2027年高考数学一轮复习资料 专题09 向量及其应用

专题 向量及其应理·盘·破·辨·05点·知识点 向量的实际背景与概2向量的几何表示ABBABA.ABAB的长度，记作|AB|，易知|AB||BA|.向量也可以用字母a,b,c,表示. 印刷用黑体书写用→,b,→，注意区分. 长度为0的向量叫做零向量，记作000与000是一个向量，且有|0|0方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a与b平行，记作ab规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0a长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作ababc是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l向量相等具有传递性，即若abbc，则a向量相等具有传递性，即若abbc，则ac.而向量的平行不具有传递性，即若abbc，未必有ac.因为零向量平行于任意向量，那么当b0时，ac可以是任意向量，所以a与c不一定平行.但若b0，则必有abbcac知识点 向量加法的定义及两个重要法前提：已知非零向量abAABaBCbAC叫做a与b的和，记作ab，即abABBCAC前提：已知两个不共线的向量ab作法：在平面内任取一点O，作OAa，OBb，以OA,OB为邻边作OACB结论：以O为起点的向量OC就是向量a与b的和，即OCab规定：对于零向量与任意向量a，我们规定a00aa知识点 多个向量相量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示（对应多个向量相加的图形）.06.2.1-2，在(n1)A0A1AnA0A1A1A2A2A3An1AnAnA00.3向量加法的运算律abbABCDABDCa，ADBCb

ABCACABBCab，在ADCACADDCba，故abba，即向量的加法满足交换律.（对应平行四边形交换律图形）ACABBCabBDBCCDbc，所以在ADCADACCDabc，在ADB中，ADABBDabc，从而(abcabc，即向量的加法满足结合律.（对应结合律图形）AaAabb，再走过的位移为向量aA一定会到达同一终点.多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(abcdbdac我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a.零向量的相反向量仍是零向(a)aa(a)(a)a0若ab互为相反向量，则abbaab0向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即abab.求两个向量差的运算叫做向量的减法作非零向量ab的差向量ab如图，已知向量ab，在平面内任取一点O，作OAaOBbBAOA作非零向量ab的差向量ab【真题演练】（2025·辽宁·一模）已知ABCDBD3BCAD（3AB B．3ACAB

AC

ADABBDAB3BCAB3ACAB3AC2AB 1向量的数乘运算一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向当||1时，有|a||a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向（1）或反方向（1）上伸长到原来的||倍；0||1|a||a|a的有向线段在原方向（01）(2)对于非零向量a，当 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量ab,1,21】（2025·四川自贡·三模）在ABCDAB边上的中点，则CA（2CD

CD

2CD

CDDAB所以CACB2CD，即CA2CDCB 2（2025·广东深圳·二模ABCDACABADACBD”是“是正方形”的（ ACABADACBDABCDABCDACABADABCD ACBDABCD ABCDACBDACBD 故ACBD”是“ABCD是正方形”的必要不充分条件知识点 向量共线定向量a(a0与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使baa0不能漏掉若ab0，则实数可以是任意实数；若a0b0，则不存在实数，使得b一般地，解决向量ab共线求参问题，可用两个不共线向量（如e1e2）表示向量ab，设ba(a0根据该定理，设非零向量a根据该定理，设非零向量a位于直线l上，那么对于直线l上的任意一个向量b，都存在唯一的一个实数，使ba也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 知识点 向量的数量在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移sF所做的功W|F||s|cos，其中是F与s已知两个非零向量abO是平面上的任意一点，作OAaOBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，也常用ab表示.当0时，向量ab当时，向量a,b相互垂直，记作ab当时，向量ab记作ab，即ab|a||b|aab不能表示为ab或ab规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0a0如图，设abABaCDbABAB做向量a在向量b上的投影向量.如图，我们可以在平面内任取一点O，作OMaONbMONM1OM1就是向量a在向量b上的投影向量.显然，a在b上的投影向量（与向量b共线）与b在a上的投影向量（与向量a共线）是不同的.|a|cos称为向量a在向量b上的投影的数量，可以表示为a

向量的数量积ab的几何意义：b的长度|b|与a在b上的投影的数量|a|cosa的长度|a|与在a上的投影的数量|b|cos→ ∘ 1】（2025·湖南永州·模拟预测）ac60,a3,c2，求ac与a在c比值为（ 【分析】首先根据向量数量积公式求出ac，再根据向量投影公式求出a在c → a3,

a,

60,cos60→ → →所以acaccosac3 → 所以向量a在ca

a,c故ac与a在c上的投影长度的比值为3322】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知|a|6，|b|8，b在a上的投影的数量为4，则|ab（

