2027年高考数学一轮复习资料 专题07 三角函数的图象与性质综合

专题 三角函数的图象与性质综理·盘·破·辨·点·【方法技巧ysinxx[2k2(k1)kZ且k0ysinxx[02的图，ysinxxR的图象（如图）．不能说函数ysinxx[0，2]在精确度要求不高时,常常先找出五个关键点(0,0),π1,(π,0),3π,−1,(2π,0). x 1】（24-25高三上·江西赣州·期末）x02πycosxy3cos3xπ 6 个数为（ ycosxy3cos3xπ在02π上的函数图象，根据图象判断即可 6 ycosxy3cos3xπ在02π 6 6个. 6 通过五点法π25π02π,211π07π2fx 12因为47π17π，所以通过图象可判断它们有 12

2[02[02]（2个单位长度即可得到余弦函数ycosxxcosxy)[02]上的图象，起关键作用的五个点是（0ycos 2一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 ，使得对每一个xD都xTD，且f(xTf(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T

f

f

正弦函数、余弦函数都是周期函数，周期都是2k(kZ且k0)，最小正周期都是2)及其中为常数，且)

T2不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)c（c为常数）y=siny=cos 在[2k,2k](kZ) 上单调递) 对称轴：直线xkkZ对称轴：直线xkkZ 个交点，若|AB|πf(π（

Ax1Bx1xxπ求出f2π0求出fxfπ即可12

22

3 Ax1Bx1xxπ12 22 由cos(x1得xπ2kπ,kZ，xπ2kπ,kZ 所以xx2π，即π2π，解得ω4fxcos4x f2πcos42π08ππkπkZ3 可得13πkπkZfxcos4x13πkπ,kZ 当kfxcos4x13π 6 所以f0cos13πcosπ 30，由图知f00，而所以不符合题意 6 当k是奇数时，fxcos4x13π 6 f0cos13π30f00 6 所以fπcos13π 36 fπ3

在(0π)11的取值范围是（27

25

3

12A．，

D．，36

3

2

63 f(xsin(xπ)(0)x0π，则txπ

ysint在π,ππ

要使原函数在(0π)11个极值点，需使πππ3π 27 正、余弦函数的周期是2k(kZk0)，因此，只要记住它们在[02]内的图象形状，就可以

在区间π0 最小正周期为 sinx型三角函数的单调性A，因为sin2x1,1，所以1+sin2x02，ABxπ0,2xπ0，此时sin2x有增有减，B C，根据周期公式T2ππ，CD，由2xkπxkπkZ当k0gx1sin2x对称中心为0,1，D 【真题实战2】（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数f(x)2sin(x6)(0)在区间(0,4)上单调，则的 【答案】(0,,0，解得0

所以的取值范围为(03].≠2+π,∈在kk(kZ) 2 2 20kZ ytanxytanx在每段开区间(kkkZ 2xkkZ为ytanx的图象的渐近线，ytanx的图象与直线xkk (,【详解】由曲线y2tan(xπ)(0)的一个对称中心为 ，得ππkπ,kN(,

))函数

ysin

（

时）平移

1ysin(x)与ysinxysin(x)的图象可由ysinx

，把

sin(x

的横坐标缩短（1时）))y)3．推广到一般：函数yf(x)(0)的图象可以由函数f(x)((1)或伸长(01)到原来 一般地，函数yAsin(xA0，且A1)的图象，可以看作是把ysin(x)有点的纵坐标伸长（A1时）或缩短（当0A1时）到原来的A倍（横坐标不变）而，函数yAsin(x)的值域是[AA]，最大值是A，最小值是A纵坐标伸长A1或缩短(0A1)到原来的A倍（横坐标不变）Af(xA0，且A1)的图象可以由函数yf(x)y)))y1|A|1

2ysinx1倍,

应为＂将函数ysinx(xR）的图象上所有点向左（0）或向右（0时） 变到x， 变到x，故应为＂将函 xxx有点向左（0时或向右（0时||ysin(x)(xysinx(xR)x 【真题实战】（2025·天津·二模）已知函数fx2sinysin(x)(xR)fx≤3πfx在0π上单调递增，则下列选项中不正确的是（ 4

A．Byfxπ 12

πkπ，k Dfx在ππ上的最小值为44xRfxfπxπfxπππkπkZ,3k2kZ fx在0π上单调递增，所以πππ8 4

所以当k0时，2Afx2sin2xπ 6y π

π π fx122sin2x1262sin2x为奇函数，故B正确 fxπ1gx2sin4xπ 6令4xππkπkZx

πkπkZC 由πxπ2π2xππ，所以f 2，当2xππ，即xπ时，故D错误

[|A|,|A[|A|,|A当A00时，将x视为一个整体，利用ysinx或ycos相应的单调区间求解；当A00 (kZ)时为偶函 (kZ)时为奇函TTx视为一个整体，利用ysinx或ycosx函数函数yAsin(xA0,0) 区间ππxπ63 3fπ33 xπfx12fπ12 (2)fx在区间πm上单调递减，求实数m 【答案】(1)1，(2) xπfxfπ1fπ3

fx在区间ππxπfxxπfx

3 fx的最小正周期T2πππfπ1

6

3 因为T2π，所以1fxsin2xfπsin2π13 2ππ2kπkZ，即π2kπkZ 因为π，所以π fx在区间ππxπfxfπ0

3 fx的最小正周期T4πππfπ1 12 因为T2π，所以1fxsin2xfπsin2π13 2ππ2kπkZ，即π2kπkZ 因为π，所以π （2）由（1）fxsin2xπ 6 xπm，所以2xπ7π2mπ

