黑龙江省2025-2026学年高二数学上学期期中联考试卷一含解析

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答

题卡规定的位置上.

2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，

再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷

上无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.在空间中，若向量a1,1,2，b1,2,3，c3,3,m共面，则m（）

A.4B.2C.3D.6

【答案】A

【解析】

【分析】由共面定理建立等量关系列方程组即可求解.

【详解】a1,1,2，b1,2,3，c3,3,m，

因为向量a，b，c共面，所以存在有序实数对x,y，使得cxayb，

即3,3,mx1,1,2y1,2,3xy,x2y,2x3y，

xy3x1

x2y3，解得y2，即m4.

2x3ymm4

故选：A.

2.以直线l:xm2y3m0恒过的定点为圆心，半径为2的圆的方程为（）

A.x2y22x2y2B.x2y22x2y1

C.x2y22x2y10D.x2y22x2y0

【答案】D

【解析】

【分析】先求出直线所过定点，再由圆的标准形式即可求出圆的标准方程，再转化成一般式即可.

【详解】由xm2y3m0得x2y3my10，

令y10，则y1，x1，所以直线l恒过定点1,1，

222

则圆的方程为x1y12，即x2y22x2y0.

故选：D.

3.圆x2y22x4y0的圆心到直线xy10的距离为（）

A.2B.2C.3D.32

【答案】A

【解析】

【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式求解.

【详解】圆(x1)2(y2)25的圆心(1,2)到直线xy10的距离

|1(2)1|

d2.

12(1)2

故选：A

4.已知直线l1:2a1xay10，l2:a2xay20，则“a1”是“l1∥l2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】先求两直线平行时a的取值，再判断a1和a0时两直线是否平行，从而确定条件类型.

【详解】直线l1，l2平行或重合的充要条件是2a1aa2a，所以a0或a1．

∥

将a1代入直线l1，l2的方程，得l1:3xy10，l2:3xy20，易知l1l2；

将a0代入直线l1，l2的方程，得l1:x10，l2:2x20，直线l1，l2重合，故a0舍去．

综上所述，“a1”是“l1∥l2”的充要条件．

故选：C．

5.设直线l的方程为xysin20，则直线l的倾斜角的范围是（）

πππ3ππππ3π

A.0,πB.,C.,D.,,

42444224

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围；

【详解】直线l的方程为xysin20，设直线的倾斜角为，

π

当sin0时，，

2

1

②当sin0时，直线的斜率ktan，

sin

由于1sin0或0sin1，

所以tan(,1][1,)，

πππ3π

所以[,)(,]，

4224

π3π

综上所述：[,]；

44

故选：C．

6.在直三棱柱中，，，，分别是，的中

ABCA1B1C1ABBCBB12AB2BCMNB1C1A1B1

点，则直线BM与直线CN所成角的余弦值（）

A.313B.213C.5D.25

1313515

【答案】B

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，设BCaa0，利用异面直线所成角的向量法求解即可.

【详解】因为直三棱柱ABCA1B1C1，所以BB1底面ABC，

又BA,BC底面ABC，所以BB1BA，BB1BC，

又因为ABBC，所以BA,BC,BB1两两垂直，

以BA,BC,BB1为x,y,z轴建立如图所示坐标系，

aa

设BCaa0，则B0,0,0，C0,a,0，M0,,2a，N,0,2a，

22

aa

所以BM0,,2a，CN,a,2a，

22

设直线BM与直线CN所成角为，

3

a2

BMCN213

则coscosBM,CN2，

BMCN31313

aa

22

213

所以直线BM与直线CN所成角的余弦值为.

13

故选：B

7.已知直线4x3ya0与C:x2y24x0相交于A、B两点，且ACB120，则实数a的

值为

A.3B.10

C.11或21D.3或13

【答案】D

【解析】

【详解】分析：首先将圆的方程整理为标准方程，结合等腰三角形的性质和点到直线距离公式得到关于实

数a的方程，解方程即可求得最终结果.

