2027年高考数学一轮复习资料 专题05 一元函数的导数及其应用

专题 一元函数的导数及其应理·盘·破·辨·【易混易错【易混易错点·

f(x)x0f′(x0)y＝f(x)P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是s(t)t的导数)y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 2s末的瞬时速度为（A．8 C．6 D．5【解析lim

22t22t24

t0

t

tf(x)＝c(c为常数f(x)＝sinf(x)＝cosf(x)＝ax(a>0f′(x)＝xlnf(x)＝lnx

yf(u和ug(x，如果通过中间变量uy可以表示xyf(u和ug(xyf(g(x))．yf(g(xyf(u，ug(x的导数间的yx'yuux'yxyuux的导数的乘积．【真题实战】（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（A．(sina)cosa(a为常数 B．(sin2x)2cosC．(3x)3xlog

x1) 【解析】Aa为常数，所以(sina)0A错误；B(sin2x)cos2x2x)2cos2xB正确；C(3x)3xln3C错误； 1 2x2x

x1)[(x1)2]

(x1)2(x1)

在某个区间abfx0yfx在这个区间内单调递增；fx0yfx在这个区间内单调递减．fx在ab当a2x1fxex1【解析】（1）f(x定义域为(0)fx)a1ax 当a0f(x)ax10f(x在(0当a0x1fx0f(x x0,1fx0f(x单调递减 a 综上所述，当a0f(x的单调递减区间为(0a0f(x的单调递增区间为1，单调递减区间为01 a （2）a2x1ex1f(x)ex1a(x1lnx1ex12x1lnxg(x)ex12x1lnx(x1)g(x)0即可g(x)ex121，再令h(x

g(x)，则h(x)ex11显然hx在(1上递增，则h(x)h(1)e010，g(x)h(x)在(1,)上递增，g(x)g(1)e0210gx在(1上单调递增，g(x)g(1)e021ln10，问题得证x＝af′(x)＜0f′(x)＞0ay＝f(x)的极小值点，f(a)y＝f(x)x＝bf′(x)＞0f′(x)＜0by＝f(x)的极大值点，f(b)y＝f(x)f(x)在[a，b]f(a)为函数的最小值，f(b)f(x)在[a，b]上f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【真题实战】（2025·全国二卷·高考真题）若x2是函数f(x)(x1)(x2)(xa)的极值点，则f(0) 【答案】fxxax1x1x2xax2因为2fxf22a0，得a2，x4fx0fxx42fx0

3 f012a2a4.【真题实战】（2025·湖北黄冈·三模）fx2cosxsin2xfx的最小值是（ B．3

【解析fx的一个周期为T2πfx在02πx0πx5π2πfx0xπ5πfx0 6

66 fx在0π5π2π上单调递增，在π5π 6 66 fxf5π33fπ336 6 f02fx在02π上的值域为3333 2 结合函数的最小正周期为2πfx的值域为3333 2 fx的最小值为3301f(x，过点(abn（n123）条切线问题P0(x0,y0)kf'(x0第三步：计算切线方程.yy0f'(x0)(xx0.第四步：将(abby0f'(x0)(ax0x0得分方程；x0的方程就有几个实数解． 【答案】(0,4