6fx在区间πm m所以

，解得πmπ 2m m的最大值为πysinx4A倍（横坐标不变）yAsin(x的图象) 3 ππkππ(kZ，化简为2k1(kZ，即可求出 Cg(xg(x)sinxππsinxππ 2 3 g(xyππkππ(kZ，得2k1(kZ 2】（2025·江苏南通·三模）fxsin5π2xsin

2

化简得πkπkZ求解fxsin5π2xsinπ5π2xsin5π2xcos5π2x

12

2sin5π2xπ

2sin2

2π

π

4

3 2sinπ

gx2sin2xπ2sin2x2π 3 fxgxyfxgx，2sin2xπ2sin2x2π 3 3 2xπ2x2ππ2kπkZ，得πkπkZ，0 gxy轴对称，则的最小值为（

A．

,g(x的表达式.然后根据正弦函数的性质,g(xx0处取得对称轴，由此可列出关于的方程，进而求出||的最小值.f(xsin(2x

g(x)sin2(xπ)sin(2x2π g(xygxysinu，当ukππ(kZg(xsin(2x2πx0202πkππ(kZ 2πkππ(kZ，可得kππ2πkππ(kZ 当k0时，π，此时 ππ

AMmkMmk0AMm横坐标之差的绝对值为；（2）k0时，相邻的两个零点之间的距离为；（3）；（4）相邻的两个最高（低）点之间的距离为T。典例见主书$P59T的第一个点x00（）（x轴的交点） 2 yfx的图象与y轴交于点C，且D5,0，B2,A，BCCD0，则f4 B、D点横坐标可确定周期得出D50代入可求BCCD0A即T523，则T12，所以2ππfxAsinπx

f5Asin5π05π2kππkZ，即π2kπkZ 因为π，所以πfxAsinπxπ 又f0AsinπA，则C0,A， 2

2

BCCD10 0A

6所以fx210sinπxπ，所以f4 6 6 ，fx在0,100π上的零点个数

【详解】令xππxπAπ1

令xππx2πB2π,1

3 令xππx7π，则C7π0

6

π2π 因为

，解得 3 fxsin7xπ,fx2π4π x0,100π7xππ350ππ 6 fx07xπ0π2π,349π fx在0,100π4π350【典例3】（2025·黑龙江大庆模拟）yfxfπfπ13

πf5π（ 4

得到对应相位的取值，最后联立可解得 π，从而问题得以解决x1π+ππyfx2 fπsinπ1，则根据图象可取ππ3

π，满足0ππ fxsin2xπf5πsin5ππsinππsinπ3 6

4 6 6 2 πgxgπ（

B．

3T11ππ3πTπ2ππ2 fπsin2π1ππ2kπkZ，可得π2kπkZ6 又π，则πfxsin2xπ 6 g(xfxπsin2xπ

π π sin2 π 12

3

6

3 核心方法：求三角函数周期的方法核心方法：求三角函数周期的方法（1）定义法．T（3）图象法：作出函数图象，通过观察图象得到最小正周期.【典例1】（2025·甘肃酒泉·模拟预测）y3tanπx的最小正周期是（ 4 4 y3tan

x

4【典例2】（多选）（2025·四川雅安·二模）fxcos3xπ，下列说法正确的是（ 6 fx在7π13π 1818A选项：用周期公式T2π计算判断|Bfx对称轴方程，令3xπkπxkππ，再看kxπ C选项：先找出余弦函数单调递增区间，当k1时，该范围包含7π13π，判断18D选项：根据“左加右减”g(x)cos3xπg(x)sin3x，判断即可 2 Af(xcos(3xπ

fx的最小正周期T2πA正确Bycosxxkπ(kZ令3xπkπ(kZxkππ(kZ.xkπππ，解得k1ZB错误 Cycosx，其单调递增区间为2kππx2kπ(kZ令2kππ3xπ2kπ(kZ2kπ5πx2kππ(k 当k17πx13πfx在7π13πC正确 18Df(xcos(3xπ2π个单位长度，根据“左加右减” g(x)cos3(x2ππ.g(x)cos3x2ππcos3xπ 6

6

2 g(x)sin3xD正确.3】（多选）（24-25高三下·山西大同·期末）fxcosxπ，下列说法正确的是（ 3 612fx在区间π612 fx的最小正周期为fx的图象关于点π,0 fxcosxπRfxcosxπcosxπfx x0fxcosxπyyfx 3 由函数图象可知，函数在区间π5π上单调递减，不具有周期性，不关于点π,0612

B正确，C错误，D错误．【典例4】（2025·广东·一模）fx2cos2xx0πfx4，求m

3sin2x1mxR 2【答案】(1π；单调递增区间为kππkππk 6(2)m

3sin2xm2sin2x

πm ∴T2ππ 由2kπ2x2kπ，kZ，求得kπxkπ，kZ 函数的单调递增区间为kππ,kππkZ x0π2xππ7πsin2xπ1,1 2

66

212m4解得m5

核心方法：求三角函数单调区间的方法yAsin(xk(0)同增异减＂.①先观察解析式，分清内函数txyAsintk，其中内函数tx为增函数；②在yAsintk中若A0则此函数的增区间可通过 x2k(kZ)求得

(k

A

注意两者的不同之处.

