专题15 一次函数的图象和性质的九类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

1/10专题15一次函数的图象和性质的九类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、利用一次函数的定义求参数类型二、一次函数的图象和性质类型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限类型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围类型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小类型六、根据一次函数的增减性求参数类型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题类型八、画一次函数的图象类型九、一次函数的平移问题压轴专练类型一、利用一次函数的定义求参数方法总结1.定义条件：一次函数必须满足y=kx+b(k≠0)，且x次数为1，是整式形式.2.列式求解：根据x指数为1、系数k≠0，列出关于参数的方程与不等式求解.解题技巧1.系数非零：确保k（x的系数）不为0，此为易忽略条件.2.化简先行：若函数式含括号、分母，先化为标准形式y=kx+b再判断例1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）若函数是一次函数，则m的值为（

）A． B．1 C． D．任意实数【变式1-1】（25-26八年级下·北京·开学考试）若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（

）A． B． C． D．【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（

）A．1或 B．1或 C．或 D．1或或【变式1-3】（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值是（）A． B．3 C． D．9类型二、一次函数的图象和性质方法总结1.图象特征：一次函数y=kx+b图象是一条直线，k决定倾斜方向（k>0上升，k<0下降），b决定与\(y\)轴交点(0,b).2.性质应用：|k|越大直线越陡；两直线平行则k相等；b相等则交于y轴同点.解题技巧1.画草图：根据k、b正负快速画出直线位置（过哪几个象限）.2.待定系数法：已知两点或一点加k可确定解析式.例2．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）对于一次函数，下列结论错误的是（）A．函数图象与x轴交点坐标是B．当x增加1时，y增加1C．函数图象不经过第四象限D．函数值y随自变量x的增大而增大【变式2-1】（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知一次函数，下列说法错误的是（

）A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴的交点坐标为C．y随x增大而减小 D．该图象可以由向上平移4个单位得到【变式2-2】（25-26九年级下·湖南长沙·开学考试）下列有关一次函数的说法中，正确的是（

