2027年高考数学一轮复习资料 专题04 指对幂函数及函数的应用

专题 指对幂函数及函数的应xnaxan次方根，其中n1，且nN*。nan叫做根指数，a叫做被开方数．an为偶数根式的性质（n1，且nN）na)nana)naan为偶数an

nnnn

nma

无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a（a0，为无理数）是一个确定的实数．①arasars(a0,r,sR)．②arsars(a0,r,sR)．③(ab)rarbr(a0,b0,rR)ax＝N(a>0a≠1)xaNx＝logaN①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，logaaN＝N(a>0a≠1)． ②log ②换底公式的三个重要结论：logab＝

logambn＝n 【真题实战】（2024·全国甲卷·高考真题）已知a1且

5，则a

1

a5

loga log8 loga log2 整理得loga25loga60loga1或loga6，又a1，所以loga6log26a =yyx从原点趋向于＋∞xx轴； —b —b —b 【真题实战（2025·湖南·一模fxm22m2xm2在0m（ D．1或-m22m21m3或m1 【解析】由题意可得m2

m

m1.yax（a0且a1）xa0ax轴的上方，过定点x00y1x0yx0yx00y1当底数大小不定时，必须分a1”和0a1”如图是指数函数（1）yax；（2）ybx；（3）ycx；（4）ydx的图象，abcd1的之间的大小关系为cd1ab；yax

1xyyya

（

【解析】根据函数fx2025∣xa∣在区间2026y2025xyxa在区间2026上单调递增，所以a2026.故选ylogax（a0，且a1）x是自变量，定义域为0eylnx0＜x＜1x＞10＜x＜1x＞1y＝logax与𝑜1x0＜c＜d＜1＜a＜b.【真题实战】（2025·全国一卷·高考真题）已知2log2x3log3y5log5zx，y，z的大小关系不可能是（）xyC．yx

xzD．yz【解析】法一：设2log2x3log3y5log5zm令m2x1y311z531xyz，A 令m5x8y9z1yxz，C令m8x2664y35243z53125yzx，D有可能；法二：设2log2x3log3y5log5zmx2m2y3m3zy2x2y3x3,y5x5的图象，y2x2y3x3y5x5xm易知，随着mxyzyxzyzxzyxy＝f(x)x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是1fx在区间a,bfafb0fx具有单调性，则函数fx在区间a.b内只有一个零点．fxfafb0．给定精确度yfxx0x0的初始区间abfafb②求区间a,b的中点fc0（x0c），则c就是函数的零点；fafc0（x0ac），则令bc；fcfb0（x0cb）ac.④判断是否达到精确度ab，则得到零点近似值a（或b）；否则重复【真题实战】（2025·天津·高考真题）函数f(x)0.3x 的零点所在区间是（ 【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知：y0.3x在R上单调递减，y fx0.3xxf010,f0.30.30.30.30.50,f0.50.30.50.50.50，所以根据零点存在性定理可知fx的零点位于0.30.5.故选：B1】（2025高三下·全国·专题练习）f(x)x22ax3f(x在3上单调递增，求afx在12)

2a2,aa23,1a14a,a【解析】（1）f(x)x22ax3fxxa，f(x在3上单调递增，则满足a3，所以a的取值范围为3．（2）f(x)x22ax3fx)xa，当a1fx在12fxf(12a2；当1a2fx)在1a上单调递减，在a2上单调递增，fxf(a)a23当a2f(x在12f(xf(214a2a2,af(x在12f

a23,1a14a,a2】（24-25高三下·江苏宿迁·月考）fxx2mx3mR当m2fx0【答案】(1)xx3或x1；(2)m【解析】（1）当m2fxx22x3x22x30x1x30x1x3，所以不等式fx0的解集为xx3或x1.（2）xmm2即m4f242m34，解得m5 又m4m2即m4f242m34，解得m5 又m4 m 当22即4m4时，最小值为f

34，解得m2 m2yafx)yafx)的单调性与函数u0a1

f(xa1yf(ax型函数的单调性：一般用换元法，即令tax，则只需研究taxyf(tyf(axaxtf(t的值域，但要注意“新元tyafx函数的值域：令fx，先求出fxya的单调性求出yafx的值域．1x22【典例1】（24-25高三上·四川广安·月考）函数y