(kZ)求得，减区间可通过

(kZ求得。（2）yAsin(xk中，若0，则需要利用诱导公式将函数解析式转化为yAsin(xkyAsin(xk应函数的增区间.【典例1（2025·广东佛山·三模fx4cos2xπ的图象向右平移πgx 3 的图象，则下列结论正确的是（

πC．gx在ππ上的值域为 D．gx在0π上单调递， ，

63

3 gπ4cosπ234gxxπB 6 xππ，得2xπ2π,π，则4cos2xπ24C63

33

3 x0π2xππ2πycosx在π2π 2

3

33

33【典例2】（2025·云南昆明·一模）下列函数中，最小正周期为π，且在区间ππ上单调递增的是（ A．ysin

B．ycos

C．ytan

D．ycosAysinx的最小正周期为π，但在区间ππA Bycosx的最小正周期为2πBCytanx的最小正周期为π，且在区间ππC Dycosx的最小正周期为4πD错误189【典例3】（2025·陕西安康·模拟预测）f(xasinbxcosbx(a0b0在区间π2π189 递增，在区间2π5πf70.fx的图象向左平移(0 9 18 y轴对称，则的最小值为（

C．

f(xa21sin(bxtan1.x2πf f7π0可求得π，a3，b3fx2sin3x3π18

6 y轴对称，得到2πk1πkZ，从而求得的最小值 f(xasinbxcosbx

a21sin(bx，其中tan1fx在区间π2π上单调递增，在区间2π5π189

9 x2πfx图象的一条对称轴，所以b2ππ2kπkZ f7π0，所以b7ππ2kπkZ，解得π2kπa3b3 fx2sin3xπ.fx的图象向左平移(0 6 6 f(xy轴对称，得3ππ2k1kZ 所以2πk1πkZ 4 则a的最大值 fx的单调递增区间，然后列不等式，按照k0、k0、k0分类【详解】令π2kπ2xππ2kπ,kZ，则πkπx3πkπ,kZ fx在区间aaa0上单调递增，则aπkπa3πkπ 即aπkπ且a3πkπ且a0 若k0若k0，则0aπ若k0则a的最大值为π核心方法：求三角函数的值域（最值）核心方法：求三角函数的值域（最值）的方法求解三角函数的值域（）常见到以下几种类型：yAsin(x的函数，使用换元法，设txxt的范围，然后再利用三角函数的图象或单位圆求出sint的三角函数值，进而得到值域（最值）．根据自变量xt的范围，然后再利用三角函数的图象或单位圆求出sint的三角函数值，进而得到值域（最值）。yf(sinx的函数，即yf(ttsinx的复合函数，通常可先将解析式化简为一个角的同名三角函数的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元将解析式转变为熟悉的函数，的同名三角函数的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元将解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可，如求形如函数yasin2xbsinxc的值域（）。yasinxcosxb(sinxcosxc的三角函数，可先设tsinxcosx，转化为关于t的二次函数求值域（最值）．一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值． 1】（2025·山西·模拟预测）fxsin2x在区间π7π的最小值和最大值分别为m和M 612Mm（

2

1xπ7π，则2xπ7π，

6当2x7π时，函数取得最小值，即m1 当2xπM1，Mm3

D．5 π x π x3x362tanx 6 gx为奇函数，则ππkπ13kkZ 3（2025·四川三模fxcos2xπ的图象向右平移a（a0a2 3 gxsin2xπfx在区间mn(0mnπg(x在区间(mn anm的最大值为（

fxcos2xπgxcos2x2aπ，结合诱导公式得aπ.fx、gx 3 3 调区间，可得(mnπ5π，由此可求得最大值 36fxcos2xπ的图象向右平移a(0a2gxcos2x2aπ 3 3 因为sin2xπcos2xππcos2x2π 3 所以cos2x2πcos2x2π 3 所以2 2kπ，kZ，解得akπkZ 又0a2，所以aπfxcos2xπ，由2kππ2xπ2kπkZ，得kπ2πxkππkZ 3 当k1fx的单调递增区间为π5π 36 fx在区间(mn)(0mn上单调递增，所以(mnπ5π 2x2x，由2kπ2x2kπkZ，解得kπxkπgx当k0gx的单调递减区间为π5π，所以(mnπ5π

，kZ π

36

36由a2anm

mn nm最大，取n5πmπnmπ

4（2025·上海闵行·二模ycosπxπ在区间aa9 则关于实数a的取值，以下不可能的是（ T2π πxπ2kπkZx12k2kZ πxπ2kπ+πkZx12k4kZ A，若a2024，当k169时，最大值点为20262032，此时位于区间20242033内，A正确；B，若a2025k169时，最大值点为20262032，此时位于区间20252034BC，若a2026k169时，最大值点为20262032，此时位于区间20262035内，C正确；D，若a2027k169时，最大值点为2026，当k1702038求三角函数的零点问题的三种方法：求三角函数的零点问题的三种方法：1．利用三角函数图象步骤：先将三角函数化为yAsin(xB（或余弦、正切等形式）AT2（正切函数周期T）、相位x等特征，画出函数大致图象，根据图象与x交点确定零点。2．利用三角函数性质转化方程f(xf(xAcos(xxf(x解析式（确定A,,等），4 ffxfxf yAsin(xBy0，即sin(xB（余弦、正切类似），角函数的周期性、单调性等性质求解x。先确定x的取值范围，再结合正弦函数ysin（tx)的图象与性质，求解t，进而得到x。3．结合导数（针对涉及极限、切线斜率等情况）图象如图所示，下列说法正确的是（A．fΔxπfπ

