专题12 平行四边形、矩形、菱形、正方形中折叠四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（解析版）

专题12平行四边形、矩形、菱形、正方形中折叠四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、平行四边形中的折叠问题类型二、矩形中的折叠问题类型三、菱形中的折叠问题类型四、正方形中的折叠问题压轴专练类型一、平行四边形中的折叠问题方法总结1.折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.平行四边形性质：利用对边平行且相等、对角相等的性质，结合折叠产生的等量关系求解。解题技巧1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由平行四边形本身决定的等量关系。2.设元列方程：常在折叠后形成的直角三角形或全等三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理或全等列方程求解。例1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形，点D的对应点为点G，则的长度为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．作于，过点作于，由角直角三角形的性质可求，则，证明，那么，而，设，则，则，由折叠可知，，在中，由勾股定理得，即可求解．【详解】解：如图，作于，过点作于．∵，，∴，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，，，由折叠可知，，，，∴，，，∴，在和中，∴；∴，∵，，∴，∴，设，则，∴，由折叠可知，，∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，解得，∴，∴，∴．故选：B．【变式1-1】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________．【答案】【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质，由平行四边形的性质得，，再由由折叠的性质得，，，，根据平行线的性质得，进而得，再根据，利用等量代换求得，进而求解即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，由折叠的性质得，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【变式1-2】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在中，，将进行折叠，折叠后恰好经过点，得到，，，，则线段的长度为______．

【答案】【分析】由平行四边形的性质可得，，，可得，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长，的长．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点得到，，，，，，，，故答案为：．【变式1-3】（24-25八年级下·浙江杭州·月考）综合与探究【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形．【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：．【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长．【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长．【答案】[操作判断]见解析；[类比探究]1；[问题解决]2【分析】[操作判断]根据折叠的性质得，结合平行四边形的性质可得四边形是菱形，即有；[类比探究]根据平行四边形的性质得和，则，有折叠得，，由结合等腰三角形的性质有，则有，即可得；[问题解决]延长交的延长线于点，由（2）得，设，由平行四边形，，则有和，进一步证明，有和，根据列方程求解即可．【详解】解：[操作判断]∵将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，∴，又∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形，∴．[类比探究]∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵沿着折叠点A的对称点恰好落在对角线上，∴，，∴，∴，∵点与点C，E共线，∴，即，[问题解决]延长交的延长线于点，由（2）得，∵沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，设，∵四边形是平行四边形∴，∴，∵恰好落在的中点处，∴，∴，∴，，∵，∴，解得，∴．类型二、矩形中的折叠问题方法总结1.折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边相等的性质，寻找折叠产生的直角三角形或全等形。解题技巧1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由矩形本身决定的等量关系。2.设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段长为x，利用勾股定理列方程求解。例2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为______．【答案】【分析】由直角三角形的性质得到，由平行线的性质推出，由折叠的性质得到，于是得到，即可求出结果．本题考查平行线的性质，折叠问题，解题的关键是由平行线的性质推出，由折叠的性质得到【详解】解：在矩形中，，，，，由折叠的性质得到：，，，故答案为：【变式2-1】（2025·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在、轴上，点的坐标为，点在边上．将沿直线折叠，折叠后顶点恰好落在边上的点处，则点的坐标为___________．【答案】【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据矩形的性质得出，，根据勾股定理求出，求出，再根据勾股定理得出，求出结果即可．【详解】解：四边形是矩形，，，，由折叠得，在中，，，在Rt中，，，解得，∴点的坐标为．【变式2-2】（2024·广西玉林·一模）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，恰好落在边上．则该矩形纸片的长宽比的值为________．【答案】【分析】本题考查了正方形中的翻折，熟练掌握翻折的性质和正方形的性质是解题的关键．先利用第一次翻折确定四边为正方形，得出，再利用第二次翻折得出，即可求解．【详解】解：∵四边形为矩形，∴，，，，由第一次折叠可知，，，∴四边为正方形，∴，∴，由第二次折叠可知，，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【变式2-3】（24-25八年级上·广东深圳·期末）在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决．(1)如图1，在矩形中，，点E是边上一点，将沿折叠，使点D落在边上的处，求的长；乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分）解：由折叠可知：，∴．∵，∴，∴．在中，设，则．由勾股定理可得：，即（），解得．(2)如图2，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿折叠，点D落在点处，当为直角三角形时，求的长；(3)如图3，在矩形中，，点E是直线上一动点，将沿折叠，当点D的对应点恰好落到边的中垂线上时，请直接写出的长．【答案】(1)，，2，(2)或7(3)2或【分析】（1）根据推理过程利用勾股定理填空即可；（2）当为直角三角形时，分当点落在矩形内部，时，当点落在边上，时，两种情况讨论即可；（3）过点作于N，交于点M，设，则，分点在线段上；点在延长线上；两种情况讨论即可．【详解】（1）解：由折叠可知：，∴．∵，∴，∴．在中，设，则．由勾股定理可得：，即，解得；（2）解：当为直角三角形时，有两种情况：当点落在矩形内部，时，如图，∵在矩形中，，∴，，由折叠的性质得：，，，∴，∴点三点共线，∵，∴，设，则，在中，由勾股定理可得：，即，解得，即；当点落在边上，时，如图，此时，，∵在矩形中，，∴四边形是矩形，由折叠的性质得：，∴四边形是正方形，∴，∴；综上，当为直角三角形时，的长为或；（3）解：过点作于N，交于点M，设，则，当点在线段上时，如图，∵是边的中垂线，∴，，由勾股定理可知：，∴，∵，∴，解得：，则，∴；当点在延长线上时，如图，同理，，∴，∴，在中，，即，解得：，∴；综上知：的长为或．类型三、菱形中的折叠问题方法总结1.折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.菱形性质：利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，寻找折叠产生的全等三角形或直角三角形。解题技巧1.标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，以及由菱形本身决定的等量关系（如四边相等）。2.设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理列方程求解。例3．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，，分别为，上的点，将菱形沿折叠使点落在点处，则的长为______．【答案】【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质及折叠的性质证出，得出，则可得出答案．【详解】解：四边形是菱形，，，，，将菱形沿折叠使点落在点处，，，，，，故答案为：．【变式3-1】（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在菱形中，对角线、交于点O，，菱形的面积为，点E是边上一点，将菱形沿折叠，使B、C的对应点分别是、，若，则点到的距离为________．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及勾股定理，解答关键是根据折叠的条件推出．过作于，过作于，可求得，，根据勾股定理求得，，根据折叠可知：，，，然后证得，得到，然后即可求解；【详解】解：过作于，过作于，如图：，由已知，，菱形的面积为，，∴，∴，，∴，∵，∴，，由折叠可知：，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴点到的距离为，故答案为：；【变式3-2】（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，在菱形中，，是的中点，连接（1）的长为___________；（2）若分别是上的点，将沿着折叠，使得点恰好落在点处，则的长为___________．【答案】【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定以及折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）连接，根据菱形的性质得，进而得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得，，然后根据勾股定理求出；（2）设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程可得答案．【详解】解：（1）如图，连接，∵四边形是菱形，，∴，∴是等边三角形．∵点是的中点，∴，，根据勾股定理，得．故答案为：．（2）设，则，∵将沿着折叠，使得点恰好落在点处，∴，由（1）可知，，，∴，即．在中，，即，解得，∴．故答案为：7．类型四、正方形中的折叠问题方法总结1.折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.正方形性质：利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，寻找折叠产生的全等三角形或直角三角形。解题技巧1.标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，以及由正方形本身决定的等量关系（如边长相等）。2.设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理列方程求解。例4．（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G．设正方形的周长为m，的周长为n，则的值为（

