专题01 二次根式、勾股定理期中复习压轴题（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

1/10专题01二次根式、勾股定理期中复习压轴题目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、二次根式的混合运算类型二、与二次根式运算有关的新定义型题类型三、复合二次根式的化简类型四、与二次根式运算有关的规律题类型五、勾股定理与逆定理的综合问题类型六、验证勾股定理证明方法类型七、勾股定理与折叠问题压轴专练类型一、二次根式的混合运算方法总结1.顺序优先：遵循先乘除、后加减，有括号先算括号内的运算顺序。2.统一形态：先将各项化为最简二次根式，并将除法转化为乘法（乘以倒数）处理。解题技巧1.活用运算律：灵活运用乘法分配律、结合律等简化计算过程。2.有理化先行：遇分母含根式时，优先分母有理化，常能大幅简化后续运算。例1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）计算：(1)(2)【变式1-1】（25-26八年级下·山东·期中）计算：(1)(2)【变式1-2】（25-26八年级下·全国·期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．类型二、与二次根式运算有关的新定义型题方法总结1.理解定义：仔细阅读并理解新定义（如新运算符号、新概念）的规则与含义。2.模仿套用：严格按新定义的步骤，将给定的二次根式代入进行运算或推理，再常规化简。解题技巧1.举例验证：用简单数值或根式按新规则操作一遍，确保理解正确。2.化归常规：将新定义运算后的表达式，通过二次根式常规运算法则（化简、有理化等）求解。例2．（24-25八年级下·青海海东·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，例如．(1)求的值；(2)求的值．【变式2-1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”．(1)若m与是关于10的友好二次根式，求m；(2)若与是关于6的友好二次根式，求m．【变式2-2】（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：(1)请直接写出的对偶式_____；(2)已知，，求的值；类型三、复合二次根式的化简方法总结1.配方法：将复合根式化为a+b±2.待定系数：令原式等于x±y，两边平方后对比系数，解方程组求x,y解题技巧1.先判大小：比较内外层根号下数值大小，确定结果为大±小2.平方试探：对原式平方后化简，再开方，注意符号选择。例3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，．例如：．或找，满足，，易知，，所以．(1)化简：；(2)计算：；(3)计算：．【变式3-1】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）观察下列等式：根据上述材料，解决下列问题：(1)化简：=(2)猜想：（，且为整数），并验证你的猜想．(3)计算：【变式3-2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：．（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：我们称这个过程为分母有理化．根据阅读材料解决下列问题：(1)化简“和谐二次根式”：①_____；②______．(2)求的值(3)设的小数部分为b，求证：类型四、与二次根式运算有关的规律题方法总结1.计算特例：准确计算前几项具体结果，观察被开方数、运算符号及结果的变化模式。2.归纳通项：将观察到的规律（如周期性、递推关系）用含序号\(n\)的代数式（通项或求和公式）表示。解题技巧1.拆分结构：将复杂根式拆分为整数部分与根式部分，分别找规律。2.验证归纳：用归纳出的公式计算后续1-2项，确保正确后再应用。例4．（24-25八年级下·广西南宁·期中）小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律．下面是小明的探究过程，请补充完整．(1)具体运算，发现规律特例1：特例2：特例3：特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子）(2)观察、归纳，得出猜想如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______．(3)应用运算规律化简：【变式4-1】（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题：【规律发现】第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……【规律探索】（1）第5个等式：_______；（2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______；【规律应用】（3）计算：【变式4-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整：特例1：；特例2：；特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子）【发现规律】______．（，且n为整数）【应用规律】（1）计算：；（2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分．类型五、勾股定理与逆定理的综合问题方法总结1.定理应用：勾股定理用于求边长（已知两边求第三边）；逆定理用于判定直角三角形（验证三边是否满足a2+b2=c2。2.数形结合：将几何问题中的线段关系转化为代数等式，或通过构造直角三角形求解。解题技巧1.设元列式：设未知线段为x，在直角三角形中用勾股定理列方程求解。2.分类讨论：当斜边不确定时，需分情况讨论哪条边为斜边。例5．（25-26八年级下·广东·期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．(1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程；(2)如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积．【变式5-1】（25-26七年级上·山东东营·期中）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．(1)判断的形状，并说明理由．(2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．【变式5-2】（25-26八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，四边形，、、，连接，且．(1)求的长；(2)若，求的长．类型六、验证勾股定理证明方法方法总结1.面积法：构造图形（如弦图、梯形），用两种不同方法计算总面积，得到等式，化简得a2+b2=c2。2.割补法：将直角三角形外围的正方形进行割补，通过面积相等关系推导勾股定理。解题技巧1.选经典图形：常用“赵爽弦图”或“总统证法”（梯形），便于面积分割。2.代数化简：列出面积等式后，展开并消去相同项，保留平方项即得结论。例6．（25-26八年级上·福建·期中）借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题：【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：___________；（2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由；【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：（3）如图3，五边形中，，垂足为，==，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积．【变式6-1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．（1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理．【方法运用】（2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，则新路比原路短_______千米．【应用拓展】（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，求的长；可以列方程求解，设，则可求出_______．【变式6-2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．(1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为．②如图4，在中，，，，求边上的高．类型七、勾股定理与折叠问题方法总结1.折叠性质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.勾股定理：在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理列方程求解。解题技巧1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，明确未知数。2.设元勾股：设所求线段长为x，用含x的式子表示其他边，在直角三角形中列勾股方程。例7．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合：(1)若，则的度数为_____；(2)若，，求的长．【变式7-1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，．(1)求的长；(2)的面积为__________；(3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值；【变式7-2】（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，．(1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）．①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______．②在①的条件下，求的长．(2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长．一、单选题1．（24-25八年级下·重庆·期中）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级下·江西九江·期中）如图，在中，，，，，分别是以为斜边依次所作的等腰直角三角形，，分别是以为斜边依次所作的等腰直角三角形，则与的面积之和为（

