黑龙江省2026届高三数学上学期11月期中联考试卷含解析

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名､准考证号分别填写在试卷和答

题卡规定的位置上.

2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用

橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡

上相应的区域内，写在本试卷上无效.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合，，则（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据并集运算的概念，即可求得答案.

【详解】因为集合，

所以.

故选：B.

2.命题“”的否定是（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据命题的否定的定义求解即可.

【详解】命题“”的否定是“”.

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故选：C.

3.已知向量满足，则（）

A.4B.2C.1D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】将左右同时平方，根据向量的运算法则，化简整理，即可得答案.

【详解】因为，

所以.

故选：A.

4.已知，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】结合指数函数的性质，利用充分条件和必要条件的概念进行判断即可．

【详解】若，则有，所以，但此时不一定成立；

若，则，所以，即成立；

综上，“”是“”的充分不必要条件．

故选：A．

5.角的终边经过点，则（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

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【分析】根据三角函数定义得到的值，利用正弦二倍角公式计算可得.

【详解】因为角终边经过点，

则，.

所以.

故选：D.

6.若是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数单调性定义和抽象函数定义域求法解不等式即可.

【详解】因为是上的增函数，

由，可得，

解得.

故选：B.

7.已知，且，则的最小值为（）

A.3B.C.5D.9

【答案】D

【解析】

【分析】由条件得到，再结合乘1法即可求解.

【详解】因为，且，

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所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.

故选：D.

8.若存在正数，使成立，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】将问题转化为存在正数，使，利用函数单调性求的值域即可.

【详解】由得到，则，

因均在上单调递增，

则在上单调递增，则，

因存在正数，使成立，则，

所以实数的取值范围是.

故选：C.

二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数，则（）

A.的最小正周期为

B.是的对称中心

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C.在区间上单调递减

D.是有实数根的充要条件

【答案】AD

【解析】

【分析】化简可得，根据周期公式，可判断A的正误；将代入检验，可判断B的正

误；当时，令，则，根据余弦函数的单调性，分析可判断C的正误；根据余弦

函数的值域，分析可判断D的正误.

【详解】由题意

，

对于选项A：的最小正周期，故A正确；

对于选项B：当时，，

所以不是的对称中心，故B错误；

对于选项C：当时，令，则，

因为函数在上单调递增，

所以在区间上单调递增，故C错误；

对于选项D：的值域是，

所以是有实数根的充要条件，故D正确.

故选：AD.

10.下列命题中正确的是（）

A.若，则向量在向量方向上的投影向量为

B.两个非零向量，若，则与共线且反向

C.若，则向量与的夹角为钝角

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D.若为的外心，，则为的垂心

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A根据已知坐标及投影向量的定义求投影向量的坐标；对于B应用向量数量积的运算律和定

义化简条件得判断；对于C由向量数量积的定义确定夹角余弦值符号，即可判断；对于D

根据已知得，再应用向量数量积的运算律和垂直表示得，同

理有

判断.

【详解】对于A：若，则，所以向量在向量方向上的投影向量为

，A正确；

对于B：将两边平方，化简得，所以，结合向量夹角的

范围得夹角为，B正确；

对于C：因为，即，所以向量与的夹角为钝角或平角，C错误；

对于D：因为为的外心，，

则，

所以，

所以，同理可得，故为的垂心，D正确.

故选：ABD

11.定义在上函数满足下列条件：（1）；（2）当时，

，则（）

A.

B.当时，

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C.

D.当时，

【答案】AD

【解析】

【分析】根据赋值法、函数单调性的定义、累乘法对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于选项A，由，

取，得，故A项正确；

对于选项B，任取，则，依题意，，

而，

则，即，

即在上是增函数，

因为，所以，

得当时，，

而，得当时，，故B项错误；

对于选项C，由，取，因为，

故，即，故C项错误；

对于选项D，由，

取，可得，

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整理得，，

因为，所以且，

故，

即，

，

故D项正确.

故选：AD.

三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中12题第一个空2分，第二个空3分

.

12.已知函数是定义在上的奇函数，则__________，__________.

【答案】①.2②.0

【解析】

【分析】根据奇函数定义域关于原点对称，可得a，b关系，结合，可求得a，b的值，验证即

可得答案.

【详解】因为函数是定义在上的奇函数，

所以且，所以.

此时，，

所以是定义在上的奇函数，满足题意.