xa【解析P(xyfxxfxx0

fx1xfx1x0，即切线的斜率为k1x0

fxP(xyyx01x0(xx 0, ax01x0(0x

0

0ee

2xexx2 x(2令hx ，可得hx

x (e x0hx0hx单调递减；当0x2hx0hx单调递增；x2hx0hx单调递减，x0hx取得极小值h00x2hx取得极大值h24又因为h1e

h2当x0时，hx 当0a

y 在R y 0a3a的取值范围为(0,4 的值不可能是（

【解析fxx2ex1fxx3ex1t t2et1

，则切线斜率kt 整理得b22tt2et1gt22tt2et1ybgt2gtt24tet1，gt0，解得t4或0，g46g02e，且t4gt0xgt所以0b2e或b6021】（25-26高三上·河北衡水·月考）fxae2xexaRf01yfxx0【答案】(13xy10；(2)【解析】（1）fxae2xexf0a11，解得a2fx2e2xex，fx4e2xexf03，yfxx0y13x，即3xy10（2）fxae2xexfx2ae2xexex2aex1，当a0时，则fxex2aex10，当a0fx0xln2afx0xln2a当a0fx的单调递减区间为ln2a，单调递增区间为ln2a当a1yfx在点0f0【答案】(1xy50；(2)【解析】（1）当a1fxx24x5exfx2x4exx24x5exx22x1ex，f01f05，yfx在点0f0y5x，xy50.fx2a2xa33aeaxa2x2a33ax2a23eaxax2a21xaa2eaxax1xaa2eaxfx0x1xa当a1a1fx0ax1 fx0xax1fx的单调递增区间为a1 a 单调递减区间为a,1 当a1fxx12ex当1a0a1fx01xa fx0x1xafx的单调递增区间为1a 单调递减区间为1,a a 当0a1a1fx0xax1 fx0，得ax1fx的单调递增区间为a,1，单调递减区间为a1 a 当a1fxx12ex0当a1a1fx0x1xa fx01xafx的单调递增区间为1,a，单调递减区间为1a a 综上所述，当a1fx的单调递增区间为a1，单调递减区间为a,1 a 当a1fx的单调递减区间为当1a0fx的单调递增区间为1a 单调递减区间为1,a a 当0a1fx的单调递增区间为a,1，单调递减区间为a1 a 当a1fx的单调递增区间为当a1fx的单调递增区间为1,a单调递减区间为1a a 03xD，mfxm

xxxD，mfxmfxxD，mfxmfxxD，mfxm

xx1】（2025·山东烟台·三模）xexxlnxa0a的取值范围为（

B．0,e

【解析xexxlnxa0，即elnxxlnxxa0，令tlnxx，则etta0恒成立，则aett令tett，则tet1，当t0时，t0； 2】（24-25高三上·天津·月考）fxex

ax

a(a0fx0恒成立，则的取值范围是（ex

B．1,a

C．1,

axa

令htett，则htet10，所以ht在0上单调递增，不等式可化为hxlnahlnx1xlnalnx1，因为yxlnx1，y11 xx 1当1x0y0x1y0yxlnx1在10上单调递减，在0ymin0，所以lna00a1，故选：A.04yfxxa,bygxxcd 若x1abx2cdfx1gx2fx

maxgxgxgxgx 1】（24-25高三上·河北唐山·月考）fxxlnxgxx22xax1,1 e C．21,

e 【解析fxxlnxfxlnx1x1,1fx0fx在1,1fx10 因为对任意的x1,1，总存在x1,2，使fxgx成立，等价于f g

所以1a1，解得a11a的范围是,11.

e【典例2（2025·江西萍乡·一模设函数f(x)(x1)exe，g(x)xlnxa若x使得fx1gx2，则实数a的取值范围是

(0,)，x1R 【解析】由题意，fx gx ，当x1时，x10，exe0，所以fx0；当x1时，x10，exe0，所以f(x)0 x1f(x)min0所以对x(0g(x0xlnxa0，即alnxx令hx)lnxx，则hx)111xx0 当0x1h(x0x1h(x0)h(x)maxh(1)1，因此a11】（2025·安徽·模拟预测）fxxexex1的零点个数为（ 【解析fxexx1exxexx0fx0x0fx0所以fx在,0上单调递减，在0,上单调递增，所以当x0时，fx f02，xfx1x0fx0fx无零点；f(2)e210f(0)20，且函数在0上单调递增，x2【典例2】（2025·湖南益阳·三模）若函数f(x)alnx 有两个零点，则a的取值范围为（