4 4

Cfx图象的一个对称中心为π Dfxx0a5个零点，则实数a的取值范围为29π11π

4Afx2sin2x1fπ2sinπ13结合π求出12 ABAAB

，T7πππ A2B1,Tπ,2π2fπ2sinπ13ππ2kπkZ12 解得π2kπkZ，又因为π，所以只能πk0 fx2sin2xπ1A 3 Bfx2sin2xπ1fx4cos2xπ 3 3 fΔxπfπ 4 4 π

B f4sin

4 Cfx2sin2xπ1的对称中心的纵坐标应该是2011，故π2fx 3 CDx0at2xππ2aπfx2sin2xπ12sint10sint1 3

3 将方程sint1tπ7π11π19π23π31π35π 所以sint1,tπ2aπ 31π2aπ35π29πa11πD正确

2】（2025·上海·三模）fx5sinπxlogx 2 fx5sinπxlogxy5sinπxylogx 2 2 fx5sinπxlogxy5sinπxylogx 2 2 x5fx5sinπx5 2 x42y

x5又因为5 6，结合图象可知，两函数图象具有3个交点fx5sinπxlogx的零点个数为3个 2 3】（多选）（2025·江西·模拟预测）fxsinxcosx，则（fx的最小正周期为fx的最小值为fxπ在2π2π3 4 fxπ在2π2π3 4 ABfxπfxπ 4 4 2

2

2sinxπxRf

B

Cfxπ=2sinxππ2sinxx2π,2π 则由sinx0xπ,0π3C对于D，fxπ 2sinxππ 2sinxπ 2cosx，因x2π,2π 则由cosx0x3πππ3π4D错误 22三角函数用导数确定极值点的解题步骤三角函数用导数确定极值点的解题步骤求导化简：根据求导公式(sinx)cosx,(cosx)sinx，复合函数求导法则(f(g(x)))f(g(xg(x)，计算f(x，并利用三角恒等变换（如二倍角、两角和差公式）化简导数表达式.找导数零点：令f(x)0，求解方程的根xx0（即可能的极值点x0左侧f(x0，右侧f(x0x0是极大值点；x0左侧f(x0，右侧f(x)0x0是极小值点.求极值：将极值点x0代入原函数f(x，计算fx01】（2025·河北·模拟预测）fxsin2x2sinxπ在区间02π上所有极值点的和为（ 3 【分析】对函数进行求导，根据导数为0得cos2xcosxπx fx2cos2x2cosxπ4sin3xπsinxπ 3 6 6 由cos2xcosxπ2xxπ2kπ或2xxπ2kπk 3 ①对于2xxπ2kπ，当且仅当k0xπ符合题意 ②对于2xxπ2kπk123x5π11π17π 3

当0xπ5πx11π或17πx2πfx0 πx5π或11πx17πfx0 xπfx

π5π11π17π4π 6 x2y2r2r0fxr的取值范围是（A．2,5

5,29

5,

5,53 2

2 fxx2 6 T1，即1，0 当k1时，2T3fxsin2x 6 于等于原点左侧第二个极值对应的点5,1到原点的距离，即r529 2 3】（2025·安徽·模拟预测）fxexsinxcosx,fxf(x)ax22cosxaR对xπ恒成立，求a

f(x【详解】（1）f(xexcosxsinxex

2sinxπ ①当πx3π5πxππ 所以2sinx0ex0f(x0 4 fx在π,3π 4②当3πxπ时，则πxπ3π 设g(x)f(x)ex2sinxπ，则g(x)ex cosxπ 4 4且ex1，

cosxπ1gx)0 4 g(x在3ππ3

23 π 又gπe40,ge214 2x3ππg(x)0f(x0 2 且在3π,xf(x0，在xπf(x0 0 2 fx在3π,x上单调递增，在xπ 0 2 ③当πx0时，则3πxππ 所以 2sinxπ1，又ex1 4 f(x0fx在π0 ④当0xπ时，则πxπ0 所以1

2sinxπ0，又ex 4 f(x0x0fx在0,π

π⑤当x时，则x0，exe4 2,2sinx 4f(x0fx在π fx在π,x0上单调递增，在x0,0上单调递减，在0上单调递增.所以fx)在π上仅有2个极值点.（2）xπf(xax22cosx(aR即exsinxcosxax20(aR令(x)excosxsinxax2，若(x)0对xπ恒成立，x0时，(x取得最小值.由(x)exsinxcosxa，x0为函数(x的极小值点，故(02a0，解得a2下面证明：当a2x0为函数(x(x)exsinxcosx2令h(x)exsinxcosx2h(x)excosxsinxf(x由（1）fx在π,x0上单调递增，在x0,0上单调递减，在0上单调递增.f(π)eπ10f(0)0，xπf(xf(0)0f(x0即hx0在π所以h(x)即(x)在π,上单调递增，又(0)0，所以当πx0时，(x)0x0时，(x)0，所以函数(x在π0单调递减，在0上单调递增，所以(x(00，即exsinxcosx2x20恒成立，符合题意a2sin 2 若2fπ13 【答案】(1π32

1sin2sin22cos2

(2) 6 （2）代入化简得到2sin3cos，得到tan3，再利用二倍角公式，化弦为切，代入求值 6 fx的最小正周期为π，0，所以22π2，即1fx2sin2xπ1 x0π2xππ5π 2