故答案为：；.

13.关于x的方程有两解，则实数a的取值范围是______．

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【答案】

【解析】

【分析】先利用对数的运算性质把原方程转化为，再将方程转化为一元

二次函数在有两个零点的问题，结合二次函数图象可得，求解即可.

【详解】由题意可得，

原方程可化为：，

即，令，

如要函数在有两个零点，则需：，解得，，

故答案为：.

14.已知函数，若，则的最小值为__________.

【答案】2

【解析】

【分析】由函数解析式得到，得到，再结合基本不等式即可求解.

【详解】由题设，

则，

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所以，

因为函数，在上单调递增，

所以函数在上单调递增，

且，

所以，且，则，

当且仅当时取等号，

所以当时，取最小值，最小值为.

故答案为：2.

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

15.已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求的极值.

【答案】（1）；

（2）极大值为，无极小值.

【解析】

【分析】（1）求导可得，代入切点横坐标，可得切线斜率k，根据，代入点斜式

方程，整理即可得答案.

（2）根据，令，可得单调递增区间，令，可得单调递减区

间，分析计算，即可得答案.

【小问1详解】

因为，所以，

所以点处的切线斜率，

又，即切点为，

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故在点处的切线方程为，

即；

【小问2详解】

因为的定义域为，所以，

令，解得，令得，

故得的单调递增区间是，单调递减区间是

所以函数的极大值为，无极小值.

16.已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相

邻的一条对称轴为.

（1）求函数的最小正周期及表达式；

（2）将函数的图象上各点横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得

到的图象，若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1），；

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据题设描述函数的对称中心和对称轴确定函数的最小正周期，进而求出相关参数值，即可

得解析式；

（2）根据函数图象平移得，再由正弦型函数的区间单调性及已知函数的区间零点个

数，数形结合求出参数范围.

【小问1详解】

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由于函数以为对称中心，且与其相邻一条对称轴为，

所以，故周期，而，所以，

又由函数一条对称轴为，所以有，

又，故，所以函数的表达式为；

【小问2详解】

由题意，得，

因为，所以，且时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

且，

因为函数在上恰有一个零点，

即与的图象在上恰有一个交点，

画出图象如下：

由图可知，的取值范围为.

17.的内角的对边分别为，已知.

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（1）求的面积；

（2）若，求的周长.

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据余弦定理得出，结合，得出，即可利用面积公式求

解；

（2）利用以及两角和差的余弦公式、即可得出，

再结合正弦定理得出，进而求出.

【小问1详解】

由余弦定理得，所以，

因为，所以，，

所以；

【小问2详解】

因，则，即，

则，

因为，所以，

由正弦定理，得，

由（1）知，则，，

因为，所以，

故的周长为.

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18.已知函数．

（1）若，求函数在区间上的值域；

（2）若，求的值；

（3）令，已知函数在区间上有零点，求实数的取值

范围．

【答案】（1）

（2）1012（3）

【解析】

【分析】（1）求出的表达式，根据二次函数的性质即可求解；

（2）求出的表达式，再计算的值，分析出规律后即可求解；

（3）求出的表达式，再令，将转化为常见的二次函数形式，最后结合分离变量及对

勾函数的单调性即可求解．

【小问1详解】

，

为二次函数，对称轴为，开口向下，

当时，函数单调递增，

当时，函数单调递减；

，

则函数的最大值为，

函数的最小值为，

所以函数的值域为．

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【小问2详解】

，则，

所以

，

所以

，

故．

【小问3详解】

，设，

当时，，则函数等价于，

若函数在区间上有零点，

则等价于在上有零点，

即在区间上有解，

所以在区间上有解，

所以，

设，则，则，

因为函数在区间上单调递增，且，

当时，，所以，

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所以，实数的取值范围是．

19.帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，

函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：

，，，…，．注：，

，，，…；为的导数）．已

知在处的阶帕德近似为．

（1）求实数a，b的值；

（2）比较与的大小；

（3）若有3个不同的零点，求实数m的取值范围．

【答案】（1），．

（2）答案见解析（3）

【解析】

【分析】（1）求出，，，，根据，列方程组即可

求解；

（2）令，利用导数研究的单调性即可比较大小；

（3），除1外还有2个零点，设为，，

，由导数由函数零点个数求m的范围．

【小问1详解】

由，，

知，，，，

由题意，，