专题17 待定系数法求一次函数的表达式的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（解析版）

1/10专题17待定系数法求一次函数的表达式的六类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、已知一点求正比例函数的表达式类型二、已知一点求一次函数中K值或b值类型三、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式类型四、已知两点求一次函数的表达式类型五、两直线平移，求直线的表达式类型六、两直线旋转，求直线的表达式压轴专练类型一、已知一点求正比例函数的表达式方法总结1.设代求k：设正比例函数为y=kx，将已知点坐标(x0,y0)代入，得k=y0x0(x2.回代得解析式：将求出的k值代回y=kx，即得函数表达式。解题技巧1.检查x0：确保已知点横坐标不为0，否则无法确定正比例函数（此时点为原点）。2.化简分数：若k为分数，保留最简形式，便于后续应用。例1．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知正比例函数的图像过点．(1)求这个正比例函数的表达式；(2)已知点在这个正比例函数的图像上，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法，即可求出解析式；（2）把点A代入解析式，即可求出a的值．【详解】（1）把点代入，解得，∴正比例函数的解析式为：；（2）把点代入，则．【变式1-1】（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知y是x的正比例函数，当时，．(1)求这个函数的解析式；(2)若点是该函数图象上的一点，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，已知自变量值求函数值，已知函数值求自变量值，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）由待定系数法即可求解；（2）点代入函数解析式得到关于m的方程，即可求解．【详解】（1）解：∵y是x的正比例函数，∴设∵当时，∴，解得：，∴这个函数的解析式为；（2）解：∵点是该函数图象上的一点，∴，解得：．【变式1-2】（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知正比例函数的图象经过点．(1)求这个正比例函数的表达式；(2)若这个图象还经过点，求点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（）利用待定系数法解答即可；（）把点坐标代入（）所得函数解析式解答即可；本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键．【详解】（1）解：设这个正比例函数的表达式为，∵正比例函数的图象经过点，∴，即，∴正比例函数的表达式为；（2）解：把代入，得，解得，∴点的坐标是．【变式1-3】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）已知正比例函数（为常数，且）经过点．(1)求该正比例函数的解析式；(2)判断点是否在该正比例函数的图像上．【答案】(1)(2)点不在该正比例函数的图像上【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式、正比例函数的性质等知识，正确求得该函数解析式是解题关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）将代入函数解析式，求得的值，即获得答案．【详解】（1）解：将点代入，得，解得，∴该正比例函数的解析式为；（2）当时，，∴点不在该正比例函数的图像上．类型二、已知一点求一次函数中K值或b值方法总结1.代点求未知：将已知点坐标代入y=kx+b，得到一个关于k或b的方程。2.结合条件解：若求k，需已知b或另一条件；若求b，需已知k或直线特性（如过原点）。解题技巧1.明确目标：分清是求k还是b，缺啥补啥条件。2.代入即得：直接代入坐标，方程即出，无需额外变形。例2．（25-26八年级上·安徽·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点．(1)求该函数的表达式；(2)若点在该函数图像上，求点P的坐标．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数上点的坐标特征等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．（1）将代入求得k的值即可解答；（2）将代入（1）所得的函数解析式求得a的值，进而求得点P的坐标．【详解】（1）解：将代入中得：，解得：，∴函数表达式为．（2）解：将代入中，得，解得．∴．【变式2-1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）已知一次函数的图象经过点．(1)求的值．(2)当时，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，求得解析式是解题的关键．（1）利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；（2）求得和时的函数值，结合一次函数的性质即可求得．【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，，．（2）解：一次函数的函数表达式为，当时，；当时，，，随的增大而减小，当时，的取值范围为．【变式2-2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数（k为常数，且）．(1)若点在一次函数的图象上，①求k的值；②设，则当时，求P的最大值．(2)若当时，函数最大值与最小值的差为4，求此一次函数的表达式．【答案】(1)①；②P的最大值为7(2)一次函数解析式为或【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征．（1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值；②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，即可求解；（2）分和两种情况，根据一次函数的增减性求出最大值与最小值，根据函数最大值与最小值的差为4列出方程，求解得到k，从而得到对应的一次函数解析式．