66ysinxπ2xπ5ππxπ fx的单调减区间为ππ32 （2）由2fπ13 ππ ππ4sin2 216sin2

12

6

3 即4sin6sinπ，故2sin3cos，所以tan3 2 1sin sin2cos2 tan212tan

在利用图象求三角函数的解析式时，选点不当是一个常见的易错点。为了避免这个问题，我们应该优先选择图象上的最高点或最低点，若无法选取最高点或最低点，则选取函数零点求解，此时务必在利用图象求三角函数的解析式时，选点不当是一个常见的易错点。为了避免这个问题，我们应该优先选择图象上的最高点或最低点，若无法选取最高点或最低点，则选取函数零点求解，此时务必注意零点所在的单调区间，如果忽视其所在的单调区间，直接根据公式求，则容易错选．（fx2cos2xπ B．fx2cos2x7π 6 6 fxsin2x5π

fx2sinx7π 3 12

确定φ= ++2kπ,kÎZ， A2,3T13ππ

T=π

ω=2π=2fx经过最高点13π

，故2´13πφ=

2kπ,kÎZ,故φ13ππ2kπ,kÎZ fx2sin2x13ππ2kπ2sin2xππ2cos2xπ

fxfx2sin2xπ 3 3gxf1x 3 fx的对称中心为πkπ,0k xxππ,fxfxxxfxx1 63

【分析】由正弦函数图象求正弦函数解析式的方法可判断A；利用三角函数的图象变换可判断B；根据正弦函数的对称中心的求法可判断C；利用换元法，结合三角函数的性质可判断D.【详解】对于AA2T2ππ，所以2fx过点π0fπ2sin2π 3 可取πfx2sin2xπ，故A 3 对于B：由Afx2sin2xπ 3 fx2倍，可得2sinxπ 3 gx2sinxππ2sinx2π2sinxπ 3 f1xπ2sin21xππ2sinxπ2sinx 二者不相等，故B对于C：由Afx2sin2xπ，所以2xπkπkZ 3 xkππkZfx的对称中心为πkπ0kZ，故C 对于Dx

π,π，令

2xπ,

π1

63

3 则t1t20πfx1fx2x1x2，则sint1sint2t1t20π，所以t1t2π即2(xx)πxxπ 所以fxxf(π)2sin2π ，故D正确 AD B，C是直线ymm0与函数fx图象的从左至右相邻的三个交点，且AB BC，则m（

3T7ππ3π，所以最小正周期T4π2π4π，解得1 fx2sin1x，由图象过点π2，所以2sinπ2

所以sinπ1，所以ππ2kπkZ，所以π2kπkZ 又π，所以πfx2sin1xπ A，B，Cymm0fxAB所以4AB4πABπ1ABπ

BC所以m2sin1πππ2cosπ 2 2 4 三角函数图象平移时，确定平移方向和单位长度遵循以下核心规则：①水平平移：遵循＂左加右减＂原则，针对三角函数图象平移时，确定平移方向和单位长度遵循以下核心规则：①水平平移：遵循＂左加右减＂原则，针对x进行操作。但要注意，若x有系数，需先将提取，x的系数为1，此时平移单位为，向左平移则x加，向右平移则x减。水平平移的本质是根据yAsin(xyAsinx（yAsinx）x在水平方向的移动，平移方向由＂加＂（左）或＂减＂（右）决定，单位长度 确定下平移则函数值减平移量，平移方向和单位长度直观对应＂加＂＂减＂及所加减的数值。1】（24-25高三上·江西·阶段练习）fxsin3x(0ππgx的图象，则（A．

gx

π

sin3x4sin3x4 gx3πkπ,kZ又因为0π，所以π A．

fx1ysin2x g(xy

kπ

π,kÎZ所以kπ+7πkÎZ，当k1时，π 3 y轴对称，则的值可以为（

3 函数，求得16k(kZ，结合选项即得f(xsinxπ(0)πysinxππ 3 3 ysinxππ是偶函数，故πππkπ(kZ 3

三角函数单调区间解题方法（三角函数单调区间解题方法（整体代换法一三角函数可直接用）一三角函数可直接用）2ux，转化为yAsinuyAcosu的单调区间问题。3．套公式：依据正弦、余弦的单调区间列不等式：①若为yAsinu，递减区间满足2ku2k3(kZ②若为yAcosu，递减区间满足2ku2k(kZ4．限范围：解不等式得x通式，结合题目定义域或选项筛选有效区间。

3sinxcosx,xπ,7π的单调递减区间是（ 6 7A．π,

B．2π,

C．0,π

D．π, 6

f(x)

3sinxcosxf(x)2sin(xπysinu的单调递减区间2kπu2kπ3πkZfx的单调递减区间.

πx[ 6f(x)

3sinxcosxf(x)2sin(xπ)令uxπysinu的单调递减区间得2kππxπ2kπ3πkZ fx的单调递减区间是[2kπ2π2kπ5πkZ. xπ

2π [ ]，当k0时，[2kπ ,2kπ ] ]6 而2π7π2π5π]fx,xπ7π的单调递减区间是2π,7π

66

62】（2025·陕西汉中·三模）fxcos2xπ的一个单调递减区间为（ 622A．π22

1212C．π,1212

D．π,5π3636【详解】由2kπ2xπ2kππ,kZkππxkπ7πkZ fx的单调减区间为kππkπ7πkZ 12 3（2025·广西柳州·一模fxasin2xbcos2xa，bR，ab0fx2xRfπ0fx2

