已知算术平方根则直接平方。解方程时注意是否要求正负，避免遗漏或增根。被开方数需非负，此为隐含条件。【变式7-1】已知一个正数的两个平方根分别是和．(1)求和的值；(2)若，求的算术平方根．【变式7-2】已知一个正数的两个平方根分别是和．(1)求和的值；(2)若的立方根为，求的平方根．一、单选题1．下列结论中，正确的是（

）A．的平方根是 B．0没有平方根C．1的算术平方根是1 D．的平方根是2．下列语句中，正确的是（）A．的平方根是 B．的平方根是C．的算术平方根是 D．的算术平方根是23．若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是（

）A．3 B．6 C．9 D．254．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（

）A． B． C． D．5．若介于两个连续的整数和之间（），则的平方根是（

）A． B． C． D．二、填空题6．_________，的算术平方根为_________，的平方根为_________．7．已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的算术平方根是_____．8．实数、满足，则的平方根是________．9．实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简=_________．10．已知和的值互为相反数，且的平方根是它本身，则的平方根为_______．三、解答题11．利用平方根的意义求下列各式中的．(1)；(2)．12．已知的算术平方根是3，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．13．已知一个正数x的两个平方根分别