专题15 一次函数中含参数问题的五种考法（解析版）

专题15一次函数中含参数问题的五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、利用一次函数的定义求参数 2类型二、根据一次函数的图象和性质求参数 3类型三、含参数的一次函数的图象和性质 5类型四、含参数的一次函数图象的共存问题 8类型五、含参数的一次函数综合问题 11压轴能力测评（16题） 16解题知识必备1.一次函数的定义1.正比例函数的概念：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。2.一次函数的概念：一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.2.一次函数的图象和性质1.正比例函数的图象与性质：（1)图象:正比例函数y=kx(k是常数，k≠0))的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y=kx。(2)性质:当k>0时,直线y=kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y=kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。2.一次函数的图象与性质：一次函数[y=kx+b（k、b是常数，k≠0]概念如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数.当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.图像一条直线性质k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系.（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；（3）k>0，b＝0图像经过一、三象限；（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。3.用待定系数法求一次函数的表达式1.求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；2.求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.压轴题型讲练类型一、利用一次函数的定义求参数例题：（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为．【答案】【知识点】根据一次函数的定义求参数【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫一次函数，根据一次函数的定义得出，，计算即可得解．【详解】解：∵是关于的一次函数，∴，，解得：，故答案为：．【变式训练】1．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值为．【答案】【知识点】根据一次函数的定义求参数【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义条件可得且，即可求解．【详解】解：根据题意，得且，解得．故答案为：．2．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）若函数是关于的一次函数，则．【答案】【知识点】根据一次函数的定义求参数【分析】本题考查一次函数的定义：形如的函数是一次函数．根据一次函数的定义得到且，进而解方程即可求解．【详解】解：∵函数是关于的一次函数，∴且，解得，故答案为：．3．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若函数是一次函数，则．【答案】【知识点】根据一次函数的定义求参数【分析】本题考查了一次函数的定义，根据形如的函数叫做一次函数，由此即可得出，，求解即可得出答案，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键．【详解】解：函数是一次函数，且，．故答案为：．类型二、根据一次函数的图象和性质求参数例题：（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于x的一次函数不经过第二象限，则m的取值范围是．【答案】【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象不经过第二象限，可得且，进一步求解即可确定m的取值范围．【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，∴且，解得．故答案为：．【变式训练】1．（24-25八年级下·福建三明·阶段练习）一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是．【答案】【知识点】已知函数经过的象限求参数范围【分析】本题考查了一次函数图象的性质，对于一次函数（，k，b为常数），当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方．根据题意可得出关于m的不等式组，求解即可．【详解】解：由题意可得，，解得：，故答案为：．2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）一次函数的函数值随增大而减小，则的取值范围是．【答案】【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一元一次不等式的解集【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．根据一次函数的函数值随的增大而减小得出，解不等式求解即可得答案．【详解】解：∵一次函数的函数值随增大而减小，∴，解得：．故答案为：3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线上两点，，当时，有，那么的取值范围是．【答案】/【知识点】根据一次函数增减性求参数【分析】本题考查一次函数的图象性质：当，随增大而增大；当时，将随的增大而减小．先根据当时，有，得到随的增大而减小，所以的比例系数小于0，那么，解不等式即可求解．【详解】解：当时，有随的增大而减小，，．故答案是：．类型三、含参数的一次函数的图象和性质例题：（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）下列关于一次函数的判断，正确的是（

）A．点，点在该函数的图象上，若，则B．当时，该函数图象经过一、三、四象限C．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点D．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则【答案】C【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象经过的象限，一次函数的性质和一次函数图象的平移问题，根据增减性可判断A；根据一次函数图象与其系数的关系可判断B；先根据方程的解的定义得到，则解析式为，据此可判断C；求出平移后的解析式，再利用待定系数法求出b的值即可判断D．【详解】解；∵在中，，∴y随x增大而减小，∵点，点在该函数的图象上，且，∴，故A错误，不符合题意；当时，该函数图象经过二、三、四象限，故B错误，不符合题意；若关于x的方程的解是，则，则，则的图象恒过点，故C正确，符合题意；该函数的图象向右平移2个单位后的解析式为，把代入中得，解得，故D错误，不符合题意；故选：C．【变式训练】1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若直线（为常数且）经过点，将直线向上平移3个单位长度后得到直线（为常数且，则下列关于直线的说法正确的是（