【详解】（1）解：①∵点在一次函数的图象上∴，解得；②当时，该一次函数为，∴，∴P随x的增大而减小，∵∴当时，P的值最大，为．（2）解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大，∵∴当时，y取得最小值，为当时，y取得最大值，为，∵函数最大值与最小值的差为4，∴，解得，此时一次函数解析式为；当时，一次函数中，y随x的增大而减小，∵∴当时，y取得最大值，为当时，y取得最小值，为，∵函数最大值与最小值的差为4，∴，解得，此时一次函数解析式为；综上所述，一次函数解析式为或．【变式2-3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象经过点．(1)求的值；(2)当时，求函数的最大值与最小值的差；(3)当时，函数的最大值与最小值的差是否会随着的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由．【答案】(1)(2)函数的最大值与最小值的差为(3)不变，定值为【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；（1）将点坐标代入解析式即可求出结果；（2）根据一次函数的增减性可得当时函数值最大，当时函数值最小，两者求差即可；（3）根据一次函数的增减性可得当时函数值最大，当时函数值最小，两者求差即可；【详解】（1）解：∵一次函数经过点，，解得．（2）解：∵，所以随的增大而减小，∴当时，的最大值为10；当时，的最小值为2，∴函数的最大值与最小值的差为．（3）解：定值为，理由如下：∵，所以随的增大而减小，∴当时，的最大值为，当时，的最小值为，∴最大值与最小值的差为：．类型三、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式方法总结1.设比例式：根据题意设y+m=k(x+n)（其中m、n为常数），k≠0。2.代点求k：代入一组对应x、y值求出k，再整理成y关于x的函数表达式。解题技巧1.化标准形式：最后结果要写成y=kx+b的形式，便于应用。2.注意常数项：原式中m、n可能需移到等号一侧再整理。例3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知与成正比例，且当时，．(1)求与之间的函数关系式；(2)若点在这个函数的图象上，求的值．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．（1）由题意可设（），然后把，代入求解即可；（2）将点代入（1）中求解的函数解析式即可．【详解】（1）解：由题意可设（），∵时，，∴，解得∴与之间的函数关系式为；（2）解：∵点在这个函数的图象上，∴，解得．【变式3-1】（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知与成正比例，且当时，．(1)写出与之间的函数关系式．(2)若点在函数图像上，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查待定系数法求解析式，函数图像上的坐标特点，掌握相关知识是解题的关键．（1）设，把，代入式子，求出k的值，即可解答；（2）把点代入函数关系式，即可求解．【详解】（1）解：∵与成正比例，∴设，∵当时，，∴，即，∴，∴，∴与之间的函数关系式为．（2）解：∵点在函数图像上，∴，∴．【变式3-2】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知，其中与x成正比例，与成正比例，且当时，；当时，．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)求当时，y的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据题意设，则，然后利用待定系数法求得a、b的值，即可解答；（2）根据（1）中的结论，把代入计算，即可解答．【详解】（1）解：设，，，当时，；当时，．，解得，；（2）解：当时，．【变式3-3】（25-26八年级上·江苏苏州·周测）已知与成正比例，且当时，．(1)写出与之间的函数表达式；(2)当时，求的值；(3)若的取值范围是，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的增减性，熟练掌握待定系数法是解题的关键．（1）由题意设，代入，，求出，写出与之间的函数表达式；（2）将时代入解析式，求的值；（3）分别求出当和时，对应的的值，然后利用一次函数的增减性求得的取值范围．【详解】（1）解：设，当时，，即，解得，，；（2）解：当时，；（3）解：令，即，解得，令，即，解得，对于一次函数，，随的增大而增大，当时，．类型四、已知两点求一次函数的表达式方法总结1.待定系数法：设一次函数为y=kx+b，将两点坐标(x1,y1)、(x2,y2)代入得方程组。2.解k、b：解方程组求出k与b，代回即得解析式。解题技巧1.先求k：用公式k=y2−y2.验算无误：求出解析式后，用另一点代入验证是否满足。例4．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知一次函数的图象经过，两点．(1)求这个一次函数的关系式；(2)试判断点是否在这个一次函数的图象上并说明理由．【答案】(1)；(2)不在，理由见解析．【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键．（1）利用待定系数法，将点，代入一次函数，解方程组求k和b即可；（2）将点的横坐标代入函数解析式，计算y值，与点的纵坐标比较即可判断．【详解】（1）解：设一次函数关系式为，由条件可得：，解得，这个一次函数的关系式为；（2）解：点不在一次函数的图象上，理由如下：当时，，点不在一次函数的图象上．【变式4-1】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知一次函数的图象经过点和．(1)求这个一次函数的解析式；(2)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标．【答案】(1)(2)x轴交点为，与y轴交点为【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出当时x的值，即可得该函数图象与x轴的交点坐标．求出当时y的值，即可得该函数图象与y轴的交点坐标．本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与两坐标轴的交点坐标．