2027年高考数学一轮复习资料 专题06 三角函数的概念与三角恒等变换

专题 三角函数的概念与三角恒等变【重难点突破02】sinα±cosα与sinαcosα【易混易错【易混易错【易混易错0505点· OAOB为终边，点O为角的顶点.“角“可简记相等的角：设角OA绕端点O旋转而成，角由射线OA绕端点O旋转而成。如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称．③角的减法：像实数减法的＂减去一个数等于加上这个数的相反数＂一样，我们有()．这yyy（1）（2）x轴非负半轴重合．如图所角xS2S2|180k360kZ.角xSSS1S2|k（2025·江苏苏州·模拟预测）20240128所在的象限为（ 【分析】将2024012856222360208，与208【详解】2024012856222360208，又208终边在第三象限，20240128

α|α|ll＝1rad;1rad180 ＝ 角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，如k360(kZ3601rad角度数 1rad180 57.30弧度数180 用弧度表示终边相同的角：用弧度表示与角终边相同的角的一般形式为2k(kZ。这些角所组成的集合为{|2kkZ}.在弧度制下，

在y轴的非正半轴上的角的集合为 llSS1R21 ①lRl②2S(0 而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为240r/min（转/分被动轮的半径为24cm，则被动轮周上一点每1s转过的弧长是 【答案】【详解】由题意知，主动轮的转速为4rs，则被动轮1s2042π10π 所以弧长为2410π80πcm.4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（）16

4

4

1222 π12【详解】如图，作出辅助线，根据图形的对称性，可知阴影区域的面积为822 122π 2S1lR． ,Py叫做的正弦函数，记作sinysin；Py叫做的正切，记作tanytan(x0 弦函数ycosx,xR；正切函数ytanx，x{x|xk,kZ}（1）在三角函数的概念中，应该明确（1）在三角函数的概念中，应该明确是一个任意角.（2）要明确sin是一个整体，不是sin与①如图，设P(xy是它终边上任意一点（不与原点O重合Px2rrx2y叫做的正弦函数，记作sin，即siny x叫做的余弦函数，记作cos，即cosx C.y叫做的正切函数，记作tan，即tany(x0 RtΔABC中，C=90AAsinA==BCAAcosA==ACAA tanA =BC — —P(x,y)在终边上的位置无关，只与角的终边=

=2𝜋𝜋=2𝜋5𝜋

∈1（2025·全国·模拟预测）在ABC中，cosA1”是sinA

3”的（【分析】在ABC中，根据cosA1与sinA

3分别得出A的值，再由充分必要条件的定义即可判断【详解】在ABC中，若cosA1，则Aπ，所以sinA 3 而若sinA

3Aπ2π，所以cosA1 所以由“cosA1”可以推出“sinA 3”，“sinA 3”不能推出“cosA1”，所以“cosA1”是“sinA 3

,RM的元素个数为（ 【分析】由

3，求出，即可求出，进而求出 【详解】因为

3，所以π2kπ或2π2kπ,kZ 所以πkπ或πkπ,kZ 所以sinsinπkπ或sinsinπkπ 若k为偶数，则sinsinπkπ=sinπ=1或sinsinπ

3

kπ=sin3= 若k为奇数，则sinsinπkπ=sinπ=1或sinsinπkπ=

3

sin 所以sin1或3或1或3 yyy丨𝜋𝜋已知角的终边上除原点外的任一点P(x,y)，则rOP x2y2⛩y2|y|，所 α的正切，记作——————AT1（2025·上海普陀·二模）mRxOy中，角的顶点在坐标原点，始边x轴的正半轴重合，若角P3m，且sinπ20，则角属于（） 【详解】因为sinπ2sin20，所以sin20，所以2cossin0，所以sincos异号，2（2025·北京东城·一模）xOy中，角以Ox为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（）sinπ

cosπ

【分析】先得到sin0cos0AB错误，CD错误【详解】由题意得sin0cos0Bcosπcos0，BCsin22sincos0，CDcos2cos2sin2，若π，此时cos20，D错误

2 ①sin21cos2(1cos)(1cos);cos21sin2(1sin)(1sin). sin2是(sin)2sin的平方＂，而sin2是2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的P(xy是角PxxM，则OMP是直角三角形，而且OP1．由勾股定理得OM2MP21x2y21，即sin2cos21sinsinsin1cos2cos1sin2 与角的表示形式无关，定sin2cos21成立，这里的角是指成立，而tan