【分析】根据投影数量求出数量积，故可求|ab|【详解】因为b在a上的投影的数量为4ab4b24 a2aba2ab→ → →100|ab 知识点 向量数量积的性质和运算aeea|a|abab0当a与bab|a||b|；当a与bab|a||b|特别地，aaa2|a|2或|a|ab||a||b|，当且仅当向量a,b共线，即ab时，等号成立

对于向量abc和实数，有abbaab0ab至少有一个为或abab0ab至少有一个为abbcb0或acabbcac或bb,ac(abc与abc(ab)c 1】（2025·四川达州·模拟预测）已知向量ab120°a2b1a2b

→【分析】由a2b计算即可 →

→ 【详解】因为a2ba4a·b4b4421cos120412 a2b23

【真题演练

a

，a

2a

论正确的是（→

a,b33

B．3a8b→ 3

C．3a8b

D．8a3b【分析】将已知条件平方，化简可得ab

ab，则

b

又由a2b2ab可得a 4ab4ab4ab

→

3即8ab3a3b3a，即ab8a a 3a→a→

a,

→

，故A→ 3

对于选项B，由于ab

，则8ab

0，即3a8ba0 所以3a8ba，故B

对于选项C，3a8bb3ab8b →2119a0，故C → 9 55对于选项D，8a3ba8a3ab8aa a0，故D错误

【真题演练3】（2025·河北·三模）a2b2ab1ab（ → →abab2ab，可求模 → →abab2ab4127 故ab 知识点 平面向量基本定e1e2是同一平面内两个不共线向量，那么该平面内任一向量a1,2定理的证明：包含存在性和唯一性.存在性是说存在实数1,2，使a1e12e2，通过作平行线构造平行四边形，结合向量相等证明；唯一性是指对任一向量a，若a1e12e2且a1e12e2，利用e1与{e1e2对向量a进n个不共线向量e1,enn个实数1,,n组成的1e1nen是向量线性组合，若a是其线性组合，称a可分解成这些向量的线性组合，{e1,en}是关于a的基底.1】（2025·湖北武汉·模拟预测）ABCDAD2BAD45EACBE2AB（

ACBE用→和–––→ ABADACBEABCDACABAD

E为CDDE

DCDCABDE

2AB

BEBCCEBCADCEDE2ABBEAD2AB ACABADBEAD2ABACBEABADAD2AB–– 1–– 1–– 1–– 可得：(ABAD)(ADAB)ABADABADADABABADABAD 已知AD ，BAD45，设ABx ABAD|AB||AD|cosBADx

2cos

x

22

AD|AD|22)22AB|AB|2x2所以ABAD

AB

1x

x22 ACBE21x1x222x2x0x0x1 AB为平行四边形的边，长度不为0x0AB

2（2025·湖南·三模）在ABCDBCBDBCAD4AB4AC则实数（ AD

AB

AC，所以知识点 平面向量的正交分解及坐标表成正交基底.平面内任一向量a可分解为1a12a2，当a1与a2垂直时，就是正交分解，比如重力沿互相垂xyij作为基底，平面内任意向量a可表示为axiyj，有序数对(xy是向量a的坐标，记作axyxy分别是ax轴、y轴上的坐标，且i(10j0,1000).a相等的向量可用以原点O为起点的OP表示，aOPx时，(xyP坐标也是OP坐标，即平面内每个向量可用有序数对唯一表示，向量与有序数对一一对表示形式上，向量a(x,yA(x,y【真题演练（2025·安徽马鞍山·二模已知平面向量a，b满足a13，b2xabx（

【详解】因a//b，a1,3，b2,x，则 x知识点 平面向量线性运算的坐标表由于向量ax1y1bx2y2等价于ax1iy1jbx2iy2jabx1iy1jx2iy2jx1x2)iy1y2)j，即abx1x2y1y2同理可得abx1x2y1y2A(x1y1B(x2y2，坐标原点为O，则OAx1y1OBx2y2ABOBOA(x2,y2)(x1,y1)(x2x1,y2y1) 1】（2025·云南·模拟预测）已知向量a2,1b12ab（

a【分析】利用向量相减的坐标表示，得到a 2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）向量abc 则 a(1,1),b(6,2),c(则 1