1x2【解析】函数y

的定义域为R，令ux22x则函数ux22x1在1上单调递增，在11而函数y

1x22因此函数y1x22所以函数y

在1上单调递减，在1上单调递增，的单调递增区间是1.2】（24-25高三上·陕西西安·模拟考试）fxa2xa2xmaxax(a0且a1若m2fxfx1恒成立，求实数m的取值范围 【答案】(1)1；(2232 【解析】（1）若m2fxa2xa2x2axaxaxax222axax，令axaxt，yt22t2t121，若a1yax,yax在R上单调递增，可知taxax在R上单调递增，可知t；若0a1yaxyax在R上单调递减，可知taxax在R上单调递减，可知t；taxax,，（2）fxa2xa2xmaxaxaxax22maxax，设taxax,，由题意得即t2mt21恒成立，即t2mt30 且t,，则m2120，解得2 m2 所以实数m的取值范围为23,23. ylogaf(xylogaf(x的单调性与函数ua1时相同，在0a1

f(xf(x)0)yf(logaxtlogaxtlogaxy

fyf(logax函数的值域：令logaxt，先求出logaxtyft的单调性，yft的值域．ylogaf(x函数的值域：令fx，先求出fxyloga的单调ylogafx的值域．围是（A．,

B．,

4,

4,f(xlgx2ax5在(5上单调递增，可得u(x)x2ax5在(5,上单调递增，且u(x0且u(x0在(5上恒成立，故需满足

，解得a4.2】（24-25高三上·安徽亳州·月考）fxloga2xloga4xa0且a1f23，求实数afx若a3fx【解析】（1）f2loga4loga2loga83，解得a2．fxlog22xlog24x，4x由2x0得2x4fx的定义域为4x, yx22x8在21上单调递增，在14上单调递减，ylog3x在定义域内为增函数，所以fx f1log33log332．y

f[g(x①确定内层函数ug(xy

f(u)y

f(u的零点uui(i123,n③确定直线uui(i123,n与内层函数ug(xa1、a2a3、…any

f[g(xa1a2a3an【典例1】（2025·贵州毕节·一模）已知函数f lnx,x

5fx6点个数为（ 【解析】由题意，令[f(x)]25f(x)60f(x2f(x)3，yf(x)的图象，如图，y2yf(x3个交点，y3yf(x4个交点，yf(x)]25f(x67个零点. 【典例2】（24-25高三上·江苏镇江·月考）已知偶函数fx，当x0时，fx3x,x xf2xa8fxa08个不同的实根，则实数a的取值范围为（

C．4,

4

2 【解析】因为fx为偶函数，且当x0时，fx3x,x yfx令tfx，则方程化为t2a8ta0所以原问题转化为关于t的方程t2a8ta0在13Δa824ata81, 令gtt2a8ta，则

，解得4a 即实数a的取值范围为415 4 2a．②如果两个函数图象都关于点(a0对称，那么这两个函数图象的交点也关于点(a0对称，则对应的两零2a．1】（2025·四川成都·模拟预测）fx)|2x3|8sinπxxR的所有零点之和为（ f(x)2x38sinπx(xR的零点即为|2x3|8sinπx的解，gx2x3与hx8sinπx图象交点横坐标，因为h38x3为hx8sinπxx3gx2x3又hx8sinπx2π2因h582g5h986g9h13810g13

gx2x3与hx8sinπxx3的右侧有且仅有4gx2x3与hx8sinπx图象所有不同交点的横坐标和为4312.2（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考fx定义域为Rf3xf23xxfxx2gxcosπxfx在区间51上所有零点的和为（

22

gxcosπxfxx5122cosπxfx0在区间5122cosπxfx0cosπxfxgxcosπxfxx5122yfxycosπx在区间5122fx为定义域为Rfxfxfxyf3xf23xx1tf1tf1tf1xfxx1对称，x0,1fxx2，yfxycosπx的区间5122yfxycosπx的图象在区间51上有722将这7x1x2x3x4x5x6x7，x1x24x3x52x41x6x70，gxcosπxfx在区间51上所有零点的和为7.22a＞10<a<1两种情况进【典例1】（24-25高三上·内蒙古·月考）yaxa1(a0，且a1的图象可能是（ x1ya1a10A、B、C当a1x0ya0a1110yaxa1在R上单调递增，D选项不符合；当0a1yaxa1在R上单调递减，x0ya0a1110，Dyaxa1(a0，且a1D.取值范围是（） B．1