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．【详解】（1）解：和代入，得，解得，∴一次函数解析式为．（2）解：令，则，解得，∴与x轴交点为，令，则，∴与y轴交点为．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知一次函数的图象经过点，．(1)求一次函数的表达式；(2)若点，在一次函数的图象上，．求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，解一元一次不等式．()设一次函数解析式为，然后用待定系数法求解；()根据函数的增减性列出关于的不等式求解；【详解】（1）解：设一次函数解析式为，把代入，得解得∴一次函数的表达式为；（2）∵，∴随的增大而增大，∵，∴，∴．【变式4-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知一次函数的图象经过点和．(1)求这个一次函数的解析式；(2)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标．【答案】(1)(2)x轴交点为，与y轴交点为【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出当时x的值，即可得该函数图象与x轴的交点坐标．求出当时y的值，即可得该函数图象与y轴的交点坐标．本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与两坐标轴的交点坐标．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．【详解】（1）解：和代入，得，解得，∴一次函数解析式为．（2）解：令，则，解得，∴与x轴交点为，令，则，∴与y轴交点为．【变式4-3】（25-26八年级上·江苏·期末）已知一次函数的图象经过点和．(1)求该一次函数的表达式；(2)判断点是否在该函数图象上；(3)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】(1)(2)在(3)【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，正确解方程组是解题关键．（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）把代入得出y的值，进而判断得出答案；（3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再运用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：将，代入，得，解得，所以该一次函数的表达式为；（2）解：当时，，所以点在该函数图象上；（3）解：对于直线，当时，；当时，，即，∴直线与轴交点为，与轴交点为，所以与坐标轴围成的三角形的面积为．类型五、两直线平移，求直线的表达式方法总结1.上下平移：y=kx+b向上平移m个单位得y=kx+b+m，向下平移m个单位得y=kx+b-m。2.左右平移：向左平移m个单位得y=k(x+m)+b，向右平移m个单位得y=k(x-m)+b。解题技巧1.左加右减x：左右平移只改变x，口诀“左加右减”是对x本身操作。2.上加下减常数：上下平移直接加减常数项b。例5．（24-25八年级上·北京·期末）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行．(1)求该一次函数的解析式；(2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由．【答案】(1)(2)点不在此函数图象上，理由见解析【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，一次函数图象的平移问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．（1）根据题意可得，再利用待定系数法求解即可；（2）求出时的函数值即可得到答案．【详解】（1）解：∵一次函数与直线平行，∴，∵一次函数的图象经过点，∴，即，∴，∴该一次函数解析式为；（2）解：点不在此函数图象上，理由如下：在中，当时，，∴点不在此函数图象上．【变式5-1】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点．(1)求一次函数的表达式；(2)若点为一次函数图象上一点，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一次函数的平移性质，一次函数的图象上点的坐标特征及一元一次方程的解法．（1）一次函数平移时，k不变，即函数的形式为，根据题意将点A代入，解方程可求得b的值，进而确定函数表达式；（2）点P在函数图象上，因此点P坐标满足函数表达式，将点P代入得到一个含m的一元一次方程，求解m的值即可．【详解】（1）解：根据一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，可知，将点代入，得，解得，∴一次函数的表达式为．（2）解：∵点在的图象上，∴，解得．【变式5-2】（24-25八年级下·河北沧州·月考）将正比例函数经过平移得到一次函数的图象，且一次函数经过点．(1)求一次函数的解析式；(2)若点在函数的图象上，求值．【答案】(1)一次函数的解析式为；(2)的值为．【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，求一次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键．（）由正比例函数经过平移得到一次函数的图象，则有，然后把点代入即可求解；（）把代入函数即可求解．【详解】（1）解：∵正比例函数经过平移得到一次函数的图象，∴，∵一次函数经过点，∴，解得：，∴一次函数的解析式为；（2）解：∵点在函数的图象上，∴，∴，∴的值为．【变式5-3】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线平行且经过点．(1)求与x之间的函数表达式；(2)当时，求函数值的最小值．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）由平行得到，然后将代入求解即可；（2）首先判断出随的增大而增大，然后将代入即可求出最小值．【详解】（1）解：直线与直线平行，，则，把点代入，得，解得．与之间的函数表达式为；（2）解：在一次函数中，，随的增大而增大，当时，的值最小，最小值为．