）A． B．2C． D．随H点位置的变化而变化【答案】B【分析】连接、，作于M．判定，可得，即可得出，再判定，即可得到，进而得到的周长等于正方形的周长的一半．【详解】解：如图，连接、，作于M．∵，∴，，，，，，∴，，，，，的周长，又∵正方形的周长，的值为2，故选：B．【变式4-1】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据折叠的性质可得：，，然后根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：，再根据正方形的性质可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答．【详解】解：由折叠得：，，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，故选：A．【变式4-2】（2024九年级下·广东·专题练习）综合与实践主题：特殊平行四边形的折叠．素材：一张正方形纸片．步骤1：将如图1所示的正方形纸片沿折叠（折痕经过顶点）得到图2；步骤2：将点折叠到点，得到图3，展开得到，两条折痕，如图4所示．猜想与证明：(1)请直接写出，的数量与位置关系；(2)证明（1）中你发现的结论．【答案】(1)(2)证明过程见解析【分析】（1）答案看详解；（2）由折叠可知，过点作于，再证明，最后利用全等三角形的性质即可得出．【详解】（1）解：；（2）证明：由折叠可知，过点作于，四边形是正方形，，，，，在和中，，，；故答案为：．一、单选题1．如图，把矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处．设重叠部分为，那么下列说法错误的是（