2

详解：圆的方程整理为标准方程即：x2y24，

设AB中点为D，由圆的性质可知△ABO为等腰三角形，其中OAOB，

1

则ODOAsin3021，即圆心2,0到直线4x3ya0的距离为d1，

2

80a

1

据此可得：2，即a85，解得：a3或a13.

423

本题选择D选项.

点睛：本题主要考查圆的方程的应用，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能

力.

8.已知圆22，圆22，若圆C平分圆的周长，则

C1:xy2x4y0C2:xymxny02C1

n2m的最小值为（）

A.4B.6C.8D.9

【答案】D

【解析】

【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在直线l的方程．由题意知圆C1的圆心在直线l上，可得

m2n10，再利用二次函数的性质可求最小值．

【详解】∵方程x2y2mxny0表示圆，

∴m2n2400，即m2n20．

圆22，圆22，

C1:xy2x4y0C2:xymxny0

两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线l的方程：m2xn4y0．

若圆C2平分圆C1的周长，则圆C1的圆心在直线l上，

∵圆22的圆心为，

C1:xy2x4y01,2

∴m22n40，即m2n10，

2

∴n2mn22n10n19，

∴当n1,m8时，n2m取最小值9．

故选：D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为1，2，3，则下列选项正确的是

（）

A.k1k3k2B.k3k2k1C.132D.321

【答案】AD

【解析】

【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可.

π

【详解】由图可知0，

3221

则k10k3k2.

故选：AD

10.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABADAA11且

π

AADAABBAD，M为A1C1与B1D1的交点，设ABa，ADb，AAc，则下列结论正确

1131

的是（）

A.

AC1abc

11

B.BMabc

22

C.AC16

6

D.cosAB,AC

13

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用空间向量的基本定理可判断AB选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD选项.

【详解】对于，，故正确；

AAC1ABBCCC1ABADAA1abcA

11

对于，

BBMBB1B1MAA1B1D1AA1A1D1A1B1

22

1111

，故错误；

AA1ADABcbaabcB

2222

2

对于，222，

CAC1abcabc2ab2ac2bc

π

ABADAA1，AADAABBAD，

1113

222，

AC1abc2a·b2a·c2b·c1111116

故C正确；

11

21

对于，AB·AC1aa·ba·c226，故正确.

DcosAB,AC1D

ABAC11663

故选：ACD.

11.在平面直角坐标系xOy中，过圆x2y21外的动点P作圆的两条切线，切点为A,B，则下列结论正

确的有（）

A.若点P3,4，则四边形OAPB的面积是26

22

B.若点P6,8，则四边形OAPB的外接圆方程是x3y410

12

C.若点P在直线4x3y120上，则O,A,P,B所在圆的直径的最小值是

5

D.当PAPB取得最小值时，点P到圆心O的距离为2

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A，S四边形OAPBSOAPSOBP即可求解；对于B，由四边形OAPB的外接圆的直径是OP，

即可求解；对于C，当OP与直线垂直时，直径最小，即可求解；对于D,由P到圆心O的距离为2，确定

OAPB为正方形，PAPB0可判断；

【详解】若P3,4，则OP5，又PAOA，PBOB，OAOB1，

所以，所以，A正确；

APBP26S四边形OAPBS△OAPS△OBP26

四边形OAPB的外接圆直径是OP，若P6,8，则OP10，圆心为3,4，

22

故外接圆方程是x3y425，B不正确；

12

因为原点O到直线4x3y120的距离为，

5

12

所以当P为垂足时，以OP为直径的圆的直径最小，为，C正确；

5

若点P到圆心O的距离为2，易得：PAPB1，此时四边形OAPB是正方形，此时PAPB0，

π

易知，当1OP2时，APB，PAPB0，故D不正确，

2

故选：AC．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若a,b,c为空间两两夹角都是120的三个单位向量，则a2b3c______．

【答案】21

【解析】

2

【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出a2b3c21，从而得到答案.

【详解】a,b,c为空间两两夹角都是120的三个单位向量，

22222

a2b3ca2b3ca4b9c4ab6ac12bc

1494cos1206cos12012cos1201423621，

a2b3c21.