类型六、两直线旋转，求直线的表达式方法总结1.定点旋转：绕直线上某点旋转，该点坐标不变，利用旋转角与斜率关系（如垂直k1×k1=-1）求新k。2.绕原点旋转：点(x,y)绕原点旋转θ角后用旋转变换公式求新坐标，再确定新直线方程。解题技巧1.抓旋转中心：中心点坐标在旋转前后不变，是列方程的关键。2.斜率转化：旋转90°时，新斜率与原斜率互为负倒数（原斜率不为0）。例6．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点，把直线绕点旋转，则直线旋转后的表达式为．【答案】【分析】本题主要考查旋转的性质，待定系数法求解析式的综合，掌握以上知识的综合运用，图形结合是解题的关键．根据直线与坐标轴有交点，分别计算出点的坐标，可求出的长，由题意可得绕点旋转得到．根据旋转的性质，分类讨论，顺时针旋转和逆时针旋转，分别求出点的坐标，再根据待定系数法求解析式即可求解．【详解】解：直线与轴交于点，与轴交于点，令，则，令，则，∴，，则，，∵直线AB绕点旋转，∴绕点旋转得到．①绕点顺时针旋转得，，如图所示，∴，，∴，，∴，设直线的解析式为，把代入得，，解得，，∴直线的解析式为；②绕点逆时针旋转得，，如图所示，∴，，∴，，∴，设直线的解析式为，把代入得，，解得，，∴直线的解析式为；综上所述，直线的解析式为．【变式6-1】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为．【答案】/【分析】设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，先求得点和点坐标，然后证明，得到，，从而得出点的坐标，然后利用待定系数法，求得和，最后算得旋转后的直线与轴的交点坐标．【详解】解：设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，如图所示：直线与坐标轴分别交于，两点，时，；时，；，，，，，，为等腰直角三角形，，，，，，，，，，，将，代入，得，，，时，，旋转后的直线与轴的交点坐标为．故答案为：．【变式6-2】（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．【答案】【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣3），求得OA＝，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的判定与性质证明△AOB≌△FEA得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝，求得F（，－），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．【详解】解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=，∴A（，0），B（0，﹣3），∴OA=，OB=3，过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E．则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°，∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°，∴∠OAB=∠AFE．又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°，∴∠AFB＝45°，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF∴△AOB≌△FEA（AAS）∴AE＝OB，EF＝OA，∴OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝，∴F（，－）．设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中，∴－＝k－3，∴k＝，∴直线BC的函数表达式为．【变式6-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象．【阅读理解】小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象．请你帮助小尧解决他的困难．（1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________．【解决问题】（2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式．【拓展探究】（3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得；（2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案；（3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可．【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后与x轴的交点为，将代入中，得，解得，所以平移后的函数表达式为，故答案为：；（2）解：在函数的图象上取两个点、，关于x轴对称的点的坐标、，设直线的解析式为，把代入，得，∴一次函数的表达式为；（3）解：如图，在直线上取两点，，一次函数的图象绕点逆时针方向旋转，点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、，过点作轴于，过点作轴于，过点作于，，，，由旋转可得，，，，，，，，，，，轴，四边形是矩形，，，，，同理可求得点，设直线解析式为，把、代入，得，解得：，∴旋转后得到函数解析式为：．故答案为：．一、单选题1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知y与x成正比例，当时，，那么函数的解析式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式．利用待定系数法解答，即可求解．【详解】解：根据题意，得，∴，∴函数解析式为．故选：C．2．（25-26八年级上·全国·期中）中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了点的坐标和用待定系数法求一次函数的解析式，掌握一次函数解析式的求法是解题的关键．根据棋子“帅”位于点的位置，求出“马”所在的点的坐标，由此解答即可．