专题19 用一次函数解决实际问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

1/10专题19用一次函数解决实际问题的四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、用一次函数解决最大利润问题类型二、用一次函数解决分配方案问题类型三、用一次函数解决梯度计费问题类型四、用一次函数解决行程问题压轴专练类型一、用一次函数解决最大利润问题方法总结1.建模列式：设自变量为产量或销量，根据成本、售价等条件建立利润与自变量的函数关系y=kx+b。2.求最值：根据实际问题中自变量的取值范围（如x≥0、x为整数），结合一次函数的增减性确定最大利润点。解题技巧1.增减性定最值：k>0时，x越大利润越大；k<0时，x越小利润越大。2.关注边界：最值通常在自变量取值范围的端点处取得，需计算并比较各端点利润。例1．（2026·河南·一模）河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示．(1)求的值；(2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？【变式1-1】（2026·山西临汾·一模）山西运城十大特产之一万荣苹果酸甜可口，芳香味浓．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售万荣出产的甲、乙两种苹果，已知3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为360元，5箱甲种苹果和4箱乙种苹果的售价之和为640元．(1)分别求甲、乙两种苹果每箱的售价．(2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数的2倍，问该公司购买这些苹果至少需花费多少元?【变式1-2】（2026七年级下·全国·专题练习）M县开展“健身促发展，运动强体魄”的体育健身活动，M县的体育器材公司计划购进A，B两种型号的跳绳．根据市场调查：购进2根A型跳绳和3根B型跳绳共需要115元；购进5根A型跳绳和2根B型跳绳共需要150元．(1)求A，B两种型号的跳绳单价分别是多少元？(2)该体育器材公司购进A型跳绳600根，B型跳绳400根，并将这些跳绳全部运往甲、乙两校，甲校共需要跳绳480根，乙校共需要跳绳520根．已知每根A型跳绳运往甲、乙两校的运费分别为1元和元；每根B型跳绳运往甲、乙两校的运费分别为元和元．求该体育器材公司在此项目投入的总费用（购跳绳的总费用总运费）最少是多少元？【变式1-3】（2026九年级下·广东深圳·专题练习）根据如表所示素材，探索完成任务．深圳华强北电子配件采购方案素材一为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同；采购批次A数量（件）B数量（件）采购总费用（元）第一次30403800第二次40303200素材二售价A：30元/件；B：100元/件．素材三计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍．问题解决(1)任务一：求A、B充电器每件进价．(2)任务二：求获利最大的进货方案及最大利润．类型二、用一次函数解决分配方案问题方法总结1.建模列式：设分配量为自变量，根据资源限制、需求等条件建立一次函数关系（如总费用、总利润）。2.方案寻优：在自变量取值范围内（常为整数），结合一次函数的增减性，确定使目标函数最优的分配方案。解题技巧1.列表枚举：当自变量范围较小且为整数时，可列表枚举各方案值，直接比较。2.边界优先：最值通常在自变量取值范围的端点处取得，优先计算端点值比较。例2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）某校举行八年级英语演讲比赛，需购买，两种笔记本作为奖品．若购买9本笔记本和6本笔记本，则一共需要元；若购买8本笔记本和本笔记本，则一共需要元．(1)求，两种笔记本每本的价格分别是多少元？(2)若该校计划购买两种笔记本共本，并且购买笔记本的数量至少比笔记本的数量多6本，但又不超过笔记本数量的2倍．则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少费用是多少元？【变式2-1】（25-26八年级下·全国·周测）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格．(2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？【变式2-2】（25-26九年级上·云南昆明·期末）请你根据下列素材，完成有关任务．背景囊括上百种特色美食的昆一西食堂，为丰富菜品，计划采购甲、乙两种食材．素材一购买千克甲食材和千克乙食材共需元，购买千克甲食材和千克乙食材共需元．素材二食堂准备采购这两种食材共千克，乙食材的数量不少于甲食材数量的，且总花费不超过元．请完成下列任务：任务一甲、乙两种食材每千克的价格分别是多少元？任务二给出最节省费用的采购方案．【变式2-3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）综合与实践主题：借助函数分析解决生活中的决策问题某商家每天需要寄出多个包裹．有三家快递公司给出了收费方案：公司方案A公司首重费用15元（1千克以内），超出部分按每千克5元计费．B公司无首重，统一按每千克7元计费．C公司每月交18元会员费后，每千克收1元（无首重）．(1)在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象；(2)分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？