）A．与轴的交点坐标是B．若两点在上，且，则C．点在上D．经过第一、二、三象限【答案】D【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及平移问题，与坐标轴的交点问题，过象限的问题，熟练掌握知识点是解题的关键．先求出正比例函数解析式，再求出平移后的一次函数解析式，即可求出与轴交点判断A，利用增减性分析B选项，将代入平移后的一次函数解析式判断C，根据解析式直接判断过象限问题．【详解】解：∵直线（为常数且）经过点，∴，解得：，∴则直线向上平移3个单位后得到，当，则与轴的交点坐标是，故A错误，不符合题意；∵，则随的增大的增大，那么若两点在上，且，则，故B错误，不符合题意；当时，，则点不在上，故C错误，不符合题意；由于，则图象经过第一、二、三象限，故D正确，符合题意，故选：D．2．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知一次函数（，是常数），则下列结论正确的个数有（）个①若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是；②若，则一次函数图象上任意两点和满足：；③若一次函数的图象不经过第四象限，则；

④若对于一次函数（）和，无论取任何实数，总有，的取值范围是或．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围、求一次函数解析式【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，函数图形经过的象限的判定方法，函数图象与坐标轴交点的计算等知识是解题的关键．把点代入一次函数可得一次函数的解析式，由此得到一次函与坐标轴的交点，结合面积的计算可判定①；根据一次函数的增减性可判定②；根据函数经过象限的判定方法可得③；根据函数图象的中函数值的大小的判定，一次函数图象平行的性质可判定④；由此即可求解．【详解】解：若点在一次函数的图象上，∴，解得，，∴一次函数解析式为，当时，，当时，，∴一次函数图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故①错误，不符合题意；若，则，∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，随的增大而增大，∴图象上任意两点和，当时，，则，∴，当时，，则，∴，综上所述，，故②错误，不符合题意；∵一次函数，∴当时，，即一次函数恒过，若一次函数的图象不经过第四象限，则，∴，故③错误，不符合题意；若对于一次函数（）和，无论取任何实数，总有，∴一次函数（）和平行，当时，，则，当时，，成立，∴的取值范围是或，故④正确，符合题意；综上所述，正确的有④，共1个，故选：A．3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）关于一次函数，给出下列说法正确的是．①若点，在该函数图象上，且，则；②若该函数不经过第四象限，则；③该函数可以看成正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到：④该函数恒过定点．【答案】①③④【知识点】一次函数图象平移问题、已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数解析式判断其经过的象限【分析】本题考查一次函数的定义、一次函数的图象与性质．根据一次函数的相关性质逐项分析求解即可．【详解】解：若点，在该函数图象上，且，，y随x的增大而增大，则，说法正确，故①符合题意；若该函数不经过第四象限，则，，原说法错误，故②不符合题意；正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到，即，说法正确，故③符合题意；令，则该函数恒过定点，说法正确，故④符合题意；故符合题意的有①③④，故答案为：①③④．类型四、含参数的一次函数图象的共存问题例题：（24-25八年级上·福建漳州·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、正比例函数的图象【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征，熟练掌握正比例函数及一次函数的图象和性质是解题关键．分情况讨论的取值范围，根据正比例函数图象的性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征进行判断，即可得出答案．【详解】解：当时，的图象过原点并经过第一、第三象限，的图象过第一、二、三象限且与轴交点的纵坐标大于0，选项均不符合；当时，的图象过原点并经过第二、第四象限，的图象过第一、三、四象限且与轴交点的纵坐标小于0，选项A符合题意；故选：A．【变式训练】1．（2025·四川德阳·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数）的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布．根据“一次函数（）：当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限”即可判断．【详解】解：对于直线，∵，∴直线经过第一、三象限，可以排除选项BC；当时，∴直线经过第一、三象限，直线与轴的交点在原点上方，选项A不符合题意；当时，∴直线经过第二、四象限，直线与轴的交点在原点下方，选项D不符合题意；故选：D．2．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】判断一次函数的图象【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键；观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项；【详解】解：A、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意；B、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论一致，故本选项正确，符合题意；C、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意；D、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意；故选：B．3．（24-25九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，函数和的图像可能是（