x2

C．0,1∪1,0,

】函数f

aln

当a

x2时，令f(x) 0，在

0,

x2当a0时，f(x)x 当a0f(x0f(x在0f(1)0，fx)在0只有一个零点，不合题意；当a0f¢(x0

x2-a=0

x x0,af(x0f(x在0,ax

af(x0fx在

x0f(x，fxf

a

a10a1lna1g(xx1lnxx0g¢(x1lnx

×=

lnx

0x1x0,1g(x0g(x在0,1x1gx0gx在1上单调递减，g(x)g(1)1，则：①在含有lnxxetk0x1来试探；②在含有ex的函数f'(x的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚x0f'(x00x0x0的方程的整体f(x0f(x0f'(xx0两侧1】（24-25高三下·安徽安庆·模拟预测）f(x)xexa(xlnx1)f(x0 【答案】【解析f(x)xexa(xlnx1的定义域为(0f(x0xexa(xlnx1)1xlnx1在(0上恒成立 g(xxlnx1g(x(x1)(xlnx)

设h(x)xlnx，显然h(x在(0因h(110h(1110 x

故存在0(e,1)，使得h(x0)x0lnx00，则 x0，即x0e1x0x0g(x0gx在(0x0xx0)gx)0g(x在(x0上递减故当xx时， g(x)x0lnx011，故有11

x 即得0a1a的取值范围是2】（2025·湖南长沙·三模）fx)lnxaxex1x1yf(x在点(1,f(1处的切线经过原点，求a若a1f(x【答案】(1a0【解析】（1）fx的定义域为(0)f(12afx)1ax1)ex11f(1)22ayf(x在点(1,f(1y22ax12a．依题意，将点(00)代入切线方程，解得a0．（2）当a1fx)lnxxex4x1x(0f(x1x1)ex41x1)1ex4 设hx)1ex4，易知h(x在(0且h(2)1

0,h(3)110故存在x(2,3)，使得hx0， ex04，所以xex41，即lnx

4 x0x0fx)hx)0f(x在0x0 xx0fxhx0fx在x0上单调递减，f(x)fxlnxxex4x1x41x14 x12x0x2化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极值值等手段证得不等式．1】（24-25高三下·青海海东·月考）fx1xalnxaRfxx1x2，求a

ln

1ln

2 【答案】(1)答案见解析；(2e 【解析】（1）fx1xalnxfx1ax2ax0 当a0fx0fx在0上单调递增；当a0fx0x2a，因为在02afx0，在2afx0fx的单调递减区间为02a，单调递增区间为2a当a0fx在02a上单调递减，在2a上单调递增（2）fxx1x2x1x2由（1）a0f2aaaln2a0，解得aea的取值范围是e 1xaln

0，1xaln

0，可得lnxlnx1xx，即2a

x22

2

lnxln x2所以112a2a11 x2

x2ln ln xln

ln

2

x2要证1

2，需证 x22，令tx21，即证2lntt1ln ln

ln

tt

所以t10112ln ln2】（24-25高三上·四川成都·月考）fx1lnx，其中e当a1fxfx1x1x2求a x2x22 【解析】（1）fx1lnxx0fxlnx fx0x1当0x1fx0fx单调递增，x1fx0,fx单调递减；（2）（i）由1lnx1，得1lnxa gx1lnxee所以当0a1时，方程1lnxa有两个不同的根，即方程1lnx1 故a的取值范围是0,1

x，则0x1x，且lnx11lnx2

x2时，结合（i）x2x2x242x2x22 pxgxg2xlnx1ln2x10x

ln2

2

2lnx12 2 g2x1gx1gx2,所以2x1x2x1x22，xxx2x22xx 1故2x22x2x2x22xxxx24x2x22 1 x2则hx

lnxlnx

0所以hxgxg10gxg1 x x1 1gxgxgxg1 x1

x1xx11xxx2x22xx2 1辨析：多层复合函数求导时容易遗漏中间变量的导数、抽象复合函数求导符号错误，求导前先拆分复合层(x1)2sin【典例1】（24-25高三下·山东泰安·月考）f(xf(2025)f(2025)f(2025)f(2025)（