）A．的值随着值的增大而减小B．函数图象与轴的交点坐标为C．当时，D．函数图象经过第一、二、四象限【变式2-3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列有关一次函数的说法：①函数图象与y轴的交点为；②当时，y的值随着x增大而增大；③当时，函数图象经过第二、三、四象限．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③类型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限方法总结1.k、b定象限：k>0过一、三象限；k<0过二、四象限；b>0过y轴正半轴；b<0过y轴负半轴.2.组合判断：将k、b正负结合，确定直线具体过哪三个象限（b=0时过原点）.解题技巧1.画线辅助：先画y=kx的倾斜方向，再根据b上下平移，直观判断象限.2.特例记忆：k>0,b>0过一二三；k>0,b<0过一三四；k<0,b>0过一二四；k<0,b<0过二三四.例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象不经过第象限．【变式3-1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）已知一次函数，且随着的增大而减小，则它的图象不经过第象限.【变式3-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知一次函数经过第一、二、四象限，则一定不经过第象限．【变式3-3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如果方程组无解，那么直线不经过第象限．类型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围方法总结1.象限定号：根据直线经过的象限，反推出k与b的符号要求（如过一二四象限则k<0,b>0）.2.列不等式：将k与b用参数表示，根据符号要求列出关于参数的不等式组求解.解题技巧1.画线助判：画出可能经过给定象限的直线草图，确定k、b正负.2.等号排除：象限不含坐标轴，故k≠0、b≠0等号需单独处理.例4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）直线不经过第四象限，则k的取值范围为．【变式4-1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是．【变式4-2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是．【变式4-3】（25-26八年级上·安徽·月考）直线恒过一定点．（1）则该定点的坐标是．（2）平面直角坐标系中有两点，，若该直线与线段没有交点，则的取值范围是．类型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小方法总结1.由k定增减：k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小.2.比较自变量：比较对应x的大小，结合增减性判断y的大小关系.解题技巧1.抓k符号：先确定k正负，明确增减性方向.2.代值检验：若有疑虑，代入两个具体x值计算y值验证大小关系.例5．（25-26八年级上·四川成都·期末）若点，在一次函数的图象上，则．（填“”、“”或“”）．【变式5-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则．（填“”、“”或“”）【变式5-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知点、在一次函数（k为常数）的图象上，则（填“>”“<”或“=”）．【变式5-3】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是．（填“”，“”或“”）类型六、根据一次函数的增减性求参数方法总结1.增减性条件：y随x增大而增大⟹k>0；y随x增大而减小⟹k<0.2.列不等式：用参数表示k，根据增减性要求列出关于参数的不等式求解.解题技巧1.系数对应：先将函数化为y=kx+b形式，准确找出k的表达式.2.边界检验：解出范围后检查k是否可能为0（此时为常函数，不满足增减性）.例6．（25-26八年级上·全国·期末）若一次函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是．【变式6-1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知点，在一次函数的图象上，若，则实数m的值可以是（写一个符合条件的值即可）．【变式6-2】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知点，在直线（m为常数）上，当时，有，则m的值可以是．（写出一个即可）【变式6-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知函数（m为常数），当时，y的最大值为6，则m的值为．类型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题方法总结1.与y轴交点：令x=0，得y=b，交点(0,b).2.与x轴交点：令y=0，解kx+b=0，得x=-bk（k≠0，交点(-bk,0)解题技巧1.先求y轴交点：b直接给出，快速定位.2.注意k≠0：求x轴交点前，先确认k≠0，否则与x轴平行或重合.例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）直线与轴、轴的交点坐标分别为，，图象不经过第象限．【变式7-1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，连接，则的长为．【变式7-2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为．【变式7-3】（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）如图，直线与轴、轴分别交于点，，点是直线上的一个动点，在平面直角坐标系中，点是轴上的一个点，则线段的最小值为．类型八、画一次函数的图象方法总结1.两点定线：一次函数图象是直线，选取两个特殊点（通常是与坐标轴的交点）画出直线.2.列表描点：列出几组x、y对应值，在坐标系中描点，再连线.解题技巧1.选点技巧：优先取(0,b)和(-bk,0)，计算简便且能体现截距2.连线延伸：两点确定直线后，向两端适当延伸，并标出函数解析式.例8．（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数．(1)在如图的平面直角坐标系中，画出函数的图象；(2)直接写出直线与轴、轴的交点，的坐标；(3)求的面积．【变式8-1】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题：(1)画出一次函数的图像；(2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________；(3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________．【变式8-2】（25-26七年级上·山东泰安·期末）已知直线的表达式为，点，分别在轴、轴上．(1)求出点，的坐标，并在所给图中画出直线的图象；(2)将直线向上平移个单位得到直线，点，分别在轴、轴上．求出点，的坐标及直线的表达式，并在所给图中画出直线的图象；(3)若点到轴的距离为，且在直线上，求的面积．【变式8-3】（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知一次函数．(1)画出函数图象，观察图象，当时，的取值范围是__________；(2)平移上述函数的图象后经过点，求平移后的函数表达式；(3)一次函数与、轴分别交于、两点，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围是__________．类型九、一次函数的平移问题1.

上下平移：只改变常数项b-向上平移n个单位，解析式变为

y=kx+(b+n)

-向下平移n个单位，解析式变为

y=kx+(b-n)

2.

左右平移：要在x的后面进行加减-向左平移n个单位，解析式变为

y=k(x+n)+b

-向右平移n个单位，解析式变为

y=k(x-n)+b

例9．（24-25八年级下·河南商丘·期末）（1）点向下平移2个单位后的坐标是______；（2）直线向右平移2个单位后的解析式是_______；（3）已知直线交y轴于点A，交x轴于B，将直线沿x轴翻折，求翻折后的直线的解析式．【变式9-1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）（1）【源于课本】将一次函数的图象沿着轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：_____；（2）【深入探究】①（平移探究）将图中一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着轴向右平移3个单位长度，得到点的坐标，从而求出直线对应的函数表达式为：_____；②（轴对称探究）将图中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：_____；【变式9-2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动．(1)请你完成探究活动中的相关问题．①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________；②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象；③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到．(2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到；(3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到．(4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹）【变式9-3】（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即．定义理解(1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点）(2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值；(3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．一、单选题1．（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（