）A．是等腰三角形， B．折叠后和一定相等C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形【答案】B【分析】利用矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定以及轴对称图形的定义，逐一分析每个选项的正确性，从而找出错误的说法．【详解】解：A、∵四边形是矩形，∴，∠ADB=∠CBD．由折叠的性质可知，∴．∴．∴是等腰三角形，不符合题意．B、折叠后，和不一定相等．只有当时，和才相等，一般情况下不成立，符合题意．C、折叠后得到的图形关于对角线所在的直线对称，因此是轴对称图形，不符合题意．D、∵四边形是矩形，∴，由折叠的性质可知，，∴，∵∴，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定以及轴对称图形，解题关键是熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，并结合矩形的性质进行推理判断．2．将一张平行四边形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，C在同一直线上，连接，．已知，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，设，先根据平行四边形的性质得到，然后根据等要三角形的性质得到，求出的度数，然后根据列方程解答即可．【详解】解：设，∵是平行四边形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，解得，故答案为：A．3．将边长为a的菱形分别沿着和折叠（E，F，G，H分别在边，上），使点A和点C在折叠后均落在边上的点M处．若于点F，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理.根据折叠的性质得，可得，再根据菱形的性质得，然后由折叠的性质得，进而根据勾股定理求出，进而求出，则此题可解.【详解】解：根据题意，得，∴.∵菱形的边长为a，∴.∵，∴，∴，∴，∴，∴的周长为.故选：C.4．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于G，连接．下列结论①，②，③五边形的周长是44，④的面积是60．正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，解决本题的关键是综合运用以上知识点．根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是可得，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到；再由勾股定理求出相应线段的长可得五边形的周长，利用三角形面积公式即可确定的面积．【详解】解：由折叠可知：，，，∴，在和中，，∴，∴，，由折叠可得，，∴，故结论②符合题意；∵正方形边长是，∴，设，则，，由勾股定理得，即，解得，∴，，，∴，故结论①错误，不符合题意；∴五边形的周长为，故结论③符合题意；的面积为，故结论④符合题意；综上，正确的结论为②③④，共三个，故选C．二、填空题5．如图，在中，，，．若将沿折叠，点A与边的点D恰好重合，点H，G分别在，上．将沿折叠，点B与点D恰好重合．将沿折叠，点C与点D恰好重合，则的长为______．【答案】【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质是解题的关键；连接，由折叠的性质可知：，，，，然后可得，则有，进而可得，则有，最后问题可求解．【详解】解：连接，如图所示：由折叠的性质可知：，，，，∴点E、F分别为的中点，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；故答案为．6．将长方形形纸片（如图①，）沿过点所在的直线折叠，使得点落在边上处，折痕为（如图②）再沿过点的直线折叠，使得点落在边上的处，点落在边上的处，折痕为（如图③，如果第二次折叠后，点正好在的平分线上，，__________.【答案】【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明，且是解题的关键．由矩形的性质得，，由折叠得，，则，因为，，所以，而，，即可证明，得，所以，则，于是得到问题的答案．【详解】解：四边形是矩形，，，由折叠得，，，，，，点在的平分线上，，在和中，，，，，，故答案为：．7．如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F．

（1）_____________；（2）若点E是的中点，则的长为_____________．【答案】/90度【分析】（1）由翻折可得，，则，根据，可得，即．（2）根据题意可得点与点重合，且点，，三点在同一条直线上．过点作，交的延长线于点．由，，可得，，则，，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理列出方程，解得，进而可得出答案．【详解】解：（1）由翻折可得，，，，，即．故答案为：．（2）四边形为菱形，，，由翻折可得，，，，点是的中点，，，即点与点重合．，点，，三点在同一条直线上．过点作，交的延长线于点．