x2

f(x

(x1)2sin x212xsin 2xsin【解析f(x

x2 x2 x2

g(x)2xsinxf(x)g(xx2g(x2xsinx2xsinxg(xg(xx2 x2g(2025g(2025)f(20251f(202510f(2025f(2025)2g(xg(x)，所以g(x)gxg(x)g(xf(xg(x1f(x)fxf(2025f(2025)0，f(2025f(2025f(2025f(2025)2．故选：D2】（24-25高三上·山西·模拟测试）fxgx的定义域为Rkk

fk（

【解析fx1gx11fx2gx1，又因为fx2gx1.，fx2fx22fx的对称中心为2,1；fx1fx10fx1fx10，fx1fx1c（常数），x0，则cf1f10fx1fx10fxx1fxfx42fx2fxfx2fx42fxfx22，fxfx4fx的周期T4.fx2fx22x2f21f12f2f01f30f41k

fk450622026.0辨析：000f(x00且f(x)在x0法正确的是（A．f1f

B．f1f (,(0,ff(A，13(03f1f3AB，自变量12f(0)B错误；CC错误；2】（24-25高三上·陕西咸阳·月考）fxfx在区间ab上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）fxxx1xx3【解析】由图可知，当axx2x4xbfx0x2xx4fx0，fx在ax2和x4b上单调递增，在x2x4上单调递减，D错误；fxx2x4，B错误；又x1x2ax2x3x4x2x4，fx3fx4fxxx3处取不到最小值，A错误.故选：C辨析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于【典例1】（24-25·云南保山·期中）fxlnax3在区间13上单调递减，则实数a取值范围是（

1a

a

a且txax30在13上恒成立，a所以t33a30解得1a0

ax3fx

a a则3a30或a30，解之得1a0. 【典例2（25-26高三上·广东深圳·开学考试若函数fxae2x25aex5x在区间1,2上单调递增，则a的取值范围是 【答案】a【解析fx2ae2x25aex5aex12ex50在12上恒成立，又eexe2，所以52e<2ex2e2，即2ex50，所以只需aex10在12即a1在1,2上恒成立，即a1 y1在12上单调递减，所以a1 辨析：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——0；②导函能是（ 【解析fxfx0恒成立，A、D两个选项，【典例2】（24-25高三上·安徽黄山·期中）fxf(xg(x)

f(x)的单调性说法正确的是（ B．在(0,23)单调递C．在[23,1]单调递 【解析】从图象可以看出过点20f(x的图象，过点10f(xg(x)f(x)fxx12

3f(xfx0gx)0g(x)

f(x)x12

3x232f(xfx0g(x0g(x)f(x)x232 ACD错误，B

lim0+∆−(0)=lim0−∆−0=lim0+∆−(0)=lim0+∆−(0−∆)=

1】（2025·江苏盐城·三模）fxln2xlimf(1xf(1)（ 2

2x

exex2x

x【解析fx

fx

2x

e2

2 2 f11322limf1Δxf1f12. 2（24-25高三上·上海·期中）yfxxx0处的导数等于a

fx02Δxfx0的值为（ B．1

fx02xfx0

2

fx02xfx0

第二步（写方程）yf(x0f(x0)(xx0【典例1】（25-26高三上·广东江门·月考）已知函数fx2xlnx，则曲线yfx在1,f1处的切线 【答案】3xy1fx2xlnxfx21f1∵f12ln12yfx在1f1y23x1，即3xy10【典例2】（24-25高三下·海南·月考）曲线yxlnx在点e,e处的切线与直线yax2垂直，则实数a的 【答案】xey22，yax2垂直，ka1a 第一步：设切点为Qx0fx0；yf(xx0f(x0Qf(x0kPQx0f(x0yf(x0f(x0)(xx0【典例1】（25-26高三上·辽宁·月考）函数yx1ex过原点的切线方程 y