则3

，则

1，则2.5

2平面向量数量积的坐标表示由于向量ax1y1bx2y2分别等价于ax1iy1jbx2iy2j 1 1 1 1abxiyjxiyjxxi2xyijyxjiyyj2.又ii1jj1 1 1 1 1abx1x2y1y2已知i已知ij为单位正交向量，则|i||j|1，从而i2|i|2j2|j|21ijijji0公式ab|a||b|cosab与abx1x2y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式ab|a||b|cosab求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式两向量的坐标，则可选用公式abx1x2y1y2x2若a(x,y)，则|a|2x2y2或|x2其含义是：向量a的长度（模）等于向量a的横、纵坐标平方和的算术平方根a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1y1)(x2,y2a(x2x1,y2y1(xx)2(xx)2(yy 1】（2025·福建漳州·模拟预测）已知向量ax,1b42，且ab，则ab（

a/【详解】由 可得2x140，求得xa/因此可得a·b2412102】（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量a12b23，则下列结论不正确的是（A．baaC．2ba

B．ab21a55Db在a方向上的投影向量为855 【分析】根据向量减法的坐标运算求出baA；根据向量加减的坐标运算

A，因为a12b23，所以ba1,1，所以baa11123A B，因为a12b23，所以ab3521a13b53 所以ab21a13b35530B 32C，因为a12b23，所以2ba342b32

5C D，因为a12b23

，ab12238ab 816b在a方向上的投影向量为→2·a·1,2 ，故D正确 553设ax1y1bx2y2，其中b0.ab共线的充要条件是存在实数，使ab.(xy(xy)x1x2消去xyxy0这就是说，向量

y

1 2 ab(b0x1y2x2y10.（可简记为：纵横交错积相等 x1y1(x0y0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例 当a当a0，b0时，abx1y2x2y10也成立，即对任意向量ab都有：x1y2x2y10abA(x1y1B(x2y2C(x3y3ABBC，从而(x2x1y2y1)(x3x2y3y2)，即(x2x1y3y2x3x2y2y1ABAC得到(x2x1y3y1x3x1y2y1)，ACBC得到(x3x1y3y2)x3x2y3y1).由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.可得

abx2 x2x2 x2

x1x2y1 x21 12xxy 2.由于向量bxy在向量axy上的投影向量的长度为|b|cosab，从而向量b在向量0时，1 1xxy 1 1xxyy0( 1 11xxyy0设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则abx1x2y1y20.（可简记为：横横纵纵积相反）可与向量共线 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.ABACABAC0(x3x1)(x2x1)(y3y1)(y2y1)0

→ a,a

（4

2

4【详解】由题意可得a2b5,1，故

→

aa →

15314 aa →2】（2025·河南·二模）已知平面向量a13b2,1，则cosab（

→ a a5【详解】由题意可得cosa,ba5 1平面几何中的向量方法1ababx1y2x2y10(b0)abab0x1x2y1y20。cosa,b

abx2y2 xx2y2 x2

x1x2y1 x2求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：|ax2(x(xx)2(yy |AB||AB 【真题演练】（2025·广东广州·二模）ABCDACAD4CAD60ABC90 【答案】B，E，DAC4B点坐标，即可得答案.DACFDFx轴，DDFy轴，建立直角坐标系.ACAD4，CADD00，A232，Bxy，C231AH

AH2AE

SEx,

1CG 又注意到AHE~CGE

11，则 CA则x23,y210,4E 2

3 B，E，DDEDB2x23yx33yBC2BC2AC

42x232y22y22x243xy2807y29y20y17y2y1y2x

y1，x33B327则DB 27272向量在物理中的应用123力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W|F||s|cosFs。功是一个实数，它可正，可负，【真题演练】（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳OA，OB一端分别固定在A，B处，在同样的细绳OC的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 计，横线上填OA或OB或OC【答案】【分析】设OAOBOC三条绳受的力分别为abc，则abc0 OAOBOAOC，得到答案【详解】设OAOBOC三条绳受的力分别为abc，则abc0 ab合力为cabccAOBC ∵OBOC,BCOA ∴OAOB,OAOC → ab,acOAOA【典例1】（2025•合肥模拟）已知向量 →2,|b|4，则“a与b共线”是“→b|2”的 a,b,|a|a,b,|a| a,【分析】根据讨论a,|a→2,|b||a||a与bb|6，a与b反向共线时b|||||ab|2，而→2,|b||aa与b|a与bb|2|B2】（2025•河南模拟）ABCDBC3AD2ADBCBM3 3足2BMMC，点N满足DC2DN，且MN ，则AB 3【分析以B为原点建立平面直角坐标系设ABn根据条件写出各点坐标利用MN 可求得3BABnM(10)An，3nDn2，3n C(3,0)，N(n5，3n) ()() 3