，，，，，，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理可得，解得，．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．8．如图（1），四边形是正方形，点E是边AD上的点，将沿着直线CE折叠，使得点D落在AC上，对应点为点F．（1）_____________；（2）如图（2），点G是BC上的点，将沿着直线AG折叠，使得点B落在AC上，对应点为H，连接，则_____________．【答案】【分析】（1）由正方形性质得到，再由翻折性质得到，继而证明为等腰直角三角形，设，解得正方形的边长为，据此解题；（2）由对折可得，设由（1）可知，，继而证明四边形是平行四边形，分别解得，的值即可解题．【详解】解：（1）四边形是正方形，AC是对角线，对折，为等腰直角三角形，设，则，，正方形边长，故答案为：；（2）由对折的选择可知，，且均为等腰三角形，设由（1）可知，，且四边形是平行四边形正方形的面积，故答案为：．三、解答题9．综合与实践折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．(1)【感知】如图①，若点恰好落在边上，求证：四边形是平行四边形；(2)【探究】如图②，若点，，在同一条直线上，求证：；(3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点．若平行四边形纸片的面积为20，，求线段的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)．【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形；（2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论；（3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答．【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：由折叠的性质可得：，，四边形是平行四边形，，，，，，，四边形是平行四边形；（2）证明：由折叠的性质可得：，四边形是平行四边形，，，，点在同一条直线上是等腰三角形，；（3）解：如图，延长交于点H，由折叠的性质可得：，，，是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，．【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．10．综合探究综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．问题初探：（1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由；迁移探究（2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由；拓展探索（3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由【答案】（1），见解析（2），见解析（3），见解析【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质：（1）由平行四边形的性质可得，，，推出，，证得，由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差关系，即可得出结论；（2）由折叠的性质可得，，，，结合平行四边形的性质，证得，可得，，进而推出，即可得出结论；（3）分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（1）（2）可得，，，设，可得，证得，推出，即可得出结论．【详解】（1）解：，理由：是对角线的交点，，，，，，在和中，，，，，；（2）解：，理由：纸片沿过点O的线段折叠，点B与点D重合，，，，，在中，，，，在和中，，，，，，即，，，，；（3）解：，分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（2）得，在中，，，纸片沿过点O的线段折叠，，，，由（1）得，，，，设，，，，，在和中，，，，，，，．11．【操作思考】如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为．（1）求的度数．【探究应用】将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作的中垂线分别交，于点P，H，连结，．（2）求证：．（3）求证：平分．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，，即可求解；（2）由线段垂直平分线性质可得，再由等腰三角形性质可得，推出，即是等腰直角三角形，得出，利用勾股定理可得，即可证得结论；（3）过点P作的平行线分别交、于点M、N，可证得，得，再证明是等腰直角三角形即可得出结论．【详解】（1）解：∵四边形是正方形，∴，由折叠得：，，∴，故的度数为．

（2）证明：如图，由（1）知，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，在中，，∴，∴．

（3）解：如图3，过点P作的平行线分别交、于点M、N，则，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在正方形中，，，∴四边形是平行四边形，，∴，∴，即，∵，∴是等腰直角三角形，，∴，∴，∴平分．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定和性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键．12．实践操作(1)在矩形纸片中，，．①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则________，②如图1，若点恰好在边上，连接，求的长度；③将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，如图．设与相交于点，求的长；(2)若，，将矩形纸片折叠，使点与重合，如图，求折痕的长．【答案】(1)①，②，③(2)【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用以及全等三角形的性质与判定，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．（1）①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，②根据折叠的性质可得，根据勾股定理求得，进而在中，根据勾股定理，即可求解；③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，证明，得出，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，即可求解；（2）连接，过，得，由②可得，，证明，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，进而求得，在直角三角形中，根据勾股定理即可求解；【详解】（1）解：①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则；②矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，在直角三角形中，，，，，在直角三角形中，，③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，，，，，，设，则，在直角三角形中，，解得：；（2）解：连接，过，得，，由②可得，，，，即，，，，，，设，则，在直角三角形中，，，解得：，，在直角三角形中，，，，综合训练一、选择题1.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论错误的是()A.当∠ABC=90°时,它是矩形 B.当AC⊥BD时,它是菱形C.∠ABC=∠ADC D.AC=BD一定成立2.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360° B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角线互相垂直3.在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=10cm,AB=4cm,则△COD的周长为()A.14cm B.9cm C.7cm D.5cm4.如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是()A.∠BAC=90° B.∠DAE=90°C.AB=AC D.AB=AE5.如图,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为()A.55° B.25°C.30° D.35°6.将一张正方形的纸片按下图所示的方式三次折叠,折叠后再按图所示沿MN裁剪,则可得()A.多个等腰直角三角形 B.一个等腰直角三角形和一个正方形C.四个相同的正方形 D.两个相同的正方形7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,点P是AD上一动点(不与A,D重合),过点P作AC和BD的垂线,垂足分别为E,F,则PE+PF=()A.125 B.C.35 D.8.将一边长为2的正方形纸片折成四部分,再沿折痕折起来,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,则三棱锥四个面中最小的面积是()A.1 B.32 C.12 D二、填空题9.如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为.

10.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=.

11.如图,∠ACB=90°,△ABF的中位线DE经过点C,且CE=13CD,若AB=6,则BF的长为.12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为.

三、解答题13.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,点F在CD的延长线上,满足BE=DF.连接EF,分别与BC,AD交于点G,H.求证:EG=FH.14.如图,A,B,C三点在同一条直线上,AB=2BC.分别以AB,BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN,连接FN,EC.求证:FN=EC.15.如图,在▱ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)①当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;

②当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.

(直接写出答案,不需要说明理由)16.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与AD,BC分别相交于点M,N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.17.如图①,有一张菱形纸片ABCD,AC=8,BD=6.图①图②图③图④(1)请沿着AC剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四边形,在图②中用实线画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开,请在图③中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图④中用实线画出拼成的平行四边形.(注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)综合训练一、选择题1.D2.C3.B4.A5.B∵∠