【详解】解：由题意，∵“帅”位于点，∴“马”，设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为，∴，∴．∴．故选：A．3．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知点，在同一条直线上，则这条直线的关系式可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求解解析式是解题的关键．设这条直线表达式为，代入点，，得到，即可求解，再对比选项求解即可．【详解】解：设这条直线表达式为，则两式相减得，∴只有D符合题意，故选：D．4．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）某个一次函数的图象与直线平行，并且经过点，则这个一次函数的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两直线平行时一次函数的k相等，用待定系数法设出解析式，代入已知点坐标求出参数即可得到结果．【详解】解：∵一次函数图象与直线平行，∴设该一次函数解析式为，∵函数经过点，∴将代入解析式得，解得，∴该一次函数解析式为．5．（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，直线与轴正半轴交于点，若，则直线的函数表达式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．根据已知条件得到，，求得，，过点作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为，解方程组即可得到结论．【详解】解：对于一次函数，令，得，令，则，∴，．∴，．如图，过点作交于，过作轴于，则，，是等腰直角三角形．．，，∵，．，．∴．设直线的函数表达式为，将，代入，得，解得，∴直线的函数表达式为．故选：B．二、填空题6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线经过点，且与直线平行，则的值为_____________．【答案】【分析】先利用两直线平行则相等来确定的值，再将已知点代入直线解析式，通过解方程求出的值．【详解】解：∵直线与直线平行，∴，所求直线的解析式为．又∵直线经过点，∴，解得．7．（25-26八年级下·全国·课后作业）直线关于x轴对称的直线的表达式为________________________；关于y轴对称的直线的表达式为________________________．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．利用点对称的性质，求对称直线表达式．【详解】解：直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为，代入原方程得，即；关于轴对称时，点的对称点为，代入原方程得，即．故答案为：；．8．（25-26八年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，过点和作一次函数的图像，再作与关于轴对称的一次函数的图像，则的函数表达式为________．【答案】【分析】本题主要考查求一次函数解析式，先求一次函数与轴交点的坐标，再求点关于轴对称的点的坐标，最后利用待定系数法求的解析式即可．【详解】解：令，即，解得，故点的坐标为；所以，点关于轴对称的点的坐标为，设过点和点的一次函数的解析式为，∴，解得所以，关于轴对称的函数的解析式为，故答案为：．9．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）已知直线与轴，轴分别交于点和点，点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数表达式为______．【答案】【分析】本题主要考查了待定系数法确定一次函数解析式、勾股定理、轴对称折叠的性质等知识点，根据勾股定理构建方程求解线段长是解题的关键．根据直线解析式得出，，，，利用勾股定理得出，根据折叠性质得出，，，设，利用勾股定理求出的值，得出，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式．【详解】解：∵直线与轴，轴分别交于点和点，∴当时，，当时，，∴，，，，∴，∵将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，∴，，∴，，设，则，在中，，即，解得：，∵点是上的一点，，∴，设直线的函数表达式为，∴，解得：，∴直线的函数表达式为．故答案为：10．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，两直线相交于点B．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，则直线的表达式为________．【答案】【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，连接，绕点A逆时针旋转得到，绕点A逆时针旋转得到，连接，所在直线即为，过点作轴，判定出，从而得出，，进而得出的坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可【详解】解：直线与y轴交于点A，令，，则，直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，令，，令，，则，，，直线绕点A逆时针旋转得到直线，如图，连接，绕点A逆时针旋转得到，绕点A逆时针旋转得到，连接，所在直线即为，过点作轴，则，轴，，，，，在与中，，，，，，，，轴，设直线的解析式为，，解得：，则直线的表达式为，故答案为：【点睛】本题考查了根据旋转的性质求解，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求解一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，准确作出辅助线，构造全等三角形为解题关键三、解答题11．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知一次函数的图象经过点．(1)求此一次函数的表达式；(2)判断点是否在该函数图象上，并说明理由．【答案】(1)(2)点在该函数图象上，理由见解析【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键．（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）将代入（1）中的函数解析式，得到的y值再与纵坐标2比较，即可求解．