）A． B．C． D．2．（25-26八年级上·四川成都·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（

）A．图象过点B．其图象可由的图象向下平移3个单位长度得到C．随着的增大而增大D．图象经过第一、二、四象限3．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）已知点和点在函数的图象上，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．4．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数表达式分别为，，则下列关于与的说法正确的是（

）A． B． C． D．5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B．C． D．6．（25-26八年级上·福建宁德·月考）小明在探究直线l：的性质时，得到如下结论：①直线l必经过点；②直线l的图像经过一、三、四象限；③若点，在直线l上，，则；④点O到直线l的距离的最大值为5．则以上结论正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空题7．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知函数是一次函数，则a的值是________．8．（25-26八年级下·重庆·月考）已知点，都在直线上，则___________（填“>”或“=”或“<”）9．（25-26八年级下·重庆·开学考试）已知一次函数，当时，的最大值为，则的值为______．10．（2026八年级下·广东深圳·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标是，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标是，则点的坐标是__________．∵是等边三角形，的坐标是，，∴，∴，∴的坐标是，设直线的解析式为，把代入得：，∴直线的解析式为，∴的坐标为，∴点向右平移个单位，向上平移个单位得到，∴的坐标为．11．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，…，使点在一次函数图象上，点在轴正半轴上，则点的坐标是_______．12．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为．（1）直线的解析式是________；（2）点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________．三、解答题13．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知与成正比例，当时，．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若点在该函数图象上，求m的值．14．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点．(1)求直线的表达式；(2)求的面积；(3)点是直线上的一个动点，且，求点的坐标．15．（山东省烟台市经开区2024—2025学年上学期七年级期末数学试卷（五四学制））在平面直角坐标系中，一次函数与的图象平行，且经过点．(1)求一次函数的表达式；(2)求出函数的图象与轴、轴的交点和的坐标，并画出函数图象；(3)点在轴上，并且使得的值最小，请在图中标出点的位置，并写出最小值．16．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知正比例函数的图象经过点．(1)求这个函数表达式；(2)判断点是否在这个函数图象上；(3)图象上的两点，如果，比较与的大小．17．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数．(1)若过点，且点、均在它的图像上，求；(2)①若点、在的图像上，求；②若点、也在的图像上，则是定值吗？若不是，直接写“不是”，若是，求出结果．(3)点均在一次函数的图像上，则_________．18．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴、轴分别交于点、．(1)；(2)求点的坐标；(3)若点在轴上，则在直线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．19．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴和轴的正半轴上，且满足：．点为边上一点，连接．过点作于点，点在线段上，，连接交于点．(1)直接写出的形状；(2)若点的坐标为，求点的坐标；(3)①求证：；②的面积_____．（用含的代数式表示．）20．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，将一次函数（，为常数，）图象位于直线l下方的部分沿直线l向上翻折，与原来在直线l上及上方图象组合，得到一个新的图象，这种变换称为“对称变换”，记作：，这种新的图象对应的函数叫做“形函数”，例如，如图1就是函数经过得到的“形函数”的图象．问题一：认识“形函数”（1）填空：在图1的“形函数”中，当函数值时，的值为______；（2）已知：直线①如表是直线经过得到的“形函数”与的几组对应值．…0………直接写出表格中的值是______；②在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；问题二：结合函数图象，解决问题：③当时，“形函数”值的取值范围是______；问题三：反思延申④已知点，点，如果将直线经过得到的“形函数”的图象向右平移个单位，当“形函数”图象与线段有交点时，请直接写出的取值范围．综合训练一、选择题1.下列各图象分别给出了x与y的对应关系,其中y是x的函数的是()2.下列函数:①y=x6;②y=-4x;③y=3-12x;④y=3x2-2;⑤y=x2-(x-3)(x+2);⑥y=6x.A.5个 B.4个 C.3个 D.2个3.某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时(最低工资)的收入是()A.3100元 B.3000元C.2900元 D.2800元4.下列关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是()A.该函数图象经过第二、第一、第四象限 B.y随x的增大而减小C.该函数图象与y轴交于点(0,b) D.当x>-bk时,y>5.一次函数y=kx+b(k≠0,b为常数)的部分对应值如下表:x…012…y…12a2a+3…则该一次函数的解析式为()A.y=x+1 B.y=2x+1 C.y=3x+1 D.y=4x+16.如图,已知点A的坐标为(2,2),点B的坐标为(0,-1),点C在直线y=-x上运动,当CA+CB最小时,点C的坐标为()A.25,-25 BC.-25,25 7.已知一次函数y=32x+m和y=-12x+n的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积等于(A.2 B.3 C.4 D.68.已知小强家、体育场、文具店在同一直线上,右面的图象反映的过程是:小强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示小强离家的距离,则下列结论不正确的是()A.小强从家到体育场用了15min B.体育场离文具店1.5kmC.小强在文具店停留了20min D.小强从文具店回家用了35min二、填空题9.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图象与y轴交点的坐标为.