）A． B． C．1 D．2二、填空题4．（25-26八年级上·上海青浦·期末）当时，化简_____．5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，是边上的一个动点，连结，将沿折叠得到，点的对应点为．当为直角三角形时，的长为______．6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知在中，；（1）边上的高为______；（2）将沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原不全等的新三角形，则折痕的长为_____．三、解答题7．（24-25八年级下·山东烟台·期中）计算题：(1)；(2)；(3)；8．（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．(1)连接，试判断的形状，并写出证明过程；(2)求这块空地的面积．9．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）观察下列等式：；；……根据你观察后所发现的规律，解答下列问题：(1)若等式及具有上述规律，则；；(2)请你用含n的等式表示上述规律；（n是大等于2的整数）(3)请你证明上述等式的正确性．10．（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境：如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简．方法回顾：小许回想到二次根式化简，；又，；所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的．方法应用：（1）_____；问题解决：（2）_____；方法迁移：（3）计算：．11．（25-26八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理．(1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理(2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积；(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长．12．（24-25八年级上·福建三明·期中）在中，．(1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点；(2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长；(3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长．13．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图1，中，，，．动点从点出发沿着射线移动．(1)在点移动过程中，的最小值是多少？(2)在点移动过程中，若，长为多少？(3)如图2，点在延长线上，，另一动点从点处出发沿着与垂直的射线移动，点与点同时同速移动，连接．当点移动到某一位置，使得，此时长为_________．综合训练一、选择题1.使得式子x4-x有意义的xA.x≥4 B.x>4 C.x≤4 D.x<42.设a>0,b>0,则下列运算错误的是()A.ab=a·b B.a+b=a+b C3.在二次根式:2xy,8,A.4 B.3 C.2 D.04.被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式,下列各数27,118A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.实数a,b在数轴上的对应位置如图所示,则化简(a-b)2-(b-a-A.2 B.2a-2 C.2-2b D.-26.下列判断正确的是()A.32<3<2 B.2<C.1<5−3<2 D.4<37.化简4x2-4x+1-(A.2 B.-4x+4 C.-2 D.4x-48.化简37甲:37+2乙:37+2=对于他们的解法,正确的判断是()A.甲、乙的解法都正确 B.甲的解法正确,乙的解法不正确C.甲、乙的解法都不正确 D.甲的解法不正确,乙的解法正确二、填空题9.式子x,m2+10.观察并分析下列数据,寻找规律:0,2,2,6,22,10,23,…则第10个数据应是11.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B,点A表示-2,设点B所表示的数为m,则(m-1)(m-3)的值是.

12.规定:a※b=ab-b2,则2※(2-1)的值是.

三、解答题13.化简(各式中字母均为正数):(1)a4+a2b14.计算:(1)(13)2+0.32−19; (2)(6−(3)(323-412+327)÷22; (4)(3+2-1)(15.当a=2+6,b=2-6时,求代数式a-b16.已知实数a,b,c满足(a-8)2+b-5+|c-32|=(1)求a,b,c的值;(2)试问以a,b,c为边长能否构成三角形?若能构成求出三角形周长;若不能构成三角形,请说明理由.17.小明在学习中遇到这样一道题:“已知实数x满足|5019-x|+x-5020=x,求x-50192的值”,他想了想说这道题一定出错了,这种题等号右边一定是0才能用其非负性构造方程求出x的值,这里等号右边不是0