）A．B．C． D．【答案】D【知识点】已知函数经过的象限求参数范围【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据选项中的图象先判断函数中的取值范围，再根据函数的图象经过的象限判断、的取值范围即可求解．【详解】解：A、图象中，函数：；函数：，；不一致，此选项不符合题意；B、图象中，函数：；函数：，；不一致，此选项不符合题意；C、图象中，函数：；函数：，；不一致，此选项不符合题意；D、图象中，函数：；函数：，，一致，此选项符合题意．故选：D．类型五、含参数的一次函数综合问题例题：（24-25八年级上·浙江·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点．(1)若，求一次函数的表达式．(2)当时，该一次函数的最大值为6，求k的值．(3)若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围、求一次函数解析式【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，正确求出函数解析式是解题的关键．（1）一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，再结合，解二元一次方程组求解即可；（2）根据题意可得一次函数y随x的增大而减小，可得当时，，结合一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，解二元一次方程组求解即可；（3）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图象经过第一象限，可得到，由不等式的性质即可解答．【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，∴，∵，∴，解得：，∴一次函数的表达式为：；（2）解：∵，∴一次函数y随x的增大而减小，∵当时，该一次函数的最大值为6，∴当时，，∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，∴，∴，解得：；（3）解：根据题意：，即，∴，∵一次函数的图象经过第一象限，且，∴，∴，∴．【变式训练】1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数．(1)为何值时，函数图象经过点？(2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围；(3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标．【答案】(1)；(2)；(3)．【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数解析式【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、根据一次函数的增减性求参数、解一元一次方程和解一元一次不等式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．（1）将点代入一次函数，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案；（2）根据该函数的增减性，可得，求解即可获得答案;（3）将解析式整理得，求得当时，，据此即可得解．【详解】（1）解：将点代入一次函数，可得，解得，∴当时，函数图象经过点；（2）解：若一次函数的函数值随的增大而减小，则有，解得，∴的取值范围为；（3）解：，当时，，∴一次函数的图象经过定点．2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象恒过定点．(1)若一次函数的图象还经过点，①求该一次函数的表达式．②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值．(2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值．【答案】(1)①；②(2)【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、比较一次函数值的大小、由平移方式确定点的坐标【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，平移的性质，一次函数的性质；（1）把点，代入，再求解即可；②先得到平移后的，再代入即可得到答案；（2）先求解一次函数为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再进一步求解即可．【详解】（1）解：①一次函数的图象经过点，，∴，解得：，∴一次函数为；②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后为，∴，解得：；（2）解：∵一次函数的图象恒过定点，∴，即，∴一次函数为，当时，随的增大而增大，∵，∴当，函数最小值为：，当，函数最大值为：，∴，解得：，∴，当时，随的增大而减小，∵，∴当，函数最大值为：，当，函数最小值为：，∴，解得：，∴，综上：．3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）．(1)若点在一次函数的图象上，①求k的值；②设，则当时，求P的最大值．(2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式．【答案】(1)①；②P的最大值为5；(2)一次函数解析式为或．【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征．（1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值；②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为5所对应的函数值即可；（2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式．【详解】（1）解：①把代入得，解得；②当时，，∴，∵y随x的增大而增大，∴当时，时，P的值最大，当时，，即P的最大值为5；（2）解：当时，，，∵，∴，解得，此时一次函数解析式为；当时，，，∵，∴，解得，此时一次函数解析式为；综上所述，一次函数解析式为或．压轴能力测评（16题）一、单选题1．（24-25八年级下·全国·单元测试）规定：是一次函数（为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则的值是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【知识点】根据一次函数的定义求参数、正比例函数的定义【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义即可求出m的值．【详解】解：由题意得：∵“特征数”是的一次函数是正比例函数，∴，∴．故选A．2．