fπ66A．π,2π

B．π,3π

C．4π,7π

D．2π,7π63

22

3

6

a2b2sin2x5π 6fxasin2xbcos2x

a2a2∵fx

fπxR66a2xa2

或最小值 a22ππkπ，解得πkπka22∵fπ2

a2b2sinπ

a2b2sin0，∴sin0从而取k1得到ππ5π，由此可得fx a2b2sin2x5π 6 π2kπ2x5π3π2kπ2πkπx7πkπkZ 当k0fx的一个单调递减区间是2π7π 611．正弦型函数的性质（1）函数的零点（图象的对称中心）：满足xk(kZ，因此可得：第二步：解这些方程（第二步：解这些方程（）或不等式（组），【注意】当不等式（）有些复杂时，我们可以先去压缩不等式中整数k的取值范围，进而对整数的取值进行分类讨论，从而求得2 2．＂ω对于三角函数中＂第一步：根据题目的条件，将x看作整体，得到函数f(x)图象的对称轴、对称中心（零点）或函数的最（极）值点所满足的关系，从而建立方程（组）或不等式（组）。x2k(k（4）函数的最（极）小值点：满足x2k(kZ，因此可得函数f(x)的最（极）2 满足x2k(kZf(x（极x2k(kxk(kZ)2 （3）函数的最（极）（2）函数图象的对称轴（最值点或极值点满足xk(kZ，因此可得函数f(x图象的对称轴方程（最值点或极值点） ,0(k x ①函数f(x)1】（2025·江苏镇江·模拟预测）f(x3sinxcosx(0[2,

(2,10

[3,

(3, 【详解】fx3sinxcosx sinx1 fx1，得sinxπ1

2k1x

kZ

3 x

k①②中，分别取k12，因为0x4π2π10π4π10π

3

1041(0gxg(x在0π有两个零点，则的取值范围为（

33A．8,33

B．7,14333

C．8,13333

D．7,13333) 2

g(x在0π所以πππ2π8£w14 6

64是（

B．0,4

C．2,4

3

【分析】先根据题意求出012，再根据πxπ ππxπππ，再根据的范围约束出ππππ πππ，则012 6 因πxπ，则ππxπππ 则7πππππππ23π fx在ππ64ππππ，解得04 这类题型围绕三角函数这类题型围绕三角函数（正切、正弦、余弦型）的对称中心、单调区间、图象变换及零点展开，核心方法是整体代换+性质复用，按以下步骤解题：（acosxbsinx）化为单一正弦／余弦型ωxφ看作整体，套正弦、余弦、正切的对称中心、单调区间、零点性质，转化为含kZ的方程／不等式。x范围、参数限制（a0）k(0,11）称中心、单调区间等；涉及图象变换，用＂左加右减＂（）验证；零点问题转化为三角函数方程解的个数，结合区间列不等式求参数。1】（2025·全国一卷·高考真题）若点(a0)(a0y2tanxπ 3a的最小值为（

y2tan(xπ)xπkπkZ y2tan(xπ)的对称中心是πkπ0kZ 即aπkπkZ 又a0，则k0时aπ即aπ

所示，则下列选项不正确的是（fx的图象关于点7π0 fx的单调增区间为kπ2πkππk 62424gxftxt0在0π2t的取值范围为72424

3sinx2sin(xπ)3Tπ5π)3π，可得Tπ2π，2 fx2sin(2xπf7π2sin(27ππ)0，故A

3π2kπ2xππ2kπ 解得2πkπxπkπ(kZ fx2sin(2xπ)在kπ2πkππkZ单调递增，故B

6y2sin2x5πy2sin2(x5π)2sin(2x5π 2sin(2x5π)2sin(2π2xπ)2sin(2xπ)，故C gxf2tx2sin(4txπ)，x0,π当t04txππ4tππ)g(x 即4tπππ2π]，可得t713，故D正确 2424C3】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）f(x)sin2xg(x)sin(2xπ（f(x)与g(x)有相同的零 B．f(x)与g(x)有相同的最大C．f(x)与g(x)有相同的最小正周 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称【详解】Af(xsin2x0xkπkZfxg(x)sin(2xπ)0xkππkZg(x f(xg(x零点不同，ABf(x)maxg(x)max1，BCf(xg(x2ππ，CDfx的对称轴满足2xkππxkππkZ g(x的对称轴满足2xπkππxkπ3πkZ f(xg(x图像的对称轴不同，D选项错误.4】（2025·湖北武汉·二模）fxsin2xπsin2xπfx 4 的是（A．最小正周期是 C．是区间π,2π上的减函 D．图象关于点π,1中心对33 BCD.1cos2xπ1cos2xπ

π π

6 2fxsin2x sin2x 12 4 3sin2x3cos2x1

π1

sin2x6 fx2ππAfx31fx的最大值是31B xπ2π2xππ7πysinzzπ7π 3

26

26 fx是区间π2πC 3 令2xπkπkZxkππkZ fx的图象的对称中心为kππ,1kZkπππ得k1Z

fx的图象不关于点π,1D错误 代入检验法判断三角函数对称轴和对称中心的特殊值1．对称轴关键值yAcos(xAxx0fx0Axx0是对称轴。f(x2cos2xxf2cos(0)2（取到最大值2x 6

是对称轴.从＂整体代换＂看，令xk(kZ)（），k0x值（x结合题目区间找特殊值验证.2．对称中心关键值yAcos(x0xx0fx00fxhfxh0（中心对称性质验证.比如验证x是否为对称中心，可代入算f hff是否互为相反数.

