第14讲 一次函数的图象(12类重点题型+过关检测)(原卷版)

添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群第14讲一次函数的图象内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1正比例函数的图象和性质题型2画正比例函数的图象题型3一次函数的图象和性质题型4比较一次函数值的大小题型5根据一次函数的性质判定经过的象限题型6利用一次函数增减性求值题型7根据一次函数增减性求参数题型8一次函数图象与坐标轴的交点问题题型9一次函数图象的平移问题题型10两个一次函数图象共存问题题型11一次函数中的规律探究问题题型12两个一次函数图象共存问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航一次函数图象、直线、k、b、增减性、截距、数形结合。1.掌握用描点法画一次函数图象的步骤，知道一次函数的图象是一条直线。2.理解一次函数y=kx+b中，k决定直线的倾斜方向和增减性，b决定直线与y轴的交点位置。3.掌握正比例函数y=kx的图象是过原点的一条直线，能根据图象说出函数的性质。4.体会数形结合思想，能根据图象信息解决简单问题（如判断函数值的大小）。学习重点：一次函数图象的画法，以及k和b对图象位置和形状的影响。学习难点：理解k的几何意义（倾斜程度）和b的几何意义（纵截距），以及k与一次函数增减性的关系。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01正比例函数的图象与性质一次函数图象是一条直线；2）已知一点可以作图，也可求出解析式；3）交y轴于点（0，0），交x轴于点（0，0）；4）过象限、增减性y=kx过原点（0,0）的一条直线k值大致图象经过象限经过第一、三象限经过第二、四象限增减性随的增大而增大随的增大而减小5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低.【易错提醒】正比例函数y=kx图象性质易错警示：图象是过原点的直线。k>0过一三象限，y随x增大而增大；k<0过二四象限，y随x增大而减小。注意：|k|越大越陡，勿与一次函数截距混淆。即时即练1.关于正比例函数，下列结论正确的是（

）A．图象必经过点 B．图象经过第二、四象限C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有知识点02一次函数的图象与性质一次函数图象是一条直线；2）已知两点可以作图，也可求出解析式；3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）；4）过象限、增减性（过一、二象限）（过三、四象限）（过原点）（过一、三象限）随的增大而增大经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限（过二、四象限）随的增大而减小经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低.【易错提醒】一次函数y=kx+b图象性质易错警示：k决定增减性(k>0增，k<0减）和倾斜度；b决定与y轴交点(0,b)。k相同则平行。注意象限判断需结合k,b符号，可画草图验证，勿死记。即时即练1．已知点均在一次函数的图象上，点，则下列说法正确的是（

）A．函数图象经过二、三、四象限 B．点在第二象限C． D．与x轴的交点坐标为0,12．在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题：(1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是；(2)观察图象，当时，y的取值范围是；(3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式．题型1正比例函数的图象和性质【例1】关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（）A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小C．当增加1时，增加2 D．图象经过一、三象限【例2】已知正比例函数，下列结论正确的是（

）A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限【技巧归纳】正比例函数y=kx图象过原点，k>0在一三象限且y随x增大而增大；k<0在二四且减小。|k|越大越陡。注意图象关于原点对称。求k可由一点坐标（非原点）代入。实际应用如速度一定时的路程时间图象。【变式1-1】关于正比例函数，下列结论正确的是（）A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限C．随的增大而减小 D．不论取何值，总有【变式1-2】关于正比例函数，下列结论正确的是（

）A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限C．随的增大而增大 D．不论为何值，总有题型2画正比例函数的图象【例3】已知正比例函数y=kx的图象经过点．(1)求这个函数的解析式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；(3)判断点，是否在这个函数的图象上．【例4】已知正比例函数y=kx的图象经过点．(1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况；(2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；(3)判断点，是否在这个函数的图象上．【技巧归纳】正比例函数y=kx图象是过原点的直线。只需再找一点（如x=1，y=k），连线即可。若k为分数，取x为分母倍数避免小数。注意标明坐标轴、原点及解析式。k>0上升，k<0下降。直线穿过象限与k符号一致。【变式2-1】已知y与x之间成正比例关系，且图象经过点．(1)求y与x之间的函数解析式．(2)画出该函数的图象．(3)图像上有两点Bx1,y1，Cx2【变式2-2】已知正比例函数y=kx的图象经过点．(1)求这个函数表达式；(2)判断点是否在这个函数图象上；(3)图象上的两点，如果x1>x2，比较y题型3一次函数的图象和性质【例5】对于一次函数，下列说法不正确的是（

