专题06 利用勾股定理解决与面积有关问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

专题06利用勾股定理解决与面积有关问题的四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、利用等积法求三角形中某边上的高类型二、利用等积法验证勾股定理类型三、“勾股树”及其拓展类型求面积类型四、利用割补法求不规则图形的面积压轴专练类型一、利用等积法求三角形中某边上的高方法总结1.面积相等：同一三角形面积可用不同底和高表示，建立方程12×底1×高1=12×底2×高2.高未知时：若已知两边长及第三边上的高，可先求三角形面积，再反推所求高。解题技巧1.先求面积：优先用已知两边及夹角或三边（海伦公式）求出三角形面积。2.设未知数列式：设所求高为h，利用面积相等列一元一次方程求解。例1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知直角三角形的两条直角边的长分别为12和16，则斜边上的高为．【变式1-1】（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在中，，若，则斜边上的高的长为．【变式1-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么．【变式1-3】（24-25八年级下·陕西西安·月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，腰长为4，则其底边上的高是．类型二、利用等积法验证勾股定理方法总结1.图形构造：构造以直角三角形三边为边的正方形或图形（如弦图）。2.面积相等：用两种不同方法计算整个图形的面积，得到等式，化简后即得a2+b2=c2。解题技巧1.选经典图形：常用“赵爽弦图”或“总统证法”图形，面积分割清晰。2.代数化简：将面积等式展开后，两边消去相同项，保留平方项即得勾股定理。例2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，，垂足分别为，，且．(1)求证：；(2)若，，，连接，，利用不同方法计算四边形的面积，证明勾股定理．【变式2-1】（25-26八年级上·江苏南京·月考）第14届数学教育大会会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．(1)请用图2验证勾股定理：；(2)如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．证明是勾股数；(3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植___________棵青菜．（直接写出结果，不必说明理由）．【变式2-2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？(3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积．【变式2-3】（25-26八年级上·上海·期末）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜．【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理．【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题：（1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________．（2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于__________．（3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积．【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？（4）请直接写出此等量关系式：__________．（知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边：斜边定值．）类型三、“勾股树”及其拓展类型求面积方法总结1.勾股树构造：以直角三角形三边为边长向外作正方形，重复此过程形成“树”状图形。2.面积递推：每个直角三角形所生三个正方形面积满足S大=S中+S小，各层面积之和有递推规律。解题技巧1.找基本单元：识别图形中的直角三角形及其三边上的正方形，面积关系即勾股定理。2.分层求和：逐层计算各正方形面积，利用等比或等差规律求总面积。例3．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，中，，分别以这个三角形的三条边为边长向外作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为．【变式3-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积为．【变式3-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为．【变式3-3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形、正方形、正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为；分别以为边向外作正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为．类型四、利用割补法求不规则图形的面积方法总结1.分割法：将不规则图形分割成若干个规则图形（三角形、矩形、梯形等），分别求面积后相加。2.补形法：将不规则图形补成一个规则图形，减去补上的部分面积即得原图形面积。解题技巧1.选择最优法：根据图形特点，选择分割或补形中计算量较小的方法。2.坐标辅助：在网格或坐标系中，利用顶点坐标计算各规则图形的面积。例4．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）问题背景：在中，三边的长分别为、、，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示.这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)的面积=______；边上的高=______．(2)在图2中画，三边的长分别为、、①判断三角形的形状，说明理由．②求这个三角形的面积．【变式4-1】（25-26八年级上·重庆·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．(1)如图，若的三边长依次为，，．请利用以上公式（任选一个），求该三角形的面积；(2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积．【变式4-2】（24-25八年级上·广东惠州·月考）【问题背景】在中，，，三边的边长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点，如图所示．这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积．(1)直接写出的面积，．(2)【思维拓展】若三边的长分别为，，，请利用图的正方形网格中画出（每个小正方形的边长为），并直接写出的面积，．(3)【探索创新】若的三边长分别为，，（，，且），请直接写出的面积，．【变式4-3】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）综合与实践：材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为）(1)小明发现无论怎样画，这样的三角形形状大小都是一样的，这个结论的依据是______(2)图2是一个的正方形网格．利用构图法在图中画出格点，使，，；直接写出的面积______(3)如图，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接，与面积之间的关系为______；(4)请利用以上的解题方法求出图中六边形花坛的面积（正方形面积为；正方形面积为，正方形面积为）为______．一、单选题1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（

）A．2.4 B．2.5 C．3 D．42．（2026八年级·全国·专题练习）将两个大小不同的含有角的三角板和按如图所示的方式放置．已知，则四边形的面积为（

）A．24 B． C．48 D．3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．点到直线的距离是24．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（