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求不等式组的解集、根据一次函数增减性求参数【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，根据一次函数的性质可得，再解一元一次不等式组即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．【详解】解：∵关于的一次函数，y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方，∴，∴，故选：C．3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（）A． B．且 C．或 D．【答案】C【知识点】已知函数经过的象限求参数范围【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过两点求得的是的最值是解题的关键．先确定直线过定点，要使直线与线段有交点，分别将代入，求得的值，即可求解．【详解】解：∵当时，，即直线过定点，∴当直线经过点，得：，解得：，当直线经过点，得：，解得：，∴当直线与线段有交点，∴或，故选：C．4．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）在同一坐标系中，一次函数与的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】判断一次函数的图象、正比例函数的图象【分析】本题考查一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键．根据题意，利用图象与性质逐一对选项进行分析即可得到本题答案．【详解】解：选项A中，由过原点的直线可得，由另一直线得，∴两个函数的值一致，故A选项符合题意；选项B中，两直线均不过原点，但直线必过原点，故B选项不符合题意．选项C中，由过原点的直线得，由另一直线得，∴两个函数的k值矛盾，故C选项不符合题意；选项D中，两直线均不过原点，但直线必过原点，故D选项不符合题意．故选：A．5．（24-25八年级上·福建漳州·期末）已知直线，下列说法不正确的是（）A．直线必经过点B．直线与函数的图象至少有1个交点C．若点在直线上，，则D．关于的方程的解为【答案】D【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、一次函数与几何综合【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐一判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】当时，，∴直线l必经过点，故A正确；∵直线经过点，，画出大致图象如下：由图象可知，直线l与函数的图象最少有1个交点，故B正确；∴y随x的增大而减小，，故C正确；当时，解得：这与相矛盾，故D不正确故选：D二、填空题6．（23-24八年级下·广东·阶段练习）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的取值范围是．【答案】【知识点】已知函数经过的象限求参数范围【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由函数图象经过第一、三象限，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，牢记的图象在一、三象限是解题的关键．【详解】解：正比例函数的图象经过原点和第一、第三象限，故答案为：．7．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知是关于x的一次函数，则．【答案】【知识点】根据一次函数的定义求参数【分析】本题考查了一次函数的定义，形如(为常数)的函数为一次函数．根据定义得：且，求出m的值即可．【详解】解：∵是y关于x的一次函数，∴且，解得且，∴．故答案为：．8．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知点，是函数图象上的两个点，若，则（填“”“”或“”）．【答案】【知识点】比较一次函数值的大小【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性，是解题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据，即可得出结论．【详解】∵，∴，∴一次函数中，y随着x的增大而减小．∵点，是函数图象上的两个点，，∴．∴，故答案为：．9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点，，且，两点不重合，线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是．【答案】【知识点】根据一次函数增减性求参数【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，根据题意得出线段平行于轴，进而可表示出线段的长度，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题．【详解】解：因为点坐标为，点坐标为，所以线段平行于轴，则，因为，两点不重合，所以，即，当时，，此时随的增大而增大，故不符合题意；当时，，此时随的增大而减小，所以的取值范围是．故答案为：．10．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知直线与轴的正半轴相交，随的增大而增大，且为整数．（1）；（2）若，则的取值范围为．【答案】2【知识点】根据一次函数增减性求参数、一次函数图象与坐标轴的交点问题【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．（1）根据一次函数的图象与系数的关系得出关于的不等式组，求出的取值范围再根据是整数求出的值．（2）根据当时，直线的函数表达式为．所以随的增大而增大，再根据求出的范围．【详解】解：（1）根据一次函数的性质，由题意可得解得．又因为是整数，所以．故答案为：2（2）当时，直线的函数表达式为．∵，∴随的增大而增大，当时，；当时，，故当时，的取值范围为．故答案为：三、解答题11．（23-24八年级上·江西吉安·期末）已知函数是一次函数，(1)求的值；(2)该一次函数当时，求的取值范围．【答案】(1)；(2)．【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据一次函数的定义求参数【分析】（）根据一次函数的定义即可求解；（）分别求出当时，当时的值，即可求出的取值范围；此题考查了一次函数的应用，正确理解一次函数的定义及根据题意得出自变量的取值范围是解题的关键．【详解】（1）因为是一次函数，所以，解得，因为，所以；（2）将代入得一次函数解析式为，当时，，当时，，所以当时，的取值范围是．12．（24-25八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数．(1)若一次函数的图象经过原点，求k的值．(2)若一次函数的图象经过点，且y的值随x值的增大而减小，求k的值．