【详解】（1）解：将点代入解析式，得，解得，一次函数的解析式为．（2）解：当时，，点在该函数图象上．12．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知一次函数的图象经过点和．(1)求此一次函数的表达式；(2)若点向下移动3个单位后恰好落在直线上，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式以及点的平移与函数图象上点的坐标特征．（1）代入点和，解方程组求解析式；（2）先求点平移后的坐标，再代入函数解析式求解．【详解】（1）解：将点和代入，得，解得，∴一次函数的表达式为．（2）解：点向下平移3个单位后坐标为，∵该点在直线上，∴代入得，即，∴，∴．13．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）根据下列条件求函数表达式(1)已知一次函数的图象经过点，，求这个一次函数的表达式．(2)已知一次函数的图象过点，并且是由一次函数的图象平移得到的，求该一次函数的表达式．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了一次函数的表达式求解，涉及到待定系数法求一次函数表达式以及一次函数平移的性质．（1）利用待定系数法，设一次函数为，将点坐标代入一次函数解析式列出方程组求解即可；（2）由平移性质得斜率相同，则该一次函数表达式为，再代入点坐标求出的值即可解答．【详解】（1）解：设一次函数为，一次函数的图象经过点，，，解得，这个一次函数的表达式为；（2）一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，，则该一次函数表达式为，函数图象过点，，解得，该一次函数的表达式为．14．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知与成正比例，且时，．(1)求关于的函数关系式．(2)判断点是不是上述函数图象上的点，说明理由．【答案】(1)(2)点不是上述函数图象上的点，理由见解析【分析】本题主要考查了正比例函数的概念，求一次函数解析式，一次函数的性质．（1）设正比例函数的解析式为，再把时，代入求出k的值，即可得出y关于x的函数表达式；（2）把点代入函数解析式进行检验即可．【详解】（1）与成正比例，∴设正比例函数的解析式为，时，，解得，∴，∴；（2）点不是上述函数图象上的点，理由如下：由（1）知y与x的解析式为，∴当时，，∴点不是上述函数图象上的点．15．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上一点，将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处．(1)求点D的坐标；(2)求直线的函数表达式．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，折叠的性质，求一次函数解析式．（1）先求出，，得到，，根据勾股定理求出，根据折叠的性质得到，求出，即可求出点D的坐标；（2）根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，即，可知，根据待定系数法求解即可．【详解】（1）解：当时，，即；当时，解得：，即；∴，，∴，∵将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处，∴，∴，即；（2）解：∵将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处，∴，设，则，∴，解得：，则，即，设直线的函数表达式为，则，解得：，即．16．（25-26八年级上·浙江台州·月考）已知一次函数（k为常数，且）(1)若点在一次函数的图象上．①求k的值．②设，则当时，求P的最大值．(2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式．【答案】(1)①；②P的最大值为6；(2)一次函数解析式为或．【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征．（1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值；②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为所对应的函数值即可；（2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式．【详解】（1）解：①把代入得：，解得；②当时，，∴，∴y随x的增大而减小，∴当时，时，P的值最大，当时，，即P的最大值为6；（2）解：当时，，，∵，∴，解得，此时一次函数解析式为；当时，，，∵，∴，解得，此时一次函数解析式为；综上所述，一次函数解析式为或．17．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，．(1)求直线的函数表达式；(2)如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标；(3)点E是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．【答案】(1)直线的函数表达式为；(2)点D的坐标为；(3)点的坐标为或或或．【分析】（1）由待定系数法可求出答案；（2）根据三角形的面积可求出点的纵坐标，代入直线的解析式可得出答案；（3）分四种情况画出图形，由等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质可求出答案．【详解】（1）解：直线：分别与轴，轴交于两点，在中，当时，，点坐标为，点在轴正半轴上，，，设直线的解析式为，，，直线的函数表达式为；（2）解：直线：分别与轴，轴交于两点，在中，当时，，解得，，，，，，，由题意知，点在轴下方，，，，把代入，，解得，；（3）解：若点在轴的正半轴，如图，是以为底边的等腰直角三角形，，，直线的解析式为，时，，，，，；若点在轴的负半轴，如图，同理可得，，；若点在轴的负半轴，如图，过点作轴于点，是等腰直角三角形，，，，，，，，设，则，，解得，，，；若点在轴的正半轴，如图，过点作轴于点，同理可得，，，，，，综上所述，点的坐标为或或或．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，面积的计算等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质．