）A． B．C． D．5．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（

）A．28 B．29 C．30 D．24二、填空题6．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为．7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为．8．（25-26八年级下·全国·课后作业）了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为．9．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，在中，，以，，向外作正方形，面积依次分别记为，，，若阴影部分面积为，则的值为．10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，是的平分线，若P、Q分别是和的动点，则的最小值是．三、解答题11．（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，在四边形中，，求四边形的面积．12．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离．(1)判断支架，是否垂直；(2)求点C到的距离13．（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境：勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题：(1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______；(2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，．①求证：②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______．14．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．(1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个；(2)如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系；(3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________．15．（25-26八年级上·河南南阳·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点、、在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理．【问题解决】（1）如图1，，，直角边分别为，，斜边为，证明勾股定理．（2）如图2，，，，，，求阴影部分的面积．【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上，并新修一条路，使，现测得千米，千米，千米，则新修路的长为______千米．综合训练一、选择题1.如图,带阴影的长方形的面积是()A.9cm2 B.24cm2C.45cm2 D.51cm22.若a,b,c是直角三角形的三条边,下列说法正确的是()A.a2,b2,c2能组成三角形B.3a,3b,3c能组成直角三角形C.a+3,b+4,c+5能组成直角三角形D.3a,4b,5c能组成直角三角形3.如图,在长方形纸片ABCD中,点E是AD的中点,且AE=1,BE的垂直平分线MN恰好过点C,则长方形纸片的一边AB的长度为()A.1 B.2 C.3 D.24.如图,在Rt△ABC中,AC=8cm,BC=6cm,∠ACB=90°,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为()A.14cm2 B.18cm2 C.24cm2 D.48cm25.如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C坐标为()A.(-1,0) B.(-2,0) C.(-5+4,0) D.(-1.5,0)6.下列命题的逆命题是真命题的是()A.若a=b,则|a|=|b| B.全等三角形的周长相等C.若a=0,则ab=0 D.有两边相等的三角形是等腰三角形7.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按如图②所示的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()图①图②A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和8.如图①,第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=30°,则点B到OC的距离为()图①图②A.55 B.255 C.1 二、填空题9.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.如果设AC=x,则可列方程为.

10.命题“在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是

,它是命题.

11.如图①,直角三角形的两个锐角分别是40°和50°,其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作:由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形,再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形,图③是重复上述步骤若干次后得到的图形,人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形中所有正方形的面积和为.

12.如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要cm.

三、解答题13.若a,b,c为△ABC的三边长,且a,b,c满足等式(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.(1)求出a,b,c的值;(2)△ABC是直角三角形吗?请说明理由.14.为了减少交通事故的发生,某条例规定:小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在一条由东向西的城市街道上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边车速监测仪的正前方30m处,过了2s后,测得小汽车与车速监测仪的距离为50m,问这辆小汽车超速了吗?15.如图,在正方形ABCD中,M为AB的中点,N为AD上的一点,且AN=14AD,试猜想△CMN是什么三角形,请证明你的结论16.[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.[定理表述]请你根据图①中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述).图①图②[尝试证明]以图①中的直角三角形为基础,可以构造出以a,b为底,以a+b为高的直角梯形(如图②),请你利用图②,验证勾股定理.[知识拓展]利用图②中的直角梯形,我们可以证明a+b因为BC=a+b,AD=,

又因为在直角梯形ABCD中有BCAD(填大小关系),即,

所以a+17.阅读:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a,b,c,称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》,其勾股数组公式为a=12(m2-n应用:当n=1时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.综合训练一、选择题1.C2.B∵a,b,c是直角三角形的三条边,∴3a,3b,3c能组成直角三角形,a2,b2,c2不一定能组成三角形,其他情况都不能得到直角三角形.3.C连接CE(图略),则CE=BC=2,AE=1,由勾股定理,得CD=3.4.C由勾股定理可证,分别以直角边AC,BC为直径的两半圆的面积和等于以斜边AB为直径的半圆的面积,故阴影部分的面积等于Rt△ABC的面积.5.A6.DA的逆命题是若|a|=|b|,则a=b,假命题;B的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形,假命题;C的逆命题是若ab=0,则a=0,假命题;D的逆命题是等腰三角形的其中两边相等,真命题.7.C8.B二、填空题9.x2+32=(10-x)210.在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°真把题中的结论作为条件,把条件作为结论,可知此命题为真命题.11.48如图,把题图②中各个小正方形标上字母,设正方形a的边长为x,正方形b的边长为y.∴正方形a的面积为x2,正方形b的面积为y2.由题意,得正方形c的边长为2,并且是直角三角形的斜边,∴正方形c的面积为4.根据勾股定理可得x2+y2=22=4.∴正方形a的面积+正方形b的面积=4.∴题图①中所有正方形的面积和=4+4=8.同理可得,正方形e的面积+正方形f的面积=正方形a的面积,正方形g的面积+正方形h的面积=正方形b的面积,∴正方形e的面积+正方形f的面积+正方形g的面积+正方形h的面积=正方形a的面积+正方形b的面积=4.∴题图②中所有正方形的面积和=题图①中所有正方形的面积和+4=12.即1次操作后所有正方形的面