广东省茂名市高州市2025-2026学年高二数学下学期5月期中测试含解析

广东茂名市高州市2025-2026学年高二下学期质量监测

数学试题

一、单选题

1．已知等差数列2，5，8，…，则41是这个数列的（）

A．第16项B．第15项C．第14项D．第13项

2．一质点的运动方程为St2t3（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在t4时的瞬时速度为（）

A．1m/sB．3m/sC．5m/sD．7m/s

n

3．在1xn≥8的展开式中，第7项为（）

77667n76n6

A．CnxB．CnxC．CnxD．Cnx

4．下表是离散型随机变量X的分布列，则PX1（）

X012

P0.5112qq2

A．0.35B．0.45C．0.3D．0.4

5．由0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（）

A．300B．360C．420D．480

6．已知正项数列an满足log2an11log2an，且a2a4a68，则a7a9（）

A．6B．42C．80D．84

7．某校从高一､高二､高三中各选派8名同学参加“党的光辉史”系列报告会，其中三个年级参会同学中女

生人数分别为4，5，6，学习后，学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女

同学来自高三年级的概率为（）

2381

A．B．C．D．

55153

715

8．已知a=，bln，clog87，则（）

88

A．bacB．cba

C．bcaD．abc

二、多选题

9．把10本不同的书排放在书架上，其中两本数学书不能相邻的排法有（）

82811

A．A8A9种B．A8A9A10种

1029109

C．A10A2A9种D．A10A9种

10．若将一边长为4的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下

列说法正确的是（）

2

A．当x时，方盒的容积最大B．方盒的容积没有最小值

3

12864

C．方盒容积的最大值为D．方盒容积的最大值为

2727

9

11．记等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项积为Tn，a1b132，S5140，T92，则

下列选项正确的是（）

6n

A．an2n34B．bn2

15

C．当且仅当n16时，Sn最大D．Tn的最大值为2

三、填空题

n55

12．已知C8C8C9，则n________．

n

1*

13．二项式2xnN的展开式中，前3项的系数依次成等差数列，则偶数项二项式系数之和为

x2

________．

14．某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对

1

系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”

20

1

的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为1：5，经测试某人被判定为“允许通

10

行”，则其是小区业主的概率为________．

四、解答题

15．设等差数列an的前n项和为Sn，且a47，S13169．

(1)求an的通项公式；

an

(2)设bn2an，求数列bn的前n项和Tn．

a

16．已知函数fxlnx2x．

x

(1)若a2，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

(2)若fx有两个极值点，求实数a的取值范围．

17．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都

相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字．

(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(2)求随机变量X的分布列．

18．已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn3an2n6．

(1)证明：an1是等比数列，并求an的通项公式；

n

(1)(4an2)

(2)记bn，记数列bn的前n项和为Tn．

anan1

①求T2n；

*

②若存在nN，使得Tn，求的取值范围．

lnx1

19．已知函数fx,gxxlnxax2aaR.

x

(1)求函数f(x)的最大值；

(2)若函数g(x)在(0,)上单调递减，求实数a的取值范围；

(3)若函数g(x)0在x[1,)上恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案

1．C

【详解】由题可知该等差数列的首项为2，公差为3，

因此该数列通项公式为an23n13n1，

令am3m141，可得m14.

因此41是这个数列的第14项.

2．D

【详解】因为Stt2t3，所以St2t1，

则在t4时的瞬时速度为S42417.

3．B

6n6666

【详解】根据二项展开式的通项可得第7项为T7Cn1x=Cnx.

4．D

【详解】由题可知，0.51+12+2=1，解得=1.7或q0.3，

当=1.7时，12q0，q2−1，�不�满足题意，舍�去，

故�q0.3，则=1=12=120.3=0.4.

5．C��−�−×

3

【详解】最后一位数是0，偶数的个数是A6120；

112

最后一位不是0，偶数的个数是C3C5A5300，

所以一共有120300420种.

6．C

aa

n1n1

【详解】由题意log2an1log2an1，所以log21，则2，

anan

n1

所以数列{an}是以2为公比的等比数列，则ana12，

35392

所以a2a4a6a12a12a12a128，解得a12，

2n1n346

所以an222，则a7216,a9264，

所以a7a980

7．A

【详解】设事件A为“24人中抽出一名女同学”，事件B为“24人中抽出一名高三同学”，

45615561PAB2

则PA，PAB，PBA.

24248244PA5

故选：A.

8．A

1x

【详解】令fxlnx1x，则fx1，

x1x1

当x0时，fx0，

所以函数fx在0,上单调递减，

777

所以ff00，即ln10，

888

157

即ln<，所以，

88ba

lnx1lnx

令gx，则gx，

xx2

当xe时，gx0，

所以函数gx在e,上单调递减，

ln7ln8ln77

所以g7g8，即，所以>，

78ln88

7

所以log7，即ca，

88

综上所述，bac.

9．AC

【详解】法一：先把其他的8本书排好，形成了9个空，再将2本数学书插入9个空，

82

则有A8A9种不同的排法.

29

法二：若两本数学书相邻，则有A2A9种排法，

1029

所以两本数学书不能相邻的排法有A10A2A9种.

故选：AC.