2，则sinπ（1

385

43

2

421

2，显然cos1，所以sin21cos43所以sin4，则sinπsincosπcossinπ14343 3

2 2（2025·江西新余·模拟预测）已知ππtanπ2tanπ142 sin2π【答案】

【详解】因为tanπ2tanπ1，则tanπ1 即1tan1 tan，显然1tan01 21可得tan21tan2，整理得2tan25tan20解得tan1或tan2，42又因为ππ，可得tan42 sin2

4

1 ( sincos,cos ＂奇＂＂偶＂是对k (kZ)中的倍数k来讲的 kk为偶＂象限＂是指k (kZ)中，将看成锐角时，k (kZ)所在的象限，根据＂一全正

公式一：将任意角转化为0~2公式二：将0~2的角转化为锐角求值。 ~的角转化为0 【答案】23 4

3 1

π

11π【真题实战2（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知sinx

，则cos2x （

cos2x11π ππ π

12

cos2

24

cos2

【详解】由cos2x11π ππ π1+2sin2xπ5 12

cos2

24

cos2

24

24 4

D．【分析利用辅助角公式和诱导公式可得2sinπ 2sinπ

ππ 4

π π【详解】因为sin 2sin 2sin 4 π,5π，π,π 4 所以π3πππ5ππ，所以ππ，则3π

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsintan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtan变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtantan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtan变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtan＋1.cos1.coscoscossinin sin2α＝2sinαcoscostan2α＝2tan

21tan2cos21cos

1cos,tan2

1cos 1cosf(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ其中tanb a f(α)＝a2＋b2cos(α－φ其中tana b 6 63sinxcosx2sinx 3 33cosx2sinx③sinx 42cosx∓②cosxsinx 4①sinxcosx1（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知sin11π2 【答案】【详解】因为sin11π2

因为sin11πsin2π3πsin3π2cos11πcos2π3πcos3π2 4 4 2

cos6cos6

化简的结果为（

2sin183cos29sin29cos29sin2【详解】原式

sin

1 ,cos

1

tan11cos1

0,cos

sin

1 1

π,π

sin22，则cos等于（22 B． D．

π,π

sin2222所以

1sin21ππ又2,，1 1所以 1cos 6

sin 2,cos 2,tan 21tan2 1tan2 1tan2

22

tan（

) 【详解】因为cos2cos21(cos2cos

2 2 2 又由于,0π，ππ所以cos(4 2

22 由于tan 1 1

sinsin2cos coscos2cos coscos2sin （2）

cosn

11 2 21 S90 2【分析】先由积化和差公式化简得到a1sinnsinn1Saaa 2

1 1 1 1 1 1 ancosn2sin22sinnsinn2sinnsinn1

2

2Saaa1sin1sin01sin2sin11sin90sin 1sin1sin0sin2sin1sin90sin891sin90sin01 2sinα，cosα如asinα＋bcossinα，cosα的齐次分 csinα＋dcosα的问题常采用分式的基本性质进行变形cos 【典例1（2025·江苏泰州·模拟预测）若tan2，则sin 4

22

2（2025·海南海口·模拟预测）tan2tansin(3，则cos(22（

sincos1，再利用差角公式和二倍角公式即可求得【详解】由tan2tansin2sin，即sincos2 由sin()3，可得sincossincos3 联立①，②，解得sincos1sincos1 则sin(sincossincos13（2025·湖南岳阳·三模）已知,0π3sin2，则tantan2（ 2 2 【分析】利用二倍角公式化简得sin=cos2，再利用平方关系化简，再开方可得cossin2，从而即可tantan21.

2再两边平方得:sin2=cos221cos21sin22cos2sin2又因为,0π，所以cossin 2 sin2cossinα±cosαsinαcosαsinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosαsinα＋cosα＝t(t∈[－2，2])sinαcosα＝t2－1，sinα－cosα＝±2－t2(注意根据α的范围选取正、2，则sincos（

422（2025·四川成都·三模）已知sincos1，则sin1sin2cos2（

【详解】等式sincos1两边平方可得，12sincos1

8

sinπ 4

，则sin2（

2

sinπ

2

4

cos2sin

整理得sincos1，两边平方得12sincos1，得sin215

1（2025·江西·一模）tan35tan100tan35tan80（tan B．tan 【详解】由两角和的正切公式得tan35tan100tan(100351tantan1351tan35tan10011tan35tan100tan35tan100由诱导公式得tan80tan(180100)tan100则原式可化为tan35tan1001tan35tan1001D正确2（2025·河北·模拟预测）1sin40（tan B．sin C．tan D．sincos40cos220sin220cos20sin201tan20tan45tan20 【详解】1sin sin20cos20 sin20cos 1tan 1tan45tan tan25