利用＂

x (kZ)＂（余弦对称中心条件），取k0时的x ，作为优先验证的特殊值，快速判断对称中心.3．周期性关联值T

11 三角函数周期

42

倍。比如验证对称轴，可代入xx04，看函数值是否xxT，利用周期性简化计算。像T(2)T 后结合函数值快速判断对称性质.4．区间端点／中点值x区间（） 612xx 些特殊值围绕＂三角函数性质（最值、零点、周期性）＂和＂题目区间限制＂设计，记住它们，代入检验时能直接抓关键，不用盲目试值，大幅提升解题效率，遇到余弦、正弦型函数对称问题，直接套这些值验证，又快又准.1fx2cos2xπ，则（ 6 fxπ是偶函 B．fx在π,π单调递 6

612 fxx

cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求余弦（型）cosx型三角函数的单1212 【详解】对于A，令gxfxπ2cos2xπ 6 6 gx2cos2xπgxgx是非奇非偶函数，A 6 Bxπ,π2xππ0612

fx在π,π单调递增，B61212Cfπ2fx12

π，CDfx2cos2xπ0xπkπkZ x0πxπx5π fx在0π有两个零点π5π，D 2】（2025·广西柳州·模拟预测）f(x)Asin(xA0,00π的部分图像如图所示，则（）

x17πfx图象的一条对称轴Dfx在ππ的值域为[1

64Bx17πCA2，2π25ππ解得2，A xπfx中得2sin(2π)2，则2π2kππ(kZ因为0

2π,f(x)2sin(2x

，Bx17πfx中得2sin(217π2π)2sin21π2sin9π2x17πfx对称轴，C

xππ2x2ππ,7π，所以sin(2x2π1,164

36

2f(x)2sin(2x2π12，D3】（25-26高三上·云南·阶段练习）f(x)2sinxsinxcosx1，则下列正确的是（fx在ππ上的值域为44x3πfx将f(

yf(x在区间[02π6C；求出所有零点，再根据范围即可求出个数.f(x)2sinxsinxcosx12sinxcosx2sin2x1sin2xcos2sin2xπ 4 Axππ，则2xπ3π,π，则sin2xπ1244

44

4 2fx2,1A

Bf3π2sin23ππ2sinπ2B8 4 y

ππ π

2sin2x842sin2x2

D，令2xπkπkZxπkπkZ 令0πkπ2π，得1k15，则k0,123 f(x在区间[02π4D错误. 2 fxx5πfx的图象关于对称π0 πy2sin2xfx在2ππ 6A2fx的最小正周期为Tπ

πT，所以Tπ，由0及T2π=π=23 fπ2sin2

2ππ2kπkZ12 又||π，所以π fx2sin2xπ 3 对①：由2xππkπ(kZx

πkπ(kZ) 令k1x5πfx对②：由2xπkπ(kZxπkπ(kZ 令ππkπk1Z fx的图象不关于点π0 fx2sin2xππ 3 y

π 2sin2x632sin2x x2ππ，所以π2xπ0 6 ysint在π0fx在2ππ 6Asin(x)Acos(x绘制或分析图像：根据三角函数性质（周期、最值、单调性），结合给定区间，确定关键点（点、最值点）.33．求最值／值域：利用图像的最高点、最低点确定最值；结合区间内函数单调性，判断值域范围，验证选项时代入特殊值（如区间端点、极值点）快速判断.【典例1】函数fxsinx3cosx在0,π上的最大值 fxsinx3cosx2sinxπx0πxππ2π

33 当xππ时，即x5π时，f 2

A．

3cos2xπ个单位长度得到，则（Byfxfx的最大值为Cfx在区间ππ42 Dyfxy2xtxtπ，（tR）所围成的封闭图形的面积为yfxfx的最大值为 ；C选项，求出2xππ,7π，由于y2sinz在zπ,7π上只 36

36 D正确【详解】Agxsin2x3cos2x2sin2xπ πy2sin2xππ2sin2xπ

结合π，可得π，A Byfxfx2sin2xπ4cos2xπ25sin2xπ 6 6 其中tan2，故yfxfx的最大值为 ，B错误Cxππ2xππ7π42

36 y2sinzzπ7π36 fx2sin2xπ在ππ内只有一个极值点，C 6 42 Dyfx的最小正周期为T2ππ2，最小值为-xtxtπ的距离为πy2xtxtπ围成的矩形面积为22π4πyfxy2xtπ，（tR）14π2π，D正确 如图所示，则（Afx的最小正周期为Bxππfx44Dfx在点0,1y23xfxAsin(xA,,fx的解析式，再结合正弦函数A2f(02sin1，即sin1又有ππ，因此πf(5π)2sin(5ππ)0，即sin(5ππ)0

又有05πππ，2fx)2sin(2xπ Afx的最小正周期为T2π2ππABxππ2xπ[π2πsin(2xπ[3,1]2sin(2xπ[32]fx44

3 C，令2xππkπkZ，则2xπkπkZxπkπkZ 当k0xπ，当k1x2πk2x7π（舍），当k1xπ（舍 fx在区间0π2xπx2π，C 对于D，f(x)2sin(2xπ)，f(x)4cos(2xπ)，斜率kf(0)4cosπ 3 fx在点0,1y123(x0y23x1D正换元法求三角函数最值／值域解题策略换元法求三角函数最值／值域解题策略1．换元转化：观察函数，令tsincos等（结合sin2等倍角，利用t21sin2关联），将原函数化为关于t的代数函数.2．确定新元范围：由范围（ 2 ），求的取值区间（利用三角函数值域或单调性3．求函数值域：将新函数（如分式、二次函数）t项时，代特殊值（如对称轴、区间端点）快速判断. 1y