故答案为：21

21

13.已知a0,b0，直线l:(a1)xy10,l:x2by10，且ll，则的最小值为

1212ab

__________.

【答案】8

【解析】

2121

【分析】由题意，根据直线垂直，先得到a2b1，再由a2b，展开后利用基本不

abab

等式求解即可.

【详解】因为l1l2，所以(a1)112b0，即a2b1，

21214ba4ba

因为a0,b0，所以(a2b)22428，

abababab

4ba11

当且仅当，即a,b时等号成立，

ab24

21

所以的最小值为8.

ab

故答案为：8

y1

14.已知实数x，y满足y4x21，则的取值范围为_________.

x4

14

【答案】,

33

【解析】

2

【分析】由题意，将问题转化为直线与半圆x2y14y1上点P与点A4,1连接的直线的斜

率.，数形结合分析即可.

【详解】因为y4x21，

22

所以x2y14y1，其表示为圆x2y14的上半部分.

设半圆上一动点Px,y，

y1

表示的几何意义为点P与点A4,1连接的直线的斜率，

x4

当直线AP和半圆相切时，直线AP的斜率取最大值，

设直线AP的方程为y1kx4，即kxy4k10，

4k24

所以2，解得k或k0（舍去），

k213

4

则直线AP的斜率的最大值为；

3

111

当点P为2,1时，则直线AP的斜率取最小值，为，

243

y114

综上，的取值范围为,.

x433

14

故答案为：,.

33

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知ABC的顶点C(5,1)，边AC上的中线BM所在直线的方程为2xy50，边BC上的高AH

所在直线的方程为x2y50．求：

（1）顶点B的坐标；

（2）直线AB的方程．

【答案】（1）(4,3)

（2）6x5y90

【解析】

【分析】（1）由直线AH的斜率得到直线BC的斜率，结合C(5,1)，得到直线BC的方程，与直线BM的

方程联立，求出点B的坐标；

（2）设Mx0,2x05，由中点坐标公式得到A2x05,4x011，将其代入直线AH中，求出x02，

求出A(1,3)，从而结合（1），求出直线AB的方程.

【小问1详解】

由题意得直线的斜率为1，所以直线的斜率为．

AH2BC2

又因为C(5,1)，所以直线BC的方程为y12x5，即2xy110，

因为直线BM的方程为2xy50，

2xy110,x4,

由，解得，所以点B的坐标是(4,3)．

2xy50,y3,

【小问2详解】

由题意，M是线段AC的中点，且在直线2xy50上，

设Mx0,2x05，又C(5,1)，则A2x05,4x011．

由题意，点A在直线AH:x2y50上，则2x0524x01150．

解得x02，则A(1,3)．

336

由（1）得B(4,3)，所以直线AB的斜率为，

145

6

所以直线AB的方程为y3(x4)，即6x5y90．

5

16.设直线l:x2y20

（1）求与直线l的距离为5的直线的方程；

（2）求圆C:(x2)2(y1)21关于直线l的对称圆的方程.

【答案】（1）x2y30或x2y70

22

219

（2）xy1

55

【解析】

【分析】（1）依题意该直线与直线l平行，由平行直线间的距离公式列方程即可求解；

（2）利用“垂直”，“平分”即可求出圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆方程.

【小问1详解】

由题意可知该直线与直线l平行，

所以设该直线方程为x2yc0，

|2c∣

依题意5，解得c3或c7，

1222

故该直线方程为x2y30或x2y70.

【小问2详解】

圆C:(x2)2(y1)21的圆心为C2,1，

设圆心C2,1关于直线l:x2y20的对称点为Dm,n，

m2n1

则kCDkl1且CD的中点,在直线l上．

22

n11

1

m22219

，解得m,n，

m2n155

220

22

219

D,，

55

圆C关于直线l的对称圆半径不变，

22

219

该对称圆方程为：xy1．

55

17.如图，在空间四边形OABC中，点D为BC的中点，2AEED，设OAa，OBb，OCc．

（1）试用向量a，b，c表示向量OE；

（2）若OAOBOC2，AOCBOCAOB60，求OEAB的值．

211

【答案】（1）abc

366

（2）1

【解析】

【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果；

（2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.