cos6cos6

化简的结果为（

2sin183cos29sin29cos29sin2【详解】原式

11.计算与化简题中的角的关系：对于计算与化简题，我们先要寻找式子中是不是有两个角满足其和或差为特殊 643235,32,2 公式、倍角公式以及辅助角公式进行化简，从而解决问题．2．“已知若干解或若干角的三角函数值，求目标解或目标解的三解函数值”问题中的解的关系：处理“已知若干角或若干角的三角函数值，求目标角或目标角的三角函数值”之类的问题时，一定要牢记目标角是若干个已知角1,2,k11k22ki一般只在集合{21,12中取值，这样我们就可以运用诱导公式、和差角公式以及倍角公式进行目标角的值或目标角的三角函数值的求解．1（2025·江西·一模）tan35tan100tan35tan80（A．tan B．tan 【详解】由两角和的正切公式得tan35tan100tan(100351tantan1351tan35tan10011tan35tan100tan35tan100由诱导公式得tan80tan(180100)tan100则原式可化为tan35tan1001tan35tan1001D正确.2（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）cos2πcos4πcos6π的值为（ A．

B．

C．

D．-【详解】首先，我们先对cos2πcos4πcos6π

2sin

得到

2sin 2sin 2sin 2sin 72sin 由积化和差公式得2sin sin( )sin( ) sin 同理可得2sin sin( )sin( ) 2sin sin( )sin( )sinπ 则2sin 2sin 2sin sin 2sin

2sin

2sin

sin7 ，故A正确2sin 2sin 3（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知sin7πcos3π2

5π（ 12

4

cos 6

【分析】根据3ππ2π 4 sin3πsinπ1 4

【详解】因为sin7πsinππcosπ 12 2 所以cosπcos3π2，而3ππ2π

4

4 所以cos2πcos3ππ=cos3πcosπsin3πsinπ 4

4 4

即12sin3πsinπ

4 所以sin3πsinπ1 4

所以cos25πcos3ππ=cos3πcosπsin3sinπ 6 4

4 4 213

510 4（24-25·上海·模拟预测）x0,,y,3，且sin3x5cosy4 4 4

cos(xy)的值

3x3y

cos3

siny 4,

cos(xy)cos3xy

3x3y 4,

2,0 从而cos siny1cos2y3 cos(xy)cos(xy) 3xcos

sin3 ycos3 y xsin xcos 5312413513 积化和差与和差化积解题策略积化和差与和差化积解题策略抓角的关系：分析角的和、差、倍或特殊角（ ，明确转化方向配公式结构：①积化和差：乘积转和差，记系数与符号（同名积和差，异名积差和②和差化积：和差转乘积，拆角为2系数与符号（正余符号对应3．联用+验符号：结合诱导、和差角、倍角公式化简，通过角的范围判断三角函数符号，排除矛盾解．1（2025·湖南常德·一模）已知cos22sin25cos1，则tantan（

C．

【详解】因为cos22sin25，所以cos2cos21 由coscossinsin1cosαcosβsinαsinβ 可得coscos7sinsin1，所以tantansinsin1

【分析】由， 即sinsinsinsin

2 coscoscoscos

sin

sin

2sin

2cossin si si因为、的终边不重合，则2kπkZ，则kπkZ所以sin0，则3sincos，所以tan1 2tan 2 331tan2 1 3（2025·湖南邵阳·模拟预测）fxcos3xcos2x在区间π2π的零点个数为（ fxcos3xcos2x2sin5xsinxxπ2πfx0x的值，判断选项 fxcos3xcos2x2sin5xsinxxπ2π fx0，则2sin5xsinx=0sin5x=0或sinx=0 5xkπx=kπkkZx2k1πx=2kπ,kkZ

1

1xπ2π，则π2k1π2π或π2kπ2π,kkZ即5k5kZ或1k1

Z

1 故k1210,12345或k2=0,1综上所述，存在8个零点,即为4π2π.0.2π,4π,6π,8π2π 4（2025·江西·二模）f(x)sin(x2cos(x4)，0π 4 g(x)sinxsin(x4的最大值为（A．

