备战2027年高考数学（2026年）真题分类汇编全国专题08立体几何与空间向量（原卷版）

专题08立体几何与空间向量考点分类2026年高考命题解读创新考法考点01几何体中的面积与体积问题核心稳定，注重计算：主要考查三棱锥、球、棱台等几何体的面积与体积计算。重点在于利用正弦/余弦定理求解底面三角形要素，以及通过外接球性质确定高线长度。1.外接球与体积逆向求解（新课标Ⅱ卷）：已知球体积反求半径，结合正三棱锥对称性列方程求解边长，考查空间想象与代数运算的结合。

2.棱台中的动态截面（上海卷）：在正四棱台中，通过作垂线和辅助线确定线面角，并利用“拆分法”求解不规则三棱锥体积。考点02空间中的位置关系多维考查，强调逻辑：涵盖平行、垂直的判定与性质。试题区分度高，包含正方体中的定性判断与空间动点轨迹形成的二面角定量分析，要求考生具备严密的逻辑推理能力。1.动点轨迹与二面角结合（新课标Ⅰ卷）：引入动点到直线的距离及二面角大小，探究空间动点满足的几何关系（如共面、垂直），情境新颖，抽象度高。

2.正方体截面性质探究（天津卷）：通过反证法或向量法判断线面垂直的错误选项，考查对空间线面关系的深刻理解而非简单记忆。考点03空间向量的应用核心稳定，注重综合：主要考查利用空间向量解决立体几何中的平行、垂直、角与距离问题。试题强调坐标法与几何法的灵活切换，以及向量运算在解决动态几何问题中的应用。1.旋转轨迹与空间卦限（上海卷）：将正方体绕体对角线旋转，探究顶点轨迹经过的空间卦限数量。此题将运动变化与空间坐标结合，考查学生的空间想象能力和对轨迹问题的动态分析能力。

2.条件开放与探究性问题（北京卷）：在直三棱柱中，给出动点P的条件，要求从三个备选条件中选择一个使P点唯一确定，并求解面面角。此题型为结构不良试题，考查学生的选择判断能力和逆向思维。考点01几何体中的面积与体积问题1．（2026·北京卷·高考真题）已知三棱锥，，，，则它的底面的面积为________，体积为________．2．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）已知球的体积为，点A，B，C，D均在球表面上，若为正三角形，且，则__________．3．（2026·上海卷·高考真题）如图所示正四棱台，其中，.(1)当时，求和平面所成角；(2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积.考点02空间中的位置关系1．（2026·天津卷·高考真题）正方体中，错误的是（

）A． B．面 C．面 D．面2．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（

）A． B．C．当时，平面 D．当平面时，考点03空间向量的应用1．（2026·上海卷·高考真题）已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与轴、轴、轴重合，顶点与坐标原点重合，点是正方体底面中与相对的对角顶点，点在点的正上方．将正方体绕直线旋转一周，试问点的运动轨迹会经过几个空间卦限（

）．

A． B． C． D．2．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．(1)证明：平面；(2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离．3．（2026·北京卷·高考真题）已知直三棱柱，，，，、分别为、的中点．(1)证明：平面；(2)点在平面内，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求平面与平面的夹角的余弦值．①；②；③平面．注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分．4．（2026·天津卷·高考真题）在长方体中，，，，，．(1)求证：面；(2)求面与面的夹角的余弦值；(3)求三棱锥的体积．5．（2026·上海卷·高考真题）已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，．(1)求证：；(2)若四棱锥的体积为，求二面角的大小．6．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）如图，在三棱锥中，点在上，，，．(1)求证：；(2)若，，，．求直线与平面所成角的正弦值．一、单选题1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．2．（2026·广东广州·模拟预测）已知向量，，，平面的法向量，若，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2026·天津武清·模拟预测）已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则4．（2026·河北邯郸·三模）已知正三棱台，，侧棱，则正三棱台的体积为（

）A． B． C． D．5．（2026·四川广安·模拟预测）给出下列命题：①如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与该平面垂直；②如果直线平面，，那么过点且平行于直线的直线有无数条且都在平面内；③已知，是两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的充分不必要条件．其中正确的命题个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．（2026·陕西咸阳·三模）在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．7．（2026·四川遂宁·二模）在直三棱柱中，，点为的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且平面，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．（2026·江西南昌·三模）注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）.在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为现有，则注意力输出向量为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2026·广东茂名·二模）已知正方体的棱长为1，则（

）A． B．在上的投影向量的模为1C． D．与所成的角为45°10．（2026·江苏南京·模拟预测）已知正方体，，分别是面，面的中心.则下列结论正确的是（

）.A．B．平面C．与是异面直线D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为2：111．（2026·辽宁沈阳·三模）在棱长为的正方体中，M，N分别为，的中点，则（

）A．B．C．点在正方形内，当平面时，点轨迹长度为D．点在棱所在直线上，当平面时，四面体的外接球表面积为12．（2026·四川成都·模拟预测）空间中，平面上的动点满足方程，（），则称为平面的方程．同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量．已知方程分别为，的平面，的交线为，则下列结论正确的是（

）A．经过点，，的平面的方程为B．若平面的方程为：，则坐标原点到平面的距离为C．交线为的一个方向向量为D．与方程为的平面所成角的正弦值为三、填空题13．（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，，则点A到直线BC的距离为__________．14．（2026·上海静安·二模）在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______．15．（2026·河北沧州·一模）如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________．四、解答题16．（2026·重庆·三模）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．17．（25-26高三下·山东·阶段检测）如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．(1)证明：；(2)若点是中点，求点到平面的距离．18．（2026·上海黄浦·三模）如图，三棱锥中，，，，为的中点．(1)证明：；(2)点满足，求直线与平面所成角的正弦值．19．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且．点在三角形及其内部运动．设点到平面，，的距离依次为，，．若，，依次成等差数列，求：(1)点的轨迹；(2)的最小值；(3)该轨迹的长度．20．（2026·重庆·模拟预测）如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置．(1)如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面．(2