18．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）（1）【知识结论】我们知道一次函数的图象可以由直线平移个单位得到．那么将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为：________；（2）【拓展探究】我们已学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经过图形变换后的函数表达式”的数学活动．①（平移变换）将图1中一次函数的图象沿着轴向左平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．小组探究发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在原图象上任取两点，，将这两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，其坐标分别为（________），（________），从而求出直线对应的函数表达式为：______________________________；②（轴对称变换）将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：________________；（3）【学以致用】将一次函数的图象沿轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数图象对应的函数为．由和的图象组成的函数图象对应的函数为．当时，，则的取值范围为________．

【答案】（1）；（2）①，，；②；（3）【分析】此题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，平移、对称的性质，熟练掌握相关知识是解本题的关键．（1）根据平移的规律求解即可；（2）①根据坐标的平移规律求出，的坐标，进而根据待定系数法求解即可；②同①在一次函数的图象上任取两点，，求出关于轴对称的点，进而根据待定系数法求解即可；（3）同（2）方法求出，可知，分三种情况求出的值，可知，，求出在的取值范围，进而可知中的取值范围，进而可知的范围．【详解】解：（1）将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为，故答案为：；（2）①，两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，设直线的解析式为，将点，代入得，解得，直线对应的函数表达式为，故答案为：，，；②在一次函数的图象上任取两点，，则，两点关于轴的对称点为，，设直线的解析式为，将，代入得，解得，直线的解析式为，即一次函数的图象关于轴对称的函数表达式为，故答案为：；（3），函数与轴交点为，与轴交于点．这两点关于轴对称的对称点坐标分别为，．将其向左平移个单位，再向上平移个单位得到对应点的坐标分别为，函数的解析式为．，当时，，随的增大而减小．当时，，当时，代入，得到，，，矛盾，不合题意，舍去；当，即时，，随的增大而增大，当时，，，，不合题意，舍去；当，即时，由图象知函数最小值为．，，，，，当时，，当时，，当时，，则，当时，，则，，．

综合训练一、选择题1.下列各图象分别给出了x与y的对应关系,其中y是x的函数的是()2.下列函数:①y=x6;②y=-4x;③y=3-12x;④y=3x2-2;⑤y=x2-(x-3)(x+2);⑥y=6x.A.5个 B.4个 C.3个 D.2个3.某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时(最低工资)的收入是()A.3100元 B.3000元C.2900元 D.2800元4.下列关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是()A.该函数图象经过第二、第一、第四象限 B.y随x的增大而减小C.该函数图象与y轴交于点(0,b) D.当x>-bk时,y>5.一次函数y=kx+b(k≠0,b为常数)的部分对应值如下表:x…012…y…12a2a+3…则该一次函数的解析式为()A.y=x+1 B.y=2x+1 C.y=3x+1 D.y=4x+16.如图,已知点A的坐标为(2,2),点B的坐标为(0,-1),点C在直线y=-x上运动,当CA+CB最小时,点C的坐标为()A.25,-25 BC.-25,25 7.已知一次函数y=32x+m和y=-12x+n的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积等于(A.2 B.3 C.4 D.68.已知小强家、体育场、文具店在同一直线上,右面的图象反映的过程是:小强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示小强离家的距离,则下列结论不正确的是()A.小强从家到体育场用了15min B.体育场离文具店1.5kmC.小强在文具店停留了20min D.小强从文具店回家用了35min二、填空题9.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图象与y轴交点的坐标为.

10.设正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m=.

11.请写出符合以下两个条件的一个函数解析式.

①过点(-2,1),②在第二象限内,y随x的增大而增大.12.已知直线l1,l2的解析式分别为y1=ax+b,y2=mx+n(0<m<a),根据图中的图象填空:(1)方程组y=ax+(2)当-1≤x≤2时,y2的范围是;

(3)当-3≤y1≤3时,自变量x的取值范围是.

三、解答题13.我们知道,海拔高度每上升1km,温度下降约6℃.某时刻,益阳地面温度为20℃,设高出地面xkm处的温度为y℃.(1)写出y与x之间的函数解析式.(2)已知益阳碧云峰高出地面约500m,求这时山顶的温度大约是多少摄氏度?(3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃,求飞机离地面的高度约为多少千米?14.已知一次函数y=kx-4,当x=2时,y=-3.(1)求一次函数的解析式;(2)将该函数的图象向上平移6个单位长度,求平移后的图象与x轴交点的坐标.15.在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x(单位:h)时,汽车与甲地的距离为y(单位:km),y与x的函数关系如图.根据图象信息,解答下列问题:(