三角函数的诱导公式教案课

三角函数的诱导公式（共5课时）

教学目标：

1.知识目标：理解四组诱导公式与其探究思路，学会利用四组

诱导公式求解任意角的三儿困数值，会进行简单的

化简与证明。

2.能力目标：培养学生数学探究与交流的能力，培养

学生直觉猜想与抽象概括的能力。

3、情感目标与价值观：通过不断设置悬念、疑问，来

引起学生的困惑与惊讶，激发学生的好奇心和求知欲，通过小组的合作

与交流，来增强学生学习数学的自信心。

教学重点：理解四组诱导公式

利用四组诱导公式求任意角的三角函数值和简单的化简与证明。

教学难点：四组诱导公式的推导过程

为了区分下节课的几组公式，要理解为何名称不变

理解确定符号的方法

教学方法：启发式结合讨论式教学方法，结合多媒体课件演示

教学工具：多媒体电脑，投影仪

教学过程：

问题情景：

715冗7乃

390°-30°

7

回顾前面

己经学习

的理论知

识，我们

己经学习

了任意角

的三角函

数的定义，

学习了三

角函数线，

还有同角

三角函数

关系，但

是我们还

有一个关

键问题没

有解决，

那就是：我

们如何来

求任意角

的三角函

数值呢？

思考：你

能填好下

面的表

吗？

sin

cos

tan

学生活动：

小组讨论:

1.找出我们可以解决的和目前无法解决的

2、对于还无法解决的，可否借助前面学习的知识求解

3.这些角之间有何关联

三、教师指导：我们前面学过了三角函数的定义和三角函数线，知道

角的终边和单位圆的交点的坐标就是角对应的三角函数值，大家先画

出一个单位圆，然后把第一个角的终边画出来：它和单位圆的交点记

为（），然后我们以每两排为一组前后左右可以相互讨论，分别画

出另外四个角的终边和单位圆的交点，每组画一个，然后每组推出一

名代表发言，看看你在画图的时候发现了什么。

四、（给五分钟画图、总结，学生在画图中容易看出另外的几个角

和开始的锐角的关系）

意义建构：

教师指导：请每组推出的代表发言。（按顺序，没合适人选时，教师可以

随机指出一名代表）

第一组：由画图发现的角的终边和的终边是重合的，它们相差，由

三角函数定义可知，终边相同的角的同一三角函数道相等，表中第二列和

第一列值相同。

教师指导：第一组总结的很好,我们可否也把它推广到任意的角呢？总结一下就是“终边相

同的角的三角函数值相同"，如何用符号表示？

诱导公式一：sin（a+2^）=sina

cos（a+2k/r）=costz

tan（a+2k;r）=tana（其中

教师指导：这个公式有什么作用？（学生总结，教师补充）

作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为之间角的正弦、余弦、正切，其

方法是先在由找出与角终边相同的角再把它写成诱导公式

（一）的形式，然后得出结果简单来说就是“大化小”。此处还可

以得出三角函数是“多对一”的单值对应，为下面研究函数的周期

性打下铺垫。

（此处引出本节课题，在运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制

不要混用）

第二组：由画图发现的角的终边和的终边是关于轴对称的，由三

角函数定义可知,它们的余弦值相等，正弦值和正切值互为相反数。

教师指导：第二组总结的也不错，我们可否也把它推：到任意的角？总结一下就

是“函数名不变，正号是余弦”，如何用符号表示？

诱导公式二：

cosja）=cosa

tan(-«)=-tana

教师指导：这个公式有什么作用？（学生总结，教师补充）

作用：把任意负角的正弦、余弦、正切化为该角正角的正弦、余弦、正切,

其方法是对于正弦和正切直接提出负号，对于余弦可以直接去掉负号，

简单来说就是“负变正”。此处还可以得出正弦函数与正切函数是奇函数,

余弦函数是偶函数。

第三组：由画图发现的角的终边和的终边是关于轴对称的，由三角

函数定义可知,它们的正弦值相等，余弦值和正切值互为相反数。

教师指导：第三组总结的也非常好，我们是否也可以把它推广到任意的角？总结一下就是

“钝角化锐角，正弦不变号”，如何用符号表示？

诱导公式三：sin（乃-a）=sina

cos（乃一a）=-cosa

tan（^--a）=-tana

教师指导：这个公式有什么作用？（学生总结，教师补充）

作用：主要是建立钝角到锐角的一个桥梁，对任意角也是成立的。

第四组：根据画图得到的角的终边和的终边是关于原点对称的，由三

角函数定义可知，它们的正切值相等，正弦值和余弦值互为相反数。

教师指导：第四组总结的很好，我们可以把它推广到任意的角吗？总结一卜.就是：“第三象

限角，正切不变号”，符号表示？

诱导公式四：

cos（^+tz）=-cosa

tan（乃+a）=（ana

1、数学理论：

我们今天学习的四组诱导公式：

诱导公式->:sin（a+2A;r）=sina

cos（a+2k7T）=cosa

tan（a+2k兀）=tana（其中"eZ）

诱导公式二：

cos^a）=cosa

tan（-a）=-tana

诱导公式三：sin（乃-a）=sina

cos（4一a）=-cosa

tan（^--a）=-tana

诱导公式四：

cos（^+a）=-cosa

tan〃r+a）=tana

1、教师指导：观察这四组诱导公式，然后回答下列问题：

2、公式两边具有什么特点

3、每个公式中符号特点是什么？如何确定符号的？

2、如何记忆这几组公式？

3、小结：函数的名称不变，符号判断是把“看作”锐角时的符号。

口诀：”函数名不变，符号看象限。”

（1）思考：公式的互推与转化：

⑵用a凿3s耐辑辅练G0=-sina

cos（4+a）=cos［乃一（一a）］=-cos（-a）=-cosa

tan（乃+a）=tan［4一（一a）］=—1an（-a）=tana

四、（2）由公式二、三、四任意两个公式，能否推出另外一组公式？

五、（此处安排学生思考可以分成三组讨论，中间两组并成一大组。）

数学应用：

⑴例1.求值

(2)sin—,T(2)cos—(3)tan(-1560)

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教师指导：做题之前，仔细想想，遇到不同的角，该选择什么样的

公式？使用顺序又是如何？

解析：(1)

/c、1\TC/c3不、34,71、7T\/2

cos---=cos(2^+——)=COS——=CQS(乃--)=-cos—=-----

444442

(3)tan(-l560°)=-tan1560°=-tan(4x360°+120°)=-tanl20°

=—tan(l80°-60°)=tan60"=8

总结：一般我们在求解任意角的三角函数值的时候，一般遵循的规则为:

“负变正，大化小，诱导公式到锐角」

⑴例2.判断下一列函数的奇偶性

⑵/(x)=l-cosx⑵g(x)=x-sinx

教师指导：回忆判断奇偶性的步骤和注意点，思考与本节课所学习内容

的联系(公式二)。

(3)解析：(1)因为函数的定义域为，且

,所以是偶函数。

因为得定义域为，且

g(-x)=-x-sin(-x)=-x-(-sinx)=-(x-sinx)=_g(x)

所以g(x)是奇函数。

例3.化简

教师指导：含字母问题，如何处理？注意和例1的联系。

解•:原式

sin。cosa,

=-----------=-I

（一cosa）sina

变式训练：]sin（3—乃）

cos（-cr-5乃）sin（一4-a）

解析：原式

,sin-[a+（2M+1）^]+2sin-[a-（2n+1）^]...

2.---------------------------------（neZ）

sin（a-2〃4）cos（2〃乃-a）

_sin[（乃+a）+2n;r\+2sin[（a-4）-

解析：原式sin（a-2〃乃）cos（2〃万一a）

_sin（乃+a）+2sin（a-;r）_-sina-2sina

sinacosasinacosa

=__3

cosa

（此处学生板书，查漏补缺，第二小题难度较大，因为包含了字母

有的同学可能会进