初中数学新华东师大版九年级上册21.3第1课时 图形变换和面积问题教案（2026秋）

1第1课时图形变换和面积问题1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.2.继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题.3.通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力.如图，在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,你能求出所截去小正方形的边长吗?二、合作探究【类型一】利用面积构造一元二次方程模型例1用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为()解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5—x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5—x)=6,故选择B.方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列例2现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长.解析：设小正方形的边长为xcm,则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程.解：设小正方形的边长为xcm,则可得这个长方体盒子的底面的长是(80—2x)cm,宽是(60一2x)cm,根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80-2x)(60-2x)=1500,整理得x2-70x+825=0,解得x1=55,x2=15.又60-2x>0,∴x=55(舍).∴小正方形的边长为15cm.方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可.【类型二】整体法构造一元二次方程模型例3如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为(22一x)米，宽为(17—x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22—x)(17—x)=300.解法二：根据面积的和差可列方程：22×17-22x-17x+x2=300.方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解.【类型三】利用一元二次方程解决动点问题例4如图所示，在△ABC中，∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米?若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解.解：(1)设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2,所以AP=xcm,PC=(6—x)cm,CQ=2xcm.则根据题意，.整理，得x2—6x+