专题11 正方形的性质与判定六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

专题11正方形的性质与判定六类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、利用正方形的性质求角度类型二、正方形中的折叠问题类型三、根据正方形的性质证明与求解类型四、根据正方形的性质与判定求解类型五、正方形的性质与判定的综合问题类型六、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）压轴专练类型一、利用正方形的性质求角度方法总结1.正方形=矩形+菱形：综合运用矩形的“四个角为直角”和菱形的“对角线平分对角”性质。2.内角和转化：将所求角置于三角形或特殊图形中，利用内角和、外角、平角等关系求解。解题技巧1.对角线模型：连接对角线，利用其“垂直、平分、相等且平分对角”的性质，寻找45°、90°角。2.等腰三角形：正方形边或对角线构成的等腰直角三角形，是计算角度的常用模型。例1．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，点E是正方形内部一点，连接，，若，，则的度数为．【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在正方形外侧，作等边三角形，，相交于点，则的度数为．【变式1-2】（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为．【变式1-3】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在正方形中，，点F从点A出发，沿运动到点C，点E是边的中点，连接，，，当为等腰三角形时，的长为．类型二、正方形中的折叠问题方法总结1.抓折叠本质：折叠即轴对称，折痕垂直平分对应点连线，且折叠前后对应线段相等、对应角相等。2.结合正方形：利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，寻找全等或特殊直角三角形。解题技巧1.标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，尤其是与正方形边长相等的边。2.设元勾股：通常在折叠形成的直角三角形中，设未知边长为x，利用正方形边长关系和勾股定理列方程。例2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，将沿折叠，点A的对应点为F．连接，则的长为．【变式2-1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为．【变式2-2】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则的长为；点E的坐标为．【变式2-3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，正方形纸片的边长为，点P是线段上一动点，连接，将这张正方形纸片沿所在直线折叠，点B的对应点为，延长交边于点E，当点P为线段的三等分点时，的长为．类型三、根据正方形的性质证明与求解方法总结1.性质整合：综合运用正方形“四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等并平分对角”的全部性质。2.目标导向：根据待证或所求（边等、角等、垂直等），选择直接相关的性质进行推理或建方程。解题技巧1.构造全等：通过连接对角线或作辅助线，构造全等直角三角形，是证明线段或角相等的常用手法。2.巧用45°：对角线平分直角产生的45°角，是进行角度计算和证明的重要切入点。例3．（25-26九年级上·重庆奉节·期末）如图，在正方形中，点E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G，连接．