）A．图像不经过第三象限B．点在直线上C．图像与直线平行D．若点，在该函数图像上，则【例6】将一次函数的图象向下平移2个单位后，下列对得到的新图象描述正确的是（

）A．y随x的增大而减小B．图象与直线平行C．点在函数图象上D．图象经过第一、二、三象限【技巧归纳】一次函数y=kx+b图象是直线，k定倾斜方向（k>0增，k<0减），b定y轴截距。与x轴交点为(-b/k,0)。过定点（0,b）。|k|越大越陡。利用增减性比较函数值。平移变换：b改变上下。注意截距可为正负。【变式3-1】对于函数，下列结论正确的是（

）A．它的图像经过点 B．的值随值的增大而增大C．它的图像经过第一、二、四象限 D．它的图像与轴交点【变式3-2】对于函数，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过 B．它的图象经过第一、二、三象限C．y的值随x值的增大而增大 D．当时，题型4比较一次函数值的大小【例7】已知点，在直线上，则m，n的大小关系．【例8】已知一次函数图像上有三个点则大小关系．【技巧归纳】若k>0，x越大y越大；若k<0，x越大y越小。也可直接代入x值计算比较。已知函数值比较自变量：根据k符号解不等式。图象法：上方点函数值大。注意“一定大于”需考虑k符号或联立差值判断。【变式4-1】已知点和点在一次函数的图象上，则．（填“”，“”或“”）【变式4-2】设点和点是直线上的两个点，则的大小关系是．题型5根据一次函数的性质判定经过的象限【例9】一次函数的图象经过第象限．【例10】当时，一次函数的图象不经过第象限．【技巧归纳】由k、b符号判定：k>0过一三象限，k<0过二四；b>0与y轴交于正半轴，b<0交负半轴。组合得：k>0,b>0过一二三；k>0,b<0过一三四；k<0,b>0过一二四；k<0,b<0过二三四。正比例过原点。结合图形记忆。【变式5-1】在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第象限．【变式5-2】正比例函数的图象经过原点和第一、三象限，则直线经过第象限．题型6利用一次函数增减性求值【例11】已知函数，当时，y的最大值是．【例12】已知，若，则的取值范围是．【技巧归纳】根据k的符号判断增减：k>0，y随x增大而增大；k<0则减小。利用增减性可比较函数值大小，或确定取值范围。如已知函数值范围求自变量范围，先找端点对应x值，再结合增减性写出区间。注意端点是否取等。【变式6-1】已知函数．当时，的取值范围是【变式6-2】已知一次函数，当时，函数的最大值是．题型7根据一次函数增减性求参数【例13】一次函数的函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是．【例14】若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是．【技巧归纳】一次函数y=kx+b中，k决定增减性：k>0增，k<0减。若含参数，列不等式（如增大则k>0）。注意b不影响增减。若题目给出函数值随x增大而减小，则k<0。解出参数范围，注意k≠0。若还要求过象限，需结合b。【变式7-1】一次函数图象上有两点、，当时，有，那么的取值范围是．【变式7-2】直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是．题型8一次函数图象与坐标轴的交点问题【例15】直线与x轴的交点坐标为．与y轴的交点坐标为．【例16】一次函数的图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，与坐标轴围成的三角形的面积为．【技巧归纳】与y轴交点：令x=0得(0,b)。与x轴交点：令y=0得(-b/k,0)。若k不存在（垂直x轴）不是一次函数。利用交点可求截距，求三角形面积（底乘高/2）。注意交点坐标符号由k、b决定。也可由已知交点求解析式。【变式8-1】在平面直角坐标系中，直线与轴的交点坐标为，与两坐标轴围成的三角形的面积为．【变式8-2】如图，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，则的长为．题型9一次函数图象的平移问题【例17】在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为．【例18】直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是．【技巧归纳】平移规律：上下平移，b变（上加下减）；左右平移，x变（左加右减）。如y=kx+b向左平移m得y=k(x+m)+b。注意一次函数左右平移时，斜率k不变，仅改变截距。也可直接看直线与y轴交点变化。口诀“左加右减，上加下减”。【变式9-1】直线向下平移4个单位可得直线，再向左平移2个单位可得直线【变式9-2】已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，那么该直线的解析式是．题型10两个一次函数图象共存问题【例19】在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（