2 则xa4x0x34恒成立，可得0a3且agxxa4xx2a4x4axa4当0a1xa425gx在34 2 当1a3ylogax在定义域内单调递增，求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则【典例1】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）fxlogx22x的单调递增区间为（

D．,x22x0x0x2，函数的定义域为02，ylog2tf(x)log(x22x)的单调递增区间，yx22x在02上的增区间为2，fxlogx22x的单调递增区间是2.故选：A.【典例2】（24-25高三上·宁夏石嘴山·月考）f(xlnxln(2x的单调递增区间是（

2xf(xlnxln(2x2x

，解得0x2f(xlnxln(2x的定义域为(02f(x)ln(x22x)(x(02)．因为函数tx22xx(02))在区间0,1上单调递增，f(xlnxln(2x在区间0,1上单调递增，在区间12上单调递减,故选：A03辨析：函数零点存在定理是指如果函数f(x)在区间[ab上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(af(b0，那么函数f(x在区间(ab内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力．【典例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）f(xxlnx4的零点所在的区间是（ f(xxlnx4的定义域为(0)fx在(0上连续且为增函数．f(2)2ln20,f(3)1ln30f(2f(3)0．fx)xlnx4的零点所在的区间是(2,32】（24-25高三上·江苏盐城·月考）fxln2x1的零点在区间kk1k 【答案】fxln2x1lnx1ln2定义域为0 ylnxy1均在0f1ln210f2ln41lne1111 将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log

Mn

n

lg2lg51的应用技巧：在对数运算中如果出现lg2和lg5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg2lg5，再应用公式lg2lg51进行化简；logablogba1的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式logablogba1化简；axbyczfxyz axbyczk(k0xlogkylogkzlogkxyzfxy 【典例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数N满足log9log8N7，则log3log2N 【解析】因为loglogN1log1logN11loglogN7，则loglogN15

3 2

2】（25-26高三上·河北衡水·月考）（1）xlog321，求4x2x1【解析】（1）xlog21,x1log3,2x3log34x2x122x22x2x222x32233 lg2lg53log322log30.51132227 x=1，y=1，y=x所分区域.a<0，0<a<1，a=1，a>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．1】（2025·江苏盐城·三模）m2”是fxm2m1xm22m3为幂函数”的（） C．既不充分也不必要D．充分不必【解析】当m2fxx5fxm2m1xm22m3m2m11，解得m2或m1，“2】（24-25高三上·山东济南·月考）fxx3的图象大致为（ 333【解析】幂函数fxx3 的定义域为R，故D选项错误3f3

fx,fxA,C1】（24-25高三上·山东·月考）如图所示，若0a1yaxyxa的图象可能是（ 【解析】因为0a1yax在RAD；yxax0yayxa的图象过点0a，因为0a1B错误，C正确.故选：C.2x在0pq的（ fx

fxf

2xa1a2x2x

，即2x 1

122所以a1，则fx

y2x1在02x 2xfx2xa11a在0y2x1在02x 2x所以1a0，故a1，此时不一定有a1，必要性不成立；pq的充分不必要条件.故选：A1】（2025·湖南长沙·一模）已知lgalgb0(a0b0，且a1b1fxaxgxlogbx的图象可能是（ 【解析】由lgalgb01bfxaxbxfxaxgxlogx2】（2025·山西临汾·三模）fxlog14xxf2m3fmm的取值范围为（）

B．3

fxlog14xx，易知其定义域为R，fxfxlog14xxlog14x 14x

x

log214 log2 2x fxlog14xxlog122xlog2xlog2x y2x在Ryx1在0,1上单调递减，在1y2x

fx在0上单调递增，在0上单调递减，f2m3fm2m3m，即2m32m2整理可得3m212m90，化简可得m3m10，解得1m3.1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数 1】（2025·天津·二模）已知a4.54.5b5.45.4clog4.55.4a，b，c的大小关系为（ab

ac

cb

ca【解析】y4.5x是增函数，4.5a4.54.54.55.4yx5.4在0，是增函数，b5.45.44.55.4，故ba4.5ylog4.5x在0，clog4.55.424.5，即cab，故选：D.2】（2025·甘肃白银·二模）已知2025m2024x2024m2023,y2026m2025，则（yx B．0xy0

x02025m20240m

2025 2024

20252024 2025m20242024m2023