(1)若，求的长度；(2)当点E是边的中点时，求证：．【变式3-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形中，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接．(1)求证：；(2)当为直角三角形时，求线段的长．(3)在（2）的条件下，直接写出此时的长．【变式3-2】（24-25八年级下·广东湛江·期末）如图正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F．(1)求证：；(2)若，，的长度为；(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．【变式3-3】（25-26九年级上·江西抚州·期中）综合与实践：正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接；(1)【初步探究】如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是___________；与的位置关系为__________；三者的数量关系为_________；(2)【探索发现】当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段和三者之间数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，连接，若，，则的长为_________．类型四、根据正方形的性质与判定求解方法总结1.先判后性：先依据一组邻边相等且有一个直角等条件，判定四边形为正方形。2.再性求解：再利用正方形的性质（四边等、四直角、对角线特性）求值或证明。解题技巧1.判定优选：优先选择“一个角为直角的菱形”或“一组邻边相等的矩形”等简捷判定。2.对角线模型：连接对角线，利用其垂直、平分、相等的特性构造全等直角三角形解题。例4．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，且，则，点的坐标为．【变式4-1】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为．【变式4-2】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为．【变式4-3】（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图，在中，点D为边上的点，将沿折叠，使点A落在点E处，连接，已知，，则当为直角三角形时，的长为．类型五、正方形的性质与判定的综合问题方法总结1.判性结合：先根据条件判定正方形，再综合运用其所有性质（边、角、对角线）推导新结论或求值。2.数形转化：将几何关系（如线段和、角度和）转化为代数方程，或利用全等、勾股定理求解。解题技巧1.对角线分直角：连接对角线，将问题转化为等腰直角三角形问题，是核心解题模型。2.构造全等：通过作辅助线（如垂线）构造全等三角形，是证明线段相等或垂直的常用技巧。例5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，中，，、为的外角平分线，过点分别作直线的垂线，为垂足．(1)______（直接写出结果不写解答过程）；(2)①求证：四边形是正方形；②若，求的长．(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形中，，一条高是，它的长度为6，，直接写出的长度．【变式5-1】（25-26九年级上·江西鹰潭·月考）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．(1)求证：矩形是正方形；(2)若，求的长和的面积；(3)当线段与正方形的某条边所在直线的夹角是时，直接写出的度数．【变式5-2】（25-26九年级上·山西晋中·期中）综合与实践问题情境：在矩形纸片中，．同学们通过对矩形进行折叠开展了探究活动．如图1，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，连接．猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由；深入探究：（2）将矩形纸片展开并再次折叠，折痕与，分别交于点，，点的对应点分别为点．①如图2，若点恰好落在线段上，连接．求证：；②若点恰好落在边上，连接与相交于点，连接，点为的中点，连接．若．请直接写出线段的长度．【变式5-3】（25-26九年级上·广东深圳·月考）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点．特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____；【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，求的长度．类型六、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）方法总结1.依据性质作图：利用正方形“四边相等且四角为直角”、“对角线垂直平分且相等”的性质，作垂线、截等长或作中垂线。2.依据判定构图：以满足正方形判定条件（如作一个角为直角的菱形）为目标，逆向设计作图步骤。解题技巧1.先定直角：通常先利用格点或已有线段构造一个直角，再截取等长邻边。2.巧用对角线：通过作已知线段的中垂线并截取等长，确定对角线的交点，从而定位四个顶点。例6．（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，在正方形中，点M为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中，在上作出点E，使；(2)在图2中，在的延长线上作出点F，使．【变式6-1】（2025九年级·江西·专题练习）如图，已知正方形ABCD与正方形EFGB，E为AB的中点，点G在线段BC的反向延长线上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)在图①中，作出AD的中点P．(2)在图②中，作出GD关于直线CD对称的线段HD．【变式6-2】（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在正方形中，点是边上的一个动点，点关于直线的对称点为点，与交于点，延长、交于点．(1)①依据题意补全图形；②求的度数；(2)连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明；(3)若，，直接写出的长．【变式6-3】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．(1)如图1，四边形为正方形，点E为边的中点，请仅用无刻度的直尺画出边的中点F（保留作图痕迹，不要求写作法）；(2)如图2，四边形为菱形，点E，F分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺作以为边的矩形（保留作图痕迹，不写作法）；(3)如图3，中，，垂足为M，交边于点N．仅用无刻度的直尺在图中作，垂足为H（保留作图痕迹，不要求写作法）；(4)如图4，点E、F分别在平行四边形的边上，．连接，请过点A作的垂线，垂足为G（仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）．一、单选题1．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在正方形中，以对角线为边在右侧作菱形，点、分别在、的延长线上，连接，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为时，它移动的距离等于（