）A． B． C． D．【例20】一次函数（a为常数，）的图象可能是（

）A． B． C． D．【技巧归纳】分别分析各直线的k、b符号，判断它们是否可能同时出现在同一坐标系中。先根据假设确定一个的符号范围，再验证另一个是否矛盾。常通过排除法：如一条斜率正且截距负（过一三四），另一条斜率负且截距正（过一二四）可能共存。注意b=0时过原点。【变式10-1】下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（

）A．B．C．D．【变式10-2】若一次函数与，满足，且已知没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是（

）A．B．C．D．题型11一次函数中的规律探究问题【例21】如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为．【例22】如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为．【技巧归纳】观察直线族中k或b按等差、等比变化，写出通项公式。如直线y=nx+n²，研究其过定点或交点规律。也可结合坐标变化，找横纵坐标关系。先算前几项，归纳一般式，再代入验证。注意系数中的n为参数，分类讨论。【变式11-1】正方形，，按如图的方式放置，，，和点，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是．【变式11-2】如图，已知直线，分别过轴上的点，作垂直于轴的直线交于点，将，四边形、四边形的面积依次记为，则．题型12画一次函数的图象【例23】在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点．(1)求点的坐标；(2)在图中画出该一次函数的图象．【例24】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与的图象交于第一象限某一点C．(1)请在平面直角坐标系内画出函数的图象；(2)若，求k的值；【技巧归纳】一次函数图象是直线，用两点法：取x=0得(0,b)，取y=0得(-b/k,0)。若b=0，取(0,0)和(1,k)。连线并向两端延长，注意标明坐标轴、解析式。k决定倾斜方向，b决定上下位置。实际画图选刻度合适，使直线完整。【变式12-1】已知一次函数．x0_______y_______0(1)请完成下列表格，并在如图所示平面直角坐标系中画出这个函数的图象；(2)请根据函数图象直接写出当时，x的取值范围．【变式12-2】画出函数的图象．…01……1…(1)根据列表，．(2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接．(3)点，，中，在函数图象上的点是（填“”“”或“”）．(4)若点在函数的图象上，求出的值．一、单选题1．已知函数为，则（

）A．x=1时，B．的图象与该函数的图象没有交点C．随x的增大而增大D．该函数因变量的取值范围为2．一次函数的图象上有两点A1,y1，，y1与y2A．y1>y2 B．y1<y3．对于一次函数y=−2x+4，下列结论错误的是（

）A．函数的图象不经过第三象限B．函数的图象与x轴的交点坐标是C．函数的图象向右平移2个单位向下平移4个单位长度得的图象D．函数值随自变量的增大而减小4．当时，一次函数最小值为6，则实数m的值为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或−15．下列选项中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数（m，为常数，且）图像的是（

）A．B．C．D．二、填空题6．若直线（是常数）的图像不经过第三象限，则的取值范围为________．7．已知一次函数（k是常数，），y随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为________．8．已知点在一次函数（k为常数且k≠0）的图象上，则：y1______y2．（填“>”“=”或“<”）9．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与轴交于点B，则△OAB的面积为___________．10．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线l1，l2，过点−1,0作x轴的垂线交l2于点A1…过点A1作y轴的垂线交l1于点A2，过点A2作x轴的垂线交l2于点A3，过点A3作y三、解答题11．已知正比例函数y=2x的图像经过点A，且点A的横坐标为2．(1)求点A的坐标；(2)已知点P在x轴上，且，求点P的坐标．12．已知一次函数（m为常数）(1)当函数是正比例函数时，m的值为_______．(2)当m的值为______时，函数图象与直线平行；(3)当函数图象不经过