(3)C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益．若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？类型三、用一次函数解决梯度计费问题方法总结1.分段函数：根据计费标准（如用水、用电量不同区间单价不同），建立分段一次函数模型。2.分类计算：确定自变量所在区间，选用对应区间内的函数表达式进行计算。解题技巧1.区间判断：先判断自变量的值属于哪个计费区间，再代入对应解析式。2.边界检验：若自变量恰好在分段点，需确认按哪个区间计费（通常按就高或题给规定）。例3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表：行驶里程357车费（元）111723设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数．(1)________，________；(2)求与之间的函数表达式；(3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费．【变式3-1】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准：计费档户年用电量单价/[元]第一档0.53第二档0.58第三档0.83(1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式；(2)某户年用电量是，求该户这一年的电费；(3)某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量．【变式3-2】（25-26八年级上·江西赣州·月考）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费，计费方式为超出部分按新档位单价计算．下表是家庭人口不超过5人时户年用水量及分档计费标准：计费档户年用水量单价/（元/）第一档3.5第二档4.8第三档5.8(1)当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式；(2)某户一年用水量是220，求该户这一年的水费；(3)某户去年一年的水费是1238元，求该户去年一年的用水量．【变式3-3】（25-26八年级上·山西运城·期中）某省居民生活用电阶梯式收费探索卡素材1能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式．素材2居民生活用电阶梯式价格计费方式如下：第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度．第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度．第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度．问题解决任务1已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式．任务2已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费．任务3某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量．类型四、用一次函数解决行程问题方法总结1.建立模型：设时间为自变量，根据速度、路程关系，建立路程与时间的函数关系（如s=vt+s0）。2.数形结合：画出s-t图象，利用交点、斜率（速度）分析相遇、追及等问题。解题技巧1.图象辅助：在坐标系中画出各运动物体的s-t图，交点即相遇点。2.单位统一：确保速度、时间、路程单位一致，避免计算错误。例4．（25-26八年级下·全国·课后作业），两地相距，甲车在地，乙车在地，两车同时出发，相向而行，在地相遇．为节约费用（两车相遇并换货后，均需按原路返回出发地），两车换货后，乙车因故障原地检修，甲车按原路返回地．设两车在行驶过程中速度保持不变，两车间的距离（单位：）与时间（单位：h）的函数关系如图所示．根据题中提供的信息，解答下列问题：(1)求甲、乙两车的速度．(2)描述一下从开始出发到5h这段时间内乙车的运动状态．【变式4-1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题：(1)点表示的实际意义是什么？(2)求的函数表达式；(3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围．【变式4-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）钱塘绿道是集生态、运动、休闲、文化、便民等多功能于一体的复合型城市生态廊道．甲、乙在一段绿道上进行运动，两人同时同地出发，甲全程匀速骑行，乙先匀速跑步再选择匀速骑行，最后同时到达终点．已知甲、乙的运动路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图所示．(1)求乙匀速骑行时，关于的函数解析式．(2)当两人相距1千米时，求运动时间的值．【变式4-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）甲、乙两车同时从地出发，直行前往地，如图，折线与线段分别表示甲、乙两车的行程（单位：）与时间（单位：）的函数关系．(1)乙车的速度为______；(2)分别求线段，C对应的函数表达式；(3)当取何值时，甲、乙两车相距？一、单选题1．（25-26八年级上·河北保定·期末）在一条笔直的公路上，A，B两地相距，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（