【小问1详解】

1

点D为BC的中点，OD(OB+OC)，

2

21211

，OEOAODOA(OBOC)

2AEED33332

211211

OAOBOCabc．

366366

【小问2详解】

211

，由（1）得OEAB(OAOBOC)(OBOA)

ABOBOA366

1121221

OAOBOB+OCOBOAOCOA

26636

11111211

2222+2222221．

22662362

18.如图①，在ABC中，C90，BCAC3，D，E分别是AC，AB上的点，满足DE//BC，

△

且DE经过ABC的重心.将ADE沿DE折起到A1DE的位置（如图②），使A1C平面BCDE，存

在动点，使.

MA1MA1D(0)

1

（1）当时，求平面CMB与平面MEB夹角的余弦值；

2

（2）设直线BM与平面A1BE所成角为，求sin的最大值.

【答案】（1）31

31

（2）465.

65

【解析】

【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出平面CMB与平面MEB的法向量，结合向量夹角的余弦值

的计算公式即可求解；

（2）引入参数表示出BM，求出平面A1BE的法向量，进一步可将sin表示出的函数即可进一步求解.

【小问1详解】

由题可知，A1C，CD，CB两两垂直，

翻折前，因为DE经过ABC的重心，且DE//BC，

所以AD2CD，

2

所以CD1，AD2，DEBC2，

3

翻折后A1D2，

由勾股定理得2222，

A1CA1DCD213

以C为原点，直线CD，CB，CA1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

13

则C(0,0,0)，，D(1,0,0)，M,0,，B(0,3,0)，E(1,2,0)，

A1(0,0,3)

22

1313

可得CM,0,，MB,3,，BE(1,1,0).

2222

设平面BMC的法向量为mx1,y1,z1，

13

mCMxz0,

2121

则

13

mMBx3yz0,

21121

令，则，，可得.

z11x13y10m(3,0,1)

设平面BME的法向量为nx2,y2,z2，

13

nMBx3yz0,

则22222

nBEx2y20,

5353

令x1，则y1，，可得n1,1,.

22z2

33

23

mn331

可得cosm,n，

|m||n|3131

2

3

31

所以平面CMB与平面MEB夹角的余弦值为.

31

【小问2详解】

由（1）可知，，，

BA1(0,3,3)BE(1,1,0)A1D(1,0,3)

设平面A1BE的法向量为px3,y3,z3，

pBA13y33z30,

则

pBEx3y30,

令，则，，可得.

x31y31z33p(1,1,3)

且，

BMBA1A1D(0,3,3)(1,0,3)(,3,33)

因为直线BM与平面A1BE所成角为，

则

22

|pBM|

sin|cosp,BM|542612126

|p||BM|54

2

2465

2

111365，当且仅当4时等号成立，

512

44

465

所以sin的最大值为.

65

222，，

19.如图，已知圆M的方程为xybr，直线xmy与圆M交于Cx1y1，Dx2y2（C

，，

在上方），直线xny与圆M交于Ex3y3，Fx4y4（E在上方）．原点O在圆M内．设CF交x轴

于点P，ED交x轴于点Q．

1

（1）当b0，r5，m，n2时，分别求线段OP和OQ的长度；

2

yyyy

（2）①求证：1234；

y1y2y3y4

②猜想OP和OQ的大小关系，并证明．

55

【答案】（1）OP，OQ

33

（2）①证明见解析；②OPOQ，证明见解析

【解析】

【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求出C,D,E,F各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线CF

和ED的方程，并求它们与x轴的交点坐标，可得OP和OQ的长度．

（2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立；②猜测

OPOQ，分别求出点P和点Q的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立．

【小问1详解】

1

当b0，r5，m，n2时，

2

22

xy5

221x1x1

圆M:xy5，直线CD:xy，由1解得或，

2xyy2y2

2

故C1,2，D1,2