10．ABC

【详解】由题意知：方盒的底面为边长为42x的正方形，高为x，其中0x2，

2

则方盒的容积为Vxx42x0x2，

2

Vx42x4x42x2x46x44x23x2，

22

则当x0,时，Vx0；当x,2时，Vx0；

33

22

Vx在0,上单调递增，在,2上单调递减，

33

2128

VxV，无最小值，ABC正确，D错误.

max327

故选：ABC.

11．AD

【详解】因为an为等差数列，S55a3140，所以a328，

aa

又因为a32，所以公差d312，所以a2n34，

12n

a1620，a170，a1820，

所以当n16或n17时，Sn最大，所以A正确，C错误；

99

因为bn是等比数列，所以T9b1b2b3b4b5b6b7b8b9b1b9b2b8b3b7b4b6b5b52，

所以b52，因为b132，

b21

所以公比q45，

b13216

11n1n1

所以或，所以16n或1，

qqbn322bn32

2222

所以选项B错误；

1

当b26n时，b21，b1，b1，

n5672

515

所以当n5或n6时，Tn最大，且最大值为T5T6b32；

n1

当1，

bn32

2

1

b32,b16,b8,b4，b21，b1，b1，

12345672

当n5时，bn1，当n5时，Tn0，又b61，当n7时，bn1，

515

所以当n5时，Tn最大，且最大值为T5b32，

15

综上，可知Tn的最大值为2，所以选项D正确.

故选：AD.

12．4

kk1k1n55

【详解】根据组合数的性质CnCnCn1，且C8C8C9，

所以n4.

13．128

n1

【详解】二项式1展开式的通项公式rnrrrnrn3r，

2xTr1Cn(2x)(2)Cn2x

x2x

nn

当r0时，T12x，

n1n3

当r1时，T2n2x，

n(n1)

当r2时，T2n2xn6，

32

因为前3项的系数依次成等差数列，

n(n1)

所以2n2n12n2n2，即8n8n(n1)，

2

解得n1（舍）或n8，

所以偶数项二项式系数之和为2n127128.

95

14．

97

【详解】设A表示“被检测人员是业主”，A表示“被检测人员是外来访客”，设B表示“允许通行”，

51

已知外来访客和小区业主的比为1:5，则PA，PA，

66

1

小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，

20

119

则业主被允许通行的概率为PBA1，

2020

1

外来访客被判定为“允许通行”的概率为PBA，

10

5191197

因此“允许通行”的概率为PBPAPBAPAPBA，

620610120

519

PAPBA95

所以PAB620.

PB9797

120

15．(1)an2n1(nN)

2(4n1)

(2)Tn2

n3

【详解】（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，

a4a13d7，

1312

S13ad169，

1312

a3d7a1

则1，解得1，

a16d13d2

所以an1(n1)22n1.

an2n1

（2）an2n1，bn2an22n1，

132n1132n1

Tnb1b2bn(21)(23)(22n1)(222)(132n1)

2(14n)n(12n1)2(4n1)

n2.

1423

16．(1)y3x3

1

(2)0,

8

212

【详解】（1）当a2时，fxlnx2x，求导可得fx2，

xxx2

当x1时，f10220，f11223，

所以yfx在点1,f1处的切线方程为y3x3.

1axa2x2

（2）由（1）可知，fx2x0，

xx2x2

设函数gx2x2xax0，fx要有两个极值点，即方程gx0要有两个不相等的正实数根，

设x1,x2x1x2为fx的两个极值点，即方程gx的两个正实数根，

142a0

111

所以x1x20，解得0a，即实数a的取值范围为0,.

288

a

xx0

122

2

17．(1)

3

(2)分布列见解析

【详解】（1）“取出的3个小球上的数字互不相同”记为事件A，

C1C1112

58

则A为“取出的3个小球上有2个数字相同”，∴PA3，∴PA1．

C10333

（2）由题意可知X的可能取值为2，3，4，5，

C2C1C1C241C2C1C1C2162

22224242

PX23，PX33，

C1012030C1012015

C2C1C1C2363C2C1C1C2648

62628282

PX43，PX53．

C1012010C1012015

可得X的分布列如表所示．

X2345

1238

P

30151015

n

18．(1)证明见解析，an31；

117

(2)①T；②[,).

2n432n1120

【详解】（1）数列an中，2Sn3an2n6，当n2时，2Sn13an12(n1)6，

两式相减得2an3an3an12，整理得an3an12，于是an13(an11)，

而2a13a126，即a14，则a113，

所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，n，n；

{an1}an13an31

(1)n(43n2)11

（2）①由（1）知，a3n1，b(1)n()，

nn(3n1)(3n11)3n13n11

11111111

T()()()()

2n3132132133132n1132n132n132n11

1111

.

3132n11432n11

111

②由①知，T，T，

2n432n112n4

111111

TTa()，

2n12n2n432n1132132n114321nn

11117

而数列{}单调递增，则TT，

432n12n1141020

7*7

因此Tn，由存在nN，使得Tn，得，

2020

7

所以的取值范围是[,).

20

19．(1)1

1

(2),

2

1

(3),

2

lnx1lnx

【详解】（1）fx，定义域为0,，fx，

xx2

令fx0，得x1，当0x1时，fx0；当x1时，fx