10.设正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m=.

11.请写出符合以下两个条件的一个函数解析式.

①过点(-2,1),②在第二象限内,y随x的增大而增大.12.已知直线l1,l2的解析式分别为y1=ax+b,y2=mx+n(0<m<a),根据图中的图象填空:(1)方程组y=ax+(2)当-1≤x≤2时,y2的范围是;

(3)当-3≤y1≤3时,自变量x的取值范围是.

三、解答题13.我们知道,海拔高度每上升1km,温度下降约6℃.某时刻,益阳地面温度为20℃,设高出地面xkm处的温度为y℃.(1)写出y与x之间的函数解析式.(2)已知益阳碧云峰高出地面约500m,求这时山顶的温度大约是多少摄氏度?(3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃,求飞机离地面的高度约为多少千米?14.已知一次函数y=kx-4,当x=2时,y=-3.(1)求一次函数的解析式;(2)将该函数的图象向上平移6个单位长度,求平移后的图象与x轴交点的坐标.15.在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x(单位:h)时,汽车与甲地的距离为y(单位:km),y与x的函数关系如图.根据图象信息,解答下列问题:(1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说明理由.(2)求返程中y与x之间的函数解析式.(3)求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.16.如图,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于点B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=13.(1)求点B的坐标;(2)若△ABC的面积为4,求直线l2的解析式.17.某镇组织20辆汽车装运完A,B,C三种脐橙共100吨到外地销售.按计划,20辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满.根据下表提供的信息,解答以下问题.脐橙品种ABC每辆汽车运载量/吨654每吨脐橙获利/百元121610(1)设装运A种脐橙的车为x辆,装运B种脐橙的车为y辆,求y与x之间的函数解析式.(2)如果装运每种脐橙的车都不少于4辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案.(3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?并求出最大利润的值.综合训练一、选择题1.A确定函数的标准为“如果给出了一个x值,相应地就确定了一个y值”,选项B,C,D的图形中,对于x的一个值,y都有多个值与之对应,不符合函数的定义.2.C3.B4.D5.C根据题意得b=1,k+b=2a,6.A连接AB交直线y=-x于点C,此时CA+CB最小.设点A,B所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0).将A(2,2),B(0,-1)代入y=kx+b,得2k+∴点A,B所在直线的解析式为y=32x-1联立两直线解析式,得y=-∴当CA+CB最小时,点C的坐标为257.C8.B解析对于A,小强从家到体育场用了15min,故A选项正确;对于B,体育场离文具店2.5-1.5=1(km),故B选项错误;对于C,小强在文具店停留了65-45=20(min),故C选项正确;对于D,小