【答案】(1)(2)【知识点】根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数的图象与系数的关系是关键．（1）经过原点，则且，再进一步求解即可；（2）根据一次函数的图象经过点，且y的值随x的增大而减小，，且，从而可以求解；【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过原点，∴且，∴．（2）解：∵一次函数的图象经过点，∴，∴，解得：，∵y的值随x值的增大而减小，∴，解得：，∴．13．（2024·北京·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点，(1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围．【答案】(1)；点A的坐标为(2)【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象解不等式，数学结合是解答本题的关键．（1）当时，把点C的坐标代入，即可求得的k值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可．（2）根据图象得到不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：∵∴把点C的坐标代入，解得，∴一次函数表达式为，当时，，解得，∵一次函数的图象与x轴交于点A，∴点A的坐标为．（2）作如图：∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，结合函数图象可知，当时，，解得．∴．14．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数．(1)若随增大而减小，求的取值范围；(2)若其图象与直线的交点在轴上，求的值；(3)若其图象不经过第二象限，且为整数，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数【分析】本题考查了一次函数图象与性质．（1）由一次函数随增大而减小，可知，解不等式即可得出结论；（2）先求出直线与x轴的交点，可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论；（3）由函数图象不经过第二象限，即函数图象经过第一、三、四象限或函数图象经过第一、三，当函数图象经过第一、三、四象限时可得出，解之即可得出结论，当函数图象经过第一、三时可得出，解之即可得出结论．综上即可得出结论．【详解】（1）解：∵随增大而减小，∴，解得：；（2）解：∵时，，∴直线与x轴的交点，又∵一次函数与直线的交点在轴上，∴一次函数过点，∴，解得：；（3）解：分两种情况考虑：当函数图象经过第一、三、四象限时，，解得：；当函数图象经过第一、三象限时，，解得：．综上所述：的取值范围为，∵为整数，∴或．15．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数图象平移得到，且经过．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．【答案】(1)；(2)【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、根据两条直线的交点求不等式的解集【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．（1）先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）当时，，根据点即可求得．【详解】（1）解：由图象的平移可知，，将代入得，，解得，，∴这个一次函数的解析式为；（2）当时，，把点代入，得，∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，∴．16．（24-25八年级上·江西吉安·期末）定义：一次函数和（其中k、b为常数，，）互为“友好函数”，比如和互为“友好函数”．(1)已知点在的“友好函数”上，则______．(2)上的点Q也在它的“友好函数”上，求点Q的坐标．【答案】(1)(2)．【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式【分析】本题考查了一次函数的性质，两直线交点问题，三角形面积问题；（1）根据“友好函数”的定义，可找出的“友好函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值；（2）联立两函数解析式组成方程组，解之即可得出点的坐标．【详解】（1）解：的“友好函数”是，点在一次函数的图象上，，解得：，故答案为：；（2）解：的“友好函数”是，联立，解得：，∴．模拟训练一、选择题1.-3的倒数是()A.3 B.-3 C.13 D.-2.下列几何体的主视图与其他三个不同的是()3.已知反比例函数y=3a-6x的图象在第二、第四象限,则A.a≤2 B.a≥2 C.a<2 D.a>24.356578km精确到万位是()A.3.57×105km B.0.35×106kmC.3.6×105km D.4×105km5.下列图形是正方体的表面展开图的是()6.在数学课外小组活动中,小红同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型.如图所示,它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm,则这个圆锥形漏斗的侧面积是()A.30cm2 B.30πcm2C.60πcm2 D.120cm27.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k≤92 B.k<92 C.k≥92 D8.如图,有三条绳子穿过一片木板,姐妹两人分别站在木板的左、右两边,各选该边的一段绳子.若每边每段绳子被选中的机会相等,则两人选到同一条绳子的概率为()A.12 B.13 C.16 9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行10.(2024·四川宜宾中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A,B及边AC的中点M,若BC∥x轴,边AB与y轴交于点N,则ANAB的值为(A.13 B.C.15 D.11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其图象的对称轴是直线x=-1.有以下结论:①abc>0,②4ac<b2,③2a+b=0,④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2C.3 D.412.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手行驶的路程y(单位:千米)随时间x(单位:分)变化的图象(全程)如图,根据图象判定下列结论不正确的是()A.甲先到达终点B.前30分钟,甲在乙的前面C.第48分钟时,两人第一次相遇D.这次比赛的全程是28千米二、填空题13.把x3-4x分解因式,结果为.