555

xy

53e3【解析】设切点为tt1etyx1exyx2ex，切线斜率为kt2ettt1由于切线过原点，则k t2et，整理得t22tt1，即t2t10解得t15

555

5551当t 时，切线斜率1

e2y

e2当t

1

5时，切线斜率为k

33

y

53e23 【答案】5xy20或11x4y1fx3x22P为切点时，则切线的斜率为kf15y35x1，即5xy20 P点不为切点时，设切点坐标为x0y0，切线的斜率为kfx3x22 yy3x22x P13yx32x 所以3x32x3x221 整理，得x12x2x10x11（舍去 1 1 y02228 所以切点坐标为19，切线的斜率为k11 y911x1，即11x4y10 4 2 所以所求切线的方程为或5xy20或11x4y101】（24-25高三上·四川绵阳·月考）若直线lylnx1yln(x1的公切线，则直线l yxylnx1y1yln(x1y

x1ylnx1Axlnx1y1xlnx 设与yln(x1)切点B(x,ln(x1))，切线方程y1xln(x1) x x1

x2列方程组求解：由公切线性质得lnx2

1)

x2由1 得xx1，代入另一式解得x2，x1 x x1y1xlnx2yx2【典例2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设a0，若曲线fxalnx1在点2,f2处的切线也是曲线gxeax2的切线，则a

x

f2a,f2aln10, gxaeax2gx与该切线的切点为xax2 gxaeax02a，所以ax20ax2 gxeax02a

222ae0，所以a1

f(x)

f(x)

DfxD内单调

fxfxD内不单调

fx【典例1】（2025·福建泉州·二模）函数fxaexlnx在区间2,3上单调递增，则实数a的取值范围 , fxaexlnxfxaex1fxaexlnx在区间2,3fxaex10在2,3显然a01xex在2,312e2a

或a0（舍去所以实数a的取值范围为1 【典例2】（2025·江苏苏州·三模）若f(x)x(lnxa)在[1,e]上不单调，则实数a的取值范围 【答案】2f(x)x(lnxa)fx)lnxaf(xx(lnxa在[1efx)0在1e上有解，即lnxa10在1ex1e，使得alnx1，ylnx1在1e上单调递减，所以2a1，所以实数a的取值范围是21.f(x)g(xf(x)g(x)构造[f(x)g(x)]f(x)g(xfxfxfx0构造xfx)]'xfxffxfx) 构造[exfx)]'ex[fxfxfxnfx0构造xnfx)]'xnfxnxn1fx)xn1xfxnfx（x的符号 f(x)g(x)f

构造[f(x)]g(x)

f(x)g(x)f(x)g(x)xfxfx)0构造[f(x)]'xf(xf f(x) f'(x)exf

f'(x)ff(x)f(x) 构造 ] (ex xf'(x)nf(x)

f(x) xnf'(x)nxn1f xf'(x)nf

构造 ]

构造f(x)

(xn

[ex]

1】（2025·湖南·三模）yfx是定义在1yfxxfxfxf36flnx2lnx的解集为（

B．3,e2

D．e,e3 xfxfxxfxfx0gx02fln f2又f36，由flnx2lnx，得到 ln 所以1lnx3，解得exe32】（24-25高三下·广东梅州·月考）fxRf(xxRf(xf(x)2sinx，且在[0f(x)cosxfπtf(t)costsintt 【答案】(,π)g(x)f(xsinxf(xf(x)2sinxg(xg(x)f(xsinx[f(xsinx0gxx[0f(x)cosxg(xf(xcosx0gx在[0fπtf(tcostsint，得π)sinπtgtitcostsint gπt)g(tg(|πt|)g(|t|，因此|πt||t|，即πt)2t2，解得tπ t的取值范围为(,πff(x0x0f(xf(xf(x0f(x0f(x0x＝x0f(x2ex1】（24-25高三下·河南·模拟预测）fxe2xex的极值点为（

2ex1e2xex2e2xex2exe2xex

ex2ex11xe2xex fx)0，即1xex0x0．由f(x)0x0，f(x0x0 2ex 函数fxe2xex在 2】（2