))sin21，结合0π，得π 4 代入π4π g(x)sinxsin(xπsinxsin(xπ)1cosπcos2xπ 2

3

3 gx1 π 化简得： cos2x， 当cos2x

π1gx33 3角的终边相关集合问题三个核心规律角的终边相关集合问题三个核心规律k360(kZ2k(kZ，保证单位一致。周期看场景：＂终边重合（射线）＂，周期为360/2（转一圈重合；＂终边在直线上（射线）＂，周期为180（转半圈仍在直线直线双向性：终边在直线上时，要考虑两个相反方向射线，用含k（弧度）k180（角度）的形式，覆盖双向情况。【典例1】与30角终边相同的角的集合是（

与30角终边相同的角的集合是30k360kZ，B错误，C正确，【典例2】终边在直线y3x上的角的集合 【答案】|k ,

3xx轴的夹角为y3x上的角的集合为|kZ , |k , 忽略终边相同角的公式中π的系数的要求，不能分类讨论处理终边相关集合问题时，需警惕忽略对处理终边相关集合问题时，需警惕忽略对k分类讨论这一关键易错点.由于终边相同kk2n（偶数、k2n（奇数）k的集合转化为更直观的2k平移形式（清晰体现周期延伸，或化简角度／弧度系数时变形失误，都会使集合关系（包含、交集等）判断出错.k取值拆分范围、转化周期形式直观对比、精准化简系数明确元素，以此避开漏解、误判陷阱，准确分析集合包含、交集等关系.【典例1】已知集合A2kππ2kππ,k，Bkππkππ,kZ

A

B

A

A∩B【详解】当k2nnZB2nππ2nππ,kZ 当k2n1,nZB2nπππ2nπππ,kZ AB

k

k 【典例2】已知集合Mxx 45,kZ,Pxx 90,kZ，则M，P之间的关系 B．MC．M D．MP k 【详解】因为Mx|x 45,kZx|x2k145,k k Px|x 90,kZx|xk245,k MP3Ax2kππx2kπ2π,kBxkππxkππ,kAB （A．2kππ,2kππ，k B．kππ,kππ，k 3 3 C．2kππ,2kππ，k

D．kππ,kππ，k 3 3 Bx2kππx2kππkZx2kπ5πx2kπ4π,kZ Ax2kππx2kπ2π,k ABx2kππx2kππ,kZ2kππ2kππkZ

3 终边落在直线终边落在直线Ax+By=0上,即要确定终边在哪些象限,需分类讨论,利用三角函数的定义求值时必须明确终边的条件,清楚其在坐标系中的位置.简言之，遇直线型终边，先定象限、再分类.【典例1】若角的终边落在直线xy0上， 的值等于（11 C．﹣2或 sinα=cosα=2sinα=cosα=﹣2 ∴sinα=cosα=2sinα=cosα=﹣ ①sinα=cosα=211

1 1111

②sinα=cosα=﹣2

1 1111

11利用三角函数定义利用三角函数定义（(xyx2等）忽略坐标符号关联：终边点(xy的坐标符号由参数决定，会影响三角函数符号。需依据三角函数值的符号，判断xy的符号关系（如cos0x0，缩小参数范围，避免增根。遗漏解的检验：解方程得到参数值后，要代入原定义式，检验坐标符号是否符合三角函数值的符号逻辑，以及x2y2的有效性，排除不满足＂终边存在条件＂的增根。简言之，用定义求值时，先借符号定坐标范围，再验解保结果合理，规避增根与逻辑矛盾。1xP2aa2cos4则实数a的值是（ A．－4和 2a22a2a

4a05a24a整理可得5a216a160，因为a5a24a2】已知角x轴的非负半轴为始边，终边经过点2a1a2，且cos3则实数a的值是（ B．

C．

D．【详解】由题意有

2a

311a220a40，解得a2或a2(2a1)(2a1)2(a由于cos30，则2a10，所以a2满足题意利用利用sin2cos21等关系求参数时，易忽略角的象限对三角函数符号的约束，以及表达式隐含的定义域条件（如分母非零、根号有意义等。解题需分两步：先通过平方关系列方程求解，再结合角的象限符号特征、表达式自身限制（0，检验解的合理性，排除不符合条件的增根。1】已知sin1acos3a1，若为第二象限角，则下列结论正确的是（1 1A．a1,1 B．a C．a1或a D．a 3 【分析】由sin2cos21，注意在第二象限，有sin0cos0sin2cos21(1a)23a1)21，解得a1或a11 1 a1sin0，a1sin0cos0∴a1 利用三角恒等式（利用三角恒等式（如sin2cos21等）求解时，易忽略角的取值范围（象限、区间）对三角函数符号的约束，导致保留不符合符号规律的解。解题需紧扣角的区间／象限，分析该范围内三角函数的符号特征（正负、范围，验证解的合理性，排除与符号矛盾的结果。13ππtancot10，则tan的值为（