0,，求函数的值域 2

2,【详解】令sincost，即2sint 4

已知0,，那么4 2

4即 ，所以t2sin1,2 4

2

4 由sincost则sin22sincost21，y2t，t2

再令2tzz2

2,1y (z2)2

z24z

z3 yz3fx)axbx0 b fx在

a上单调递减，在

yz3在0,3上单调递减，在3yz3z2

z2

22

2 5 2 z1,134z345

2z340,12，

2 22,那么z3 所以函数的值域为222（2025·山东泰安·模拟预测f(x)3sin2π2x1 gx的图象，则下列结论正确的为（yfxπ x19πgxx0πgx的值域为33

17π,11πgx 24cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）cosx型三角函数的cosx(型)函数的值域f(x3sin2π2x1 g(xg(x)3sin2π4x3cos4xπ 6 h(x) π

π

fx63sin32x63sin

3sin2x 因为hx3sin2x3sin2xhx，所以函数h(xfxπA 6 B:g19π3cos419ππ324

6 x19πg(xx19πg(xB 对于C:g(x)3cos4xπ，由x0,π，则4xππ,5π，cos4xπ

66

6

g(x333C

Dx17π11π4xπ3π2π 24 y3cosx在π0上单调递增，所以在3π2π所以17π,11πg(xD不正确 243】（2025·山东青岛·一模）fxsin2xtanx，则（ B．fx一个周期是 AfxfxA正确；Bfπxfx，B正确；Cfx2sin2x，由于函数定义域，故sinx取不到1，C错误；DC基fx的最小值，D正确.【详解】Afxsin2xtanx的定义域为xxπkπ,kZ fxsin2xtanxsin2xtanxsin2xtanxfx，fx为偶函数，A正确；Bfπxsin2π2xtanπxsin2xtanxfx，fx的一个周期为π，B正确；Cfxsin2xtanx2sinxcosxsinx2sin2x由于函数定义域为xxπkπ,kZ，故sinx取不到 DCxkπkZfx0，D正确4】（2025·广东·一模）fx2cos2xx0πfx4，求m

3sin2x1mxR 2【答案】(1π；单调递增区间为kππkππk 6(2)m

3sin2xm2sin2x

πm ∴T2ππ 由2kπ2x2kπ，kZ，求得kπxkπ，kZ 函数的单调递增区间为kππ,kππkZ （2）x0π2xππ7πsin2xπ1,1 2

66

212m4解得m5

利用三角函数性质求参数解题策略利用三角函数性质求参数解题策略1．性质与参数的关联：周期性：T2(0)（T、对称轴与对称中心间距（ T奇数倍）T与的关系。T，结合已知单调区间范围，列不等式限制对称性：对称轴满足x2．解题步骤：

第一步：分析条件，关联性质：判断题目涉及的性质（周期、对称、单调），从最值点、对称点间T，或从单调区间长度限制。第二步：列方程（组）求解：用周期公式、对称条件列关于、的方程（组），结合0、围（如||），kmZ筛选。第三步：验证参数：将求得参数代回原函数，验证单调性、对称性是否符合题意，确保解的准确性。通过＂抓性质－列方程－验参数＂，利用三角函数特殊点、间距与周期的关联，精准求解、等参数。π，则（ x1x2

Tπ，即Tπ 且0，所以2π2,1212 π0x0πfx的最小值为（ 2A．

ππ【详解】设fx的最小正周期为T，根据题意有

，m,kZ 2n

3

nZπ2nππ,4n2 fx在5π,πT

π5π,

π01212

12

12 π∴2，则 ∵ππk0m1时，πfxsin2xπ 3 x0π2xππ,4π 2

33 sin4π3 )值为（

f(x

2sin(2xπ

f2xπ2xπ2kπ，或2xππ2xπ2kπ，结合0π即可求解 4 fff

2sin(2xπ)2sin(2xπ)2sin(2xπ) 即sin(2xπ)sin(2xπ) 2xπ2xπ2kπ（舍去，因为不恒成立 或2xππ2xπ2 4 2ππ2kπ，即π π个单位，此时图象正好关于坐标原点对称，则以下结论正确的是（fx的最小正周期为fx在0π上的最小值为yfxfxπ的一个对称中心为π0 6 xππfxa有两个不同的解，则a23

fπ2sinππ0，即ππkπkZ6 所以6k2kZ，又03，解得2fx2sin2xπ，最小正周期为T2ππA 3 x0ππ2xπ2π，所以3

π1 2

sin 3 可得 fx2，所以fx的最小值为 ，故B正确yfxfxπ2sin2xπ2sin2x2sin2xπ 6 3 3 xπy2sin2ππ2sin0 所以π0C πxπ2xπ2π5π 3xπ11π2xπ2π,3πfx212 2x11ππ2xπ3π5π,fx 3fxa有两个不同的解，所以a2

3D五点法求三角函数解析式解题方法五点法求三角函数解析式解题方法明确＂五点＂：正弦型函数yAsin(xkA0,0)的＂五点＂为：零点（与x轴交点）x0,,2（对应图象上升、下降过x轴的点）；x3（对应图象最高点、最低点） AkA（最高点与最低点纵坐标差的一半）k是平衡位置（纵坐标和的一半）。第二步：求第二步：求：通过图象中＂五点＂的间距算周期T（如相邻零点间距为T），再由2第三步：求：选一个＂关键点＂（如已知零点、最值点）代入x对应角度（0,等）出，优先取||确保解析式准确。通过＂定振幅一算周期代点求相位＂，利用＂五点＂的特殊角度对应关系，可精准求出三角函数解析式。图所示，ABAxxAAA2，AB25，fxyD0,3．则下列说法正