）A．甲车的速度为 B．乙车的速度为C． D．当乙车达到A地时，甲车离A地的距离为2．（25-26八年级下·全国·课后作业）随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（

）A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元3．（25-26八年级上·广西百色·期中）生物课上，生物老师让同学们观察一植物生长，爱思考的小聪发现植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（是线段，射线平行于x轴）．下列说法错误的是（

）A．从开始观察时起，50天后该植物停止长高B．当时，y与x的函数表达式为C．观察第40天，该植物的高度为14厘米D．该植物最高为15厘米二、填空题4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明的爸爸用50万元购进一辆出租车（含经营权），在投入营运后，每一年的总收入为18.5万元，而各种费用的总支出为6万元，则可预测该出租车在营运________年后开始盈利．5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度．6．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）现有两种品牌的共享电动车，上面图象反映了收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应品牌的收费方式对应，当两种品牌共享电动车收费相差4元时，x的值是________．三、解答题7．（25-26八年级下·全国·课后作业）大山开车从A地出发前往B地，同时小李从B地出发前往A地，出发一段时间后，小李将车速提高为原来的2倍，如图，图象分别表示两人与A地的距离和行驶时间之间的函数关系．(1)求小李提速后与A地的距离和行驶时间之间的函数表达式；(2)何时大山与B地的距离大于小李与B地的距离？8．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少．9．（25-26八年级上·安徽六安·期末）为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍．(1)求、两种道具包的单价；(2)在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答）10．（25-26九年级下·河南周口·月考）某健身房推出蛋白能量包和碳水补给包两种食物套餐．套餐中的蛋白粉、燕麦片和水果的质量如下表（不完整）：食物套餐蛋白粉/燕麦片/水果/蛋白能量包碳水补给包调研发现：份蛋白能量包中燕麦片与蛋白粉的总质量比份碳水补给包中燕麦片与蛋白粉的总质量多克，且份蛋白能量包和份碳水补给包中燕麦片的总质量为．(1)求每份蛋白能量包和碳水补给包中的燕麦片质量；(2)小凯为自己预订了连续天的运动补给套餐（每天只订一种套餐），为了保证训练需求，要求水果的总质量不高于．小凯应怎样选择这两款套餐，才能使这天的套餐中燕麦片的总质量最少？11．（2026年浙江省宁波外国语等名校共同体中考数学模拟（3月））某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2．(1)求乙班返回时的速度．(2)求的函数表达式．(3)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，的值．12．（25-26八年级上·河南郑州·期末）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准：计费档户年用气量单价/（元）第一档2.73第二档3.28第三档3.82(1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式；(2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费；(3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量．13．（2026·湖北十堰·一模）请你根据下列素材，完成有关任务．背景某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．素材一买一个气排球元，买个篮球和一个足球价钱为元，购买个篮球的价格比购买一个足球多花费元．素材二该校要购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍．素材三根据学生兴趣需要，篮球不多于个，总花费不超过元．请完成下列任务：(1)求出篮球和足球的单价．(2)求购买篮球，足球，气排球共花费（元）与购买篮球（个）的函数关系式．(3)制定花费最少的购买方案．14．（25-26八年级上·河南郑州·期中）为响应“节能”“环保”“减排”号召，张明家购买了一台电动汽车，需要申请加装电表，有两种电表可供选择：一种是普通电表，一种是峰谷分时计费电表．该市居民用电的收费标准（注：峰段8：00～22：00，谷段：22：00～次日8：00）：计费档户年用电量普通电价/[元/]峰谷电价/[元/]峰段电价谷段电价第一档0.530.560.28第二档0.580.610.33第三档0.830.860.58(1)张明的朋友李斌家去年总用电量为，峰段用电量为，哪种计费方式电费较少？为什么？(2)截至今年9月底，李斌家的用电量已经超过，已知李斌家10月共用电，峰段用电量为（单位：），写出峰谷计费方式的电费（单位：元）与之间的关系式？并计算李斌家10月峰段用电量为多少时，两种计费方式相同？(3)张明通过调查发现：安装哪种电表，取决于峰段用电量占总用电量的比值，比值越大，越适合安装普通电表，否则，安装峰谷计费电表．若张明家年用电量为，峰段用电量与总用电量的比值为．请你直接写出张明安装电表的方案．综合训练一、选择题1.下列各图象分别给出了x与y的对应关系,其中y是x的函数的是()2.下列函数:①y=x6;②y=-4x;③y=3-12x;④y=3x2-2;⑤y=x2-(x-3)(x+2);⑥y=6x.A.5个 B.4个 C.3个 D.2个3.某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时(最低工资)的收入是()A.3100元 B.3000元C.2900元 D.2800元4.下列关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是()A.该函数图象经过第二、第一、第四象限 B.y随x的增大而减小C.该函数图象与y轴交于点(0,b) D.当x>-bk时,y>5.一次函数y=kx+b(k≠0,b为常数)的部分对应值如下表:x…012…y…12a2a+3…则该一次函数的解析式为()A.y=x+1 B.y=2x+1 C.y=3x+1 D.y=4x+16.如图,已知点A的坐标为(2,2),点B的坐标为(0,-1),点C在直线y=-x上运动,当CA+CB最小时,点C的坐标为()A.25,-25 BC.-25,25 7.已知一次函数y=32x+m和y=-12x+n的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积等于(A.2 B.3 C.4 D.68.已知小强家、体育场、文具店在同一直线上,右面的图象反映的过程是:小强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示小强离家的距离,则下列结论不正确的是()A.小强从家到体育场用了15min B.体育场离文具店1.5kmC.小强在文具店停留了20min D.小强从文具店回家用了35min二、填空题9.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图象与y轴交点的坐标为.