C3或

D．【分析】由

，可得3tan210tan30，解方程结合已知可求得【详解】因为

tancot10，所以

10所以3tan210tan30，所以3tan1tan30解得tan1或tan33ππ，所以tan1 2ππsincos1

的值为（

,【详解】因为ππ，所以sin0cos0

又 5，即

cos 0，解得cos

,sin

3

755

∈+终边所在象限的方（1）分类讨论法：利用已知条件写出（1）分类讨论法：利用已知条件写出的范围（k表示），由此确定k讨论，从而确 所在象限（2）几何法：先把各象限分为n等份，再从x二、三、四……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。

【详解】由为第三象限角，得2k2k3kZ 则k

,kZ当k2n, 2n3,n 当k2n1,2n32n

,

2（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知是钝角三角形中最大的角，则是（ D．小于60的正则4590，故 3（23-24高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（ 所以2kπ2kππkZ所以kπkππ,kZ 当k2nnZ2nπ2nππnZ， 当k2n1,nZ2nππ2nπππnZ，为第三象限角 4（24-25高三·河北石家庄·期中）如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（ 【分析】根据角的终边在第三象限，得k360180k360270kZk12060k12090kZ，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断【详解】∵αk360180k360270kZ∴k12060k12090,kZ令k3nnZ3n120603n12090nZ可得的终边在第一象限令k3n1nZ3n1120603n112090nZ可得的终边在第三象限令k3n2nZ3n2120603n212090nZ

利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.AB（π

π

π D．π 【详解】因为圆O1AB的长为π，所以π 1lr1π1π, 1133扇形

π3 2（2025·浙江温州·二模）26，则它的圆心角等于（ 【详解】设圆心角为S1R226，所以为（） 【详解】因为该扇形的圆心角为2rad

1r2，可得r222525

πr225π已知角已知角的终边上一点P的坐标，求角方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。已知角的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值方法：先求出点P到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。已知角的终边所在的直线方程（ykxk0），求角的三角函数值方法：先设出终边上一点P(aka),a0，求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意a的符号，对a进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角a的三角函数值。1（2025·北京模拟）角P的坐标是(3a，则|a|1”的充要条件是（sin

cos

tan

|PO (3)2【详解】当|a|1时： a1，故sin1是|(3)2 ((3)2

2，故cos

3是|a|1

a

3，故tan

3是|a|1

2，故|PO 1是|a|1的既不充分也不必要条件 52（2025·黑龙江哈尔滨·三模）P34是角终边上的一点，则sin2cos 5

C．

3232455

33 455 则sin2cos4232 y1x位于第三象限的图象重合，则sin（2

2

而得到sin的值.y1xx2y12)1,P的坐标为(21x2x2(2)24OP

r

5则由三角函数的定义可得siny15 sinα，cosα，tanα11sin2＋cos2＝1灵活应用.3.知切求弦：先利用商数关系得出或然后利用平方关系求解.

C．4

D．4tansin22【详解】由题知

, 则2sincos225 5 2（2025·湖北孝感·三模）xπ，0sin4xcos4x1，则sinxcosx（ C．

D．【分析】利用sin4xcos4x1及角的范围变形得到sinxcosx1sinxcosx

【详解】sin4xcos4xsin2xcos2x22sin2xcos2x12sin2xcos2x，又sin4xcos4x1，所以12sin2xcos2x1， 所以sin2xcos2x1xπ，0，所以sinx0cosx0sinxcosx0， 所以sinxcosx1故

12sinxcosx

1

1 【典例3（2025·辽宁·二模）已知tan2sin22，则tan2sin2

【详解】因为tansin sinsin sin tansin cos

cos所以tan2sin224（2025·江西·一模）已知sincos

，则

（

D．【分析】在等式sincos1两边平方，求出sincos的值，再利用切化弦可求得

【详解】在等式sincos1两边平方可得12sincos1，可得sincos3

1（2025·广东茂名·模拟预测）已知sinπx1，且0xπ，求sinπxcos2πx

（

D．2

【分析】由sinπx1，结合πx的范围求出cosπ

sinπxcos2πx化简，即可得解 【详解】0xπ,ππxπ 1 sinπx1

22 sinπxcos2πx ππx πx

sin

cosπxcosπx2cosπx42

sinπcos3π【典例2（2024·辽宁·三模）已知tan，

2

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骣

a+2÷-cosç2-a÷cosa+sina1+

= 2=3

cos(-a)-sin(π-

1-（ 【