14.(宁夏中考改编)如图,粮库用传送带传送粮袋,大转动轮的半径为10cm,传送带与水平面成30°角.假设传送带与转动轮之间无滑动,当大转动轮转140°时,传送带上点A处的粮袋上升的高度是cm.(传送带厚度忽略不计)

15.现有A,B两只不透明口袋,每只口袋里装有两个相同的球,A袋中的两个球上分别写了“细”“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”“心”的字样.从每只口袋里各摸出一个球,刚好能组成“细心”字样的概率是.

16.将一直径为17cm的圆形纸片(图①)剪成如图②所示形状的纸片,再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图③)形状的纸盒,则这样的纸盒体积最大为cm3.

17.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,在超市购买此种商品更合算.

18.如图,点O(0,0),B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,……依次下去,则点B6的坐标是.

三、解答题19.(1)计算:|2-1|-2sin45°+12(2)先化简,再求值:2a+6a220.解分式方程:2x2-21.(宁夏中考)学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下:年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:a=,b=;

A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”,由此可判断他是年级的学生.

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.(3)你认为哪个年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好?请给出一条理由.22.(宁夏中考)“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某地摊经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元.根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程:甲:5201.6x=175x乙:520x=1.6×175x-30,解得x=则甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示.

(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个?23.“五一”假期,某公司组织部分员工到A,B,C三地旅游,公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图,如图.根据统计图回答下列问题:(1)前往A地的车票有张,前往C地的车票占全部车票的%;

(2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工,在看不到车票的条件下,每人抽取1张(所有车票的形状、大小、质地完全相同,且充分洗匀),那么员工小王抽到去B地车票的概率为;

