专题13 平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

专题13平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值的四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、平行四边形中的最值问题类型二、矩形中的最值问题类型三、菱形中的最值问题类型四、正方形中的最值问题压轴专练类型一、平行四边形中的最值问题方法总结1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及平行四边形对边平行相等的性质求最值。2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。解题技巧1.轴对称转化：利用平行四边形对边平行，作对称点将折线转化为直线求最短路径。2.勾股定理列式：在平行四边形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。例1．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，，点是边上的动点，连接．分别是和的中点，则的最小值是______．【变式1-1】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．周长的最小值为【变式1-2】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点、分别是，的中点．若，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为 B．的面积为C．周长的最小值为16 D．的最小值为【变式1-3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）（1）如图①，已知，点、分别在边、上，沿将折叠，点恰好落在边上的处，若，那么的长为___________；（2）如图②，在四边形中，对角线，相交于点，且，若，，求的最小值；（3）如图③，在Rt中，，点、分别在边、上运动，若满足，连接，求的最小值．类型二、矩形中的最值问题方法总结1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及矩形四个直角的性质求最值。2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。解题技巧1.轴对称转化：通过作对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求最小值。2.勾股定理列式：在矩形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______．【变式2-1】（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为_____．【变式2-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______．【变式2-3】（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是线段上的一个动点，在的右侧作以为边的等边，若为的中点，连接，当取最小值时，则______．类型三、菱形中的最值问题方法总结1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及菱形对角线垂直的性质求最值。2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。解题技巧1.利用对称性：菱形是轴对称图形，常作对称点将折线转化为直线求最短路径。2.勾股定理：在对角线垂直的直角三角形中，用勾股定理表示线段，再求最值。例3．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在菱形中，，E是上一动点，连接，则的最小值为_____．【变式3-1】（25-26八年级上·重庆·期末）四边形是菱形，对角线、交于点，点为上一动点，连接、，若，则的最小值是_____．【变式3-2】（25-26八年级上·四川成都·期末）等腰中，，将沿所在直线翻折得到，再将水平向右平移，得到，分别连接，则的最小值为_____．【变式3-3】（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为_____，最大值为_____．类型四、正方形中的最值问题方法总结1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及正方形轴对称性求最值。2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。解题技巧1.轴对称转化：利用正方形对称性，作对称点将折线转化为直线求最短路径。2.勾股定理列式：在正方形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。例4．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，正方形的边长为，E是上一点，，P是对角线上一动点，则的最小值是___________．【变式4-1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接．若正方形的边长为8，则的最小值为________．【变式4-2】（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在正方形中，边长，点为边的中点，连接对角线，在上截取线段，使，连接，，则的最小值为_____．【变式4-3】（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，．（1）当点为边的中点时，长的最小值为___________；（2）的最小值为___________．一、单选题1．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于..，为的中点，则的最小值为（

）A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.82．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在菱形中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，与交于点，如果点为线段上一动点，当取最小值时，（

）A． B．1 C． D．3．（25-26八年级上·重庆·周测）如图，正方形中，边长为8，E为线段上一点，将沿翻折到，连接，则的最小值为（

）．A． B． C． D．二、填空题4．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，分别是上的动点，连接分别为、的中点，则的最小值是______．5．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在菱形中，，，动点E、F分别在线段上，且，则____________，的最小值为____________．

6．（25-26九年级上·海南海口·期末）如图，为正方形的对角线，点O为的中点，点E为边上一点，连接并延长交于点F，过点A作于点P，连接，若正方形的边长为2，则________，的最小值为________．（结果保留根号）三、解答题7．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）（1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上的点，且，四边形的面积与有关，当有最值(填“大”、“小”)时，四边形的面积有最值(填“大”、“小”)．（2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．问题解决（3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．8．（25-26九年级上·陕西西安·期末）[问题探究]如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，则的最小值是；[尝试应用]如图2，矩形中，，点P是矩形内一动点，且，求周长的最小值．[实践创新]如图3，，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值．9．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形．(1)求证：矩形是正方形；(2)若，，求正方形的边长；(3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为，①求的长为_______；②正方形的面积的最小值为_______．10．（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点．(1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明；(2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形；(3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值．综合训练一、选择题1.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论错误的是()A.当∠ABC=90°时,它是矩形 B.当AC⊥BD时,它是菱形C.∠ABC=∠ADC D.AC=BD一定成立2.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360° B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角线互相垂直3.在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=10cm,AB=4cm,则△COD的周长为()A.14cm B.9cm C.7cm D.5cm4.如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是()A.∠BAC=90° B.∠DAE=90°C.AB=AC D.AB=AE5.如图,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为()A.55° B.25°C.30° D.35°6.将一张正方形的纸片按下图所示的方式三次折叠,折叠后再按图所示沿MN裁剪,则可得()A.多个等腰直角三角形 B.一个等腰直角三角形和一个正方形C.四个相同的正方形 D.两个相同的正方形7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,点P是AD上一动点(不与A,D重合),过点P作AC和BD的垂线,垂足分别为E,F,则PE+PF=()A.125 B.C.35 D.8.将一边长为2的正方形纸片折成四部分,再沿折痕折起来,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,则三棱锥四个面中最小的面积是()A.1 B.32 C.12 D二、填空题9.如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为.

10.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=.

11.如图,∠ACB=90°,△ABF的中位线DE经过点C,且CE=13CD,若AB=6,则BF的长为.12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为.

三、解答题13.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,点F在CD的延长线上,满足BE=DF.连接EF,分别与BC,AD交于点G,H.求证:EG=FH.14.如图,A,B,C三点在同一条直线上,AB=2BC.分别以AB,BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN,连接FN,EC.求证:FN=EC.15.如图,在▱ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)①当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;

②当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.

(直接写出答案,不需要说明理由)16.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与AD,BC分别相交于点M,N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.17.如图①,有一张菱形纸片ABCD,AC=8,BD=6.图①图②图③图④(1)请沿着AC剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四边形,在图②中用实线画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开,请在图③中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图④中用实线画出拼成的平行四边形.(注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)综合训练一、选择题1.D2.C3.B4.A5.B∵∠BAD=60°,∠F=110°,∴由平行四边形的性质可得,∠BCD=∠BAD=60°,∠DCF=180°-∠F=70°.∵AD∥BC,DE∥CF,∴∠ADE=∠BCF=∠BCD+∠DCF=60°+70°=130°.∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且有公共边CD,∴AD=DE.∴∠DAE=12(180°-∠ADE)=12×50°=6.C7.A如图所,连接OP,过点A作AG⊥BD于G.∵AB=3,AD=4,∴由勾股定理可得BD=32+4∵S△ABD=12AB·AD=12BD·∴12×3×4=12×5×AG,解得AG=在矩形ABCD中,OA=OD.∵S△AOD=12OA·PE+12OD·PF=12OD∴PE+PF=AG=1258.C如图,点E,F为边的中点,沿图中虚线折叠,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,此时三棱锥四个面中最小的面是△AEF,其面积=12AE·AF=12×1×1=二、填空题9.(4,4)连接BD,AC交于点E(图略).根据点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2)可知BD∥x轴.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,AE=CE=OD=2,DE=BE=OA=4,∴AC=4.故点C的坐标为(4,4).10.22.5°11.8CD=12AB=3,CE=13CD=1,DE=CD+CE=4,∴BF=2DE=12.317在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,∠BAD=90°,∴BD=AB2+∵BP=BA=5,∴PD=BD-BP=8.∵BA=BP,∴∠BAP=∠BPA=∠DPQ.∵AB∥CD,∴∠BAP=∠DQP,∴∠DPQ=∠DQ