10.设正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m=.

11.请写出符合以下两个条件的一个函数解析式.

①过点(-2,1),②在第二象限内,y随x的增大而增大.12.已知直线l1,l2的解析式分别为y1=ax+b,y2=mx+n(0<m<a),根据图中的图象填空:(1)方程组y=ax+(2)当-1≤x≤2时,y2的范围是;

(3)当-3≤y1≤3时,自变量x的取值范围是.

三、解答题13.我们知道,海拔高度每上升1km,温度下降约6℃.某时刻,益阳地面温度为20℃,设高出地面xkm处的温度为y℃.(1)写出y与x之间的函数解析式.(2)已知益阳碧云峰高出地面约500m,求这时山顶的温度大约是多少摄氏度?(3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃,求飞机离地面的高度约为多少千米?14.已知一次函数y=kx-4,当x=2时,y=-3.(1)求一次函数的解析式;(2)将该函数的图象向上平移6个单位长度,求平移后的图象与x轴交点的坐标.15.在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x(单位:h)时,汽车与甲地的距离为y(单位:km),y与x的函数关系如图.根据图象信息,解答下列问题:(1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说明理由.(2)求返程中y与x之间的函数解析式.(3)求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.16.如图,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于点B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=13.(1)求点B的坐标;(2)若△ABC的面积为4,求直线l2的解析式.17.某镇组织20辆汽车装运完A,B,C三种脐橙共100吨到外地销售.按计划,20辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满.根据下表提供的信息,解答以下问题.脐橙品种ABC每辆汽车运载量/吨654每吨脐橙获利/百元121610(1)设装运A种脐橙的车为x辆,装运B种脐橙的车为y辆,求y与x之间的函数解析式.(2)如果装运每种脐橙的车都不少于4辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案.(3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?并求出最大利润的值.综合训练一、选择题1.A确定函数的标准为“如果给出了一个x值,相应地就确定了一个y值”,选项B,C,D的图形中,对于x的一个值,y都有多个值与之对应,不符合函数的定义.2.C3.B4.D5.C根据题意得b=1,k+b=2a,6.A连接AB交直线y=-x于点C,此时CA+CB最小.设点A,B所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0).将A(2,2),B(0,-1)代入y=kx+b,得2k+∴点A,B所在直线的解析式为y=32x-1联立两直线解析式,得y=-∴当CA+CB最小时,点C的坐标为257.C8.B解析对于A,小强从家到体育场用了15min,故A选项正确;对于B,体育场离文具店2.5-1.5=1(km),故B选项错误;对于C,小强在文具店停留了65-45=20(min),故C选项正确;对于D,小强从文具店回家用了100-65=35(m