(3)若最后剩下一张车票时,员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一个各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:每人各抛掷一次,若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张,否则给小李.试用列表法或树状图法分析,这个规则对双方是否公平.24.如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200m.点E在点A的正北方向.点B,D在点C的正北方向,BD=100m.点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东45°方向.(1)求步道DE的长度(结果取整数);(2)点D处有直饮水,小明从A处出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请通过计算说明他走哪一条路较近?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)25.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且AC=CD.(1)求证:OC∥BD;(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.26.某地发生特大自然灾害,某慈善基金会将筹措到位的第一批救灾物资打包成件,其中棉帐篷和毛巾被共3200件,毛巾被比棉帐篷多800件.(1)打包成件的棉帐篷和毛巾被各多少件?(2)现计划用甲、乙两种小飞机共8架,一次性将这批棉帐篷和毛巾被全部运往该灾区.已知甲种飞机最多可装毛巾被400件和棉帐篷100件,乙种飞机最多可装毛巾被和棉帐篷各200件.则安排甲、乙两种飞机时有几种方案?请你帮忙设计出来.(3)在第(2)问的条件下,如果甲种飞机每架需付运输成本费4000元,乙种飞机每架需付运输成本费3600元.应选择哪种方案可使运输成本费最少?最少运输成本费是多少元?27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线对应函数的解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上,☉P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.模拟训练一、选择题1.D2.D3.C4.C5.C6.C7.B由于方程有两个不相等的实数根,因此Δ=b2-4ac>0,则(-6)2-8k>0,解得k<928.B将绳子记为1,2,3,则姐妹选中绳子共有9种等可能结果:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),其中两人选到同一条绳子的结果有3种,所以两人选到同一条绳子的概率为139.B10.B过点A作BC的垂线,垂足为点D,BC与y轴交于点E,如图.设点Aa,ka,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC,∴D是线段BC的中点.∴DC=BD=a-b,∴C2a∵点M为边AC的中点,∴M3a-b2∵点M在反比例函数的图象上,∴M3a-b2解得b=-3a.易知,AD∥NE,∴ANAB11.C根据抛物线的开口向下可知a<0,根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a,b同号,则b<0,且-b2a=-1,根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>①∵a<0,b<0,c>0,∴abc>0正确;②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac<b2正确;③∵抛物线对称轴是直线x=-1,∴-b2a=-1,∴2∴2a+b=0错误;④由图象可知,抛物线的顶点为最高点,故当x=-1时,y>2,∴a-b+c>2正确.12.D观察题图知,到达终点时,甲对应的点是C,所花时间为86分钟,乙对应的点是D,所花时间为96分钟,所以甲先到达终点,A正确;两人第一次相遇前,甲都在乙的前面,B正确;由A(30,10),B(66,14),利用待定系数法可求得直线AB的关系式为y=19x+203,把y=12代入关系式解得x=48,C正确;乙的速度为12÷48=14,总路程为14×96=24(二、填空题13.x(x+2)(x-2)14.35π9如图,设传送带上点A处的粮袋上升到点B,构建Rt△ABC,则AC∥由题意可得AB=140π×∵AC∥MN,∴∠BAC=∠NMA=30°.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=AB·sin30°=12AB=35即传送带上点A处的粮袋上升的高度是35π915.116.1717如图,当纸盒展开图中水平方向上的四个小正方形组成的矩形对角线AC为圆形纸片的直径,即圆形纸片为Rt△ABC的外接圆时,纸盒体积最大,此时AC=17cm时,设此情况下的正方体的边长为x,则在Rt△ABC中有AB2+BC2=AC2,即x2+(4x)2=172,可求出x=±17,负值舍去得x=17,所以x3=1717.17.乙18.(-8,0)三、解答题19.解(1)原式=2-1-2×22+2+2=4-1=3(2)原式=2(a+3当a=2时,原式=-2220.解方程两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,整理得2+x2+2x=x2-4,2x=-6,x=-3.检验:当x=-3时,x2-4=5≠0.故原方程的解为x=-3.21.解(1)把七年级10名学生的测试成绩按从小到大的顺序排列为71,76,79,83,84,86,87,90,90,94,根据中位数的定义可知,该组数据的中位数为a=84+862=85八年级10名学生的成绩中87分的最多,有3人,所以众数b=87,A同学得了86分大于85分,位于年级中等偏上水平,由此可判断他是七年级的学生.故答案为85,87,七.(2)510×200+610×200=220(人答:该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220.(3)我认为八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.理由:因为七、八年级测试成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差,所以八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.22.解(1)根据所列方程可知,甲所列方程中的x表示B型玩具的单价;乙所列方程中的x表示520元购进A型玩具的数量.故答案为B型玩具的单价;520元购进A型玩具的数量.(2)设可购进A型玩具a个,则购进B型玩具(200-a)个,由(1)可知B型玩具的单价为5元,A型玩具的单价为1.6×5=8(元).根据题意得8a+5(200-a)≤1350,解得a≤11623故整数a的最大值是116.答:最多可