）A． B． C．或 D．或4．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（

）A．36 B．32 C．16 D．5．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（

）A． B． C． D．二、填空题6．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为，．7．（25-26八年级上·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B和点A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于．8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作，交CD于点N．若四边形MOND的面积是5，则AB的长为．9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当时，四边形是正方形．10．（2025·河南南阳·二模）如图，正方形中，点P为射线上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，射线交直线于点M，若，当时，的长为．三、解答题11．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接．(1)求证：四边形是矩形．(2)当时，四边形是正方形．12．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)当满足时，四边形是正方形．请说明理由．13．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，连接，且．(1)尺规作图：求作点；（不写作法，保留作图痕迹）(2)求证：；(3)若，求正方形的边长．14．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）2025年10月贵阳市举行了第一届数智文化节．在某校的校内选拔赛中，小星所在的数学小组用边长为8的正方形纸片进行折纸问题的探究．【初步感知】（1）如图①，沿过点的直线折叠正方形纸片，使得点的对应点落在正方形的对角线上，且折痕与边交于点，则________；（结果保留根号）【迁移应用】（2）如图②，点，分别在，边上，沿直线折叠正方形纸片，点的对应点为点，点的对应点落在线段上（不与，重合），交于点；①当点为中点时，求的面积；②当点为上任意一点时（如图③），探究的周长是否发生变化，若不变，请求出的周长；若改变，请说明理由．15．（25-26九年级上·广东深圳·月考）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点．特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____；【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，求的长度．16．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）四边形是正方形，将线段绕点A逆时针旋转至，旋转角为，连接，与交于O点，过点D作，垂足为点F，连接．(1)如图1，当时，的度数为_________．(2)如图2，当时，用等式写出的数量关系，并证明．(3)在旋转过程中，当时，若，求的长．∵四边形是正方形，∴，综合训练一、选择题1.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论错误的是()A.当∠ABC=90°时,它是矩形 B.当AC⊥BD时,它是菱形C.∠ABC=∠ADC D.AC=BD一定成立2.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360° B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角线互相垂直3.在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=10cm,AB=4cm,则△COD的周长为()A.14cm B.9cm C.7cm D.5cm4.如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是()A.∠BAC=90° B.∠DAE=90°C.AB=AC D.AB=AE5.如图,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为()A.55° B.25°C.30° D.35°6.将一张正方形的纸片按下图所示的方式三次折叠,折叠后再按图所示沿MN裁剪,则可得()A.多个等腰直角三角形 B.一个等腰直角三角形和一个正方形C.四个相同的正方形 D.两个相同的正方形7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,点P是AD上一动点(不与A,D重合),过点P作AC和BD的垂线,垂足分别为E,F,则PE+PF=()A.125 B.C.35 D.8.将一边长为2的正方形纸片折成四部分,再沿折痕折起来,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,则三棱锥四个面中最小的面积是()A.1 B.32 C.12 D二、填空题9.如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为.

10.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=.

11.如图,∠ACB=90°,△ABF的中位线DE经过点C,且CE=13CD,若AB=6,则BF的长为.12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为.

三、解答题13.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,点F在CD的延长线上,满足BE=DF.连接EF,分别与BC,AD交于点G,H.求证:EG=FH.14.如图,A,B,C三点在同一条直线上,AB=2BC.分别以AB,BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN,连接FN,EC.求证:FN=EC.15.如图,在▱ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)①当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;

②当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.

(直接写出答案,不需要说明理由)16.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与AD,BC分别相交于点M,N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.17.如图①,有一张菱形纸片ABCD,AC=8,BD=6.图①图②图③图④(1)请沿着AC剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四边形,在图②中用实线画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开,请在图③中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图④中用实线画出拼成的平行四边形.(注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)综合训练一、选择题1.D2.C3.B4.A5.B∵∠BAD=60°,∠F=110°,∴由平行四边形的性质可得,∠BCD=∠BAD=60°,∠DCF=180°-∠F=70°.∵AD∥BC,DE∥CF,∴∠ADE=∠BCF=∠BCD+∠DCF=60°+70°=130°.∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且有公共边CD,∴AD=DE.∴∠DAE=12(180°-∠ADE)=12×50°=6.C7.A如图所,连接OP,过点A作AG⊥BD于G.∵AB=3,AD=4,∴由勾股定理可得BD=32+4∵S△ABD=12AB·AD=12BD·∴12×3×4=12×5×AG,解得AG=在矩形ABCD中,OA=OD.∵S△AOD=12OA·PE+12OD·PF=12OD∴PE+PF=AG=1258.C如图,点E,F为边的中点,沿图中虚线折叠,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,此时三棱锥四个面中最小的面是△AEF,其面积=12AE·AF=12×1×1=二、填空题9.(4,4)连接BD,AC交于点E(图略).根据点B的