3 3

3n180

n

→ 【典例3（2025•湖北模拟已知m，n，l是同一个平面内的三个向量“m(nl)(mn)l“m//l”的( 【答案】(m→0→l→→lm(m →m/当m//l时，若l0，显然m(nl)(mn)l成立；当l0，因为→ ，所以→m/ → mnlklnlk(nl)l(mnlkln)lk(ln)l →mnlmn → → mnlmnlm//l”的必要不充分条件．C．实数与向量实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的大小为|a||||a|，其方向与对于非零向量ab，当0时，有aba（1）aa；（－1）aab→b的一个线性组合（、均为系数）．如果1b，则称1

1】（2025•嘉兴模拟）OAB所在平面内，点CAB3BC，记OAaOBb，则OCA．1→2

B．2 1

C．1 4

D．4 1a b 【答案】

ab

a

ab

AB3BCAC3AB又–– →OA OB 则OCOAACAO

1 4OBa b． C 【典例2（2025•连云港模拟在△ABC中点D为AB的中点点O为△ABC的重心则OAOB

【解答】解：如图，连接CD因为点OABC 则O为CD的三等分点，且CO2OD 所以OAOB2ODCO 【答案】

AF

(ADAE)

(ADABBE)

(ADAB

BC)

AB

， 所以7C 4】（2025•山西模拟）ABCABACAC6–––→1–––→EBD (AEBD)CD

AACxABy轴建立平面直角坐标系，A(00)D(02)C(06B(b0)，

所以E(,1)，AE(,1)，BD(b,2)，CD(0,4) 所以AEBDCDB

b,3)(0,4)12abe是与ba与b和夹角为（1）aeea|a|abab0；（判定两向量垂直的充要条件当a,b方向相同时，ab|a||b|；当a,b方向相反时，ab|a||b|；特别地：aa|a|2或|a| aa（用于计算向量的模） →|a||b（5）|ab|•|a||b（1）abba 1】（2025•吉林校级模拟）eae12025b→

→，当

时，|ae|等于

a,a, ae1，所以1b0a1，则b11 a因为2025b →，所以(2025x，2025y)(1，a)(2024，0)(2025，ax

即y

，所以bOB a,b,不妨设a0，则向量a,b,因为因为a,

AOBAOEBOE，tanAOEa，tanBOE

所以tanBOAtan(AOEBOE

tanAOEtanBOE

a 20242025

a

当且仅当2025a，即a 易知0BOA

ytan

在(0,)上单调递增a,所以当a,

取到最大值时，ytanBOA取得最大值，此时a ––故|ae||EA

(abb

|a3b|的值为 【分析】首先根据向量的垂直关系求出向量 ab满足|a|3|b|1，因为(ab)b， 所以(abbabb

3cos→10解得cos→→1a, (a(aa6ab 963(1)所以|a3b

B

cos

ac,bc

|a||b|1,|ca,b,【分析】根据→→ → ，且→b→0，设出向量|a||b|1,|ca,b,ac与b→【解答】解：由→→ → ，且→b→0，设a(1,0)，b(0,1)，c(1,1)|a||b|1,|c ac2,1b1 所以 |a所以

2222

12 |12

，(ac)(bc)224 (ac)(b 可得cosac，bc

→ 55|ac||bc

4（2025•江苏模拟已知|AB|3，|AC|2m|ABAC|•|ABmAC恒成立，则cosBAC

【答案】m23mcosA3cosA1⛩0m恒成立，再0即可．

m| AC | mAC |ABAC|2•|ABmAC|2又(3cosA2)2⛩0，(3cosA2)20，cosA2C

(BC

––→0，A，则 cosB

tanB cosC D–––→在→1

AB

––→0，A，

2AC) 即ACAB

AB0

3ACAB

0 3|AC||AB|cosA|AB|20

即|AC||AB||AB|0，可得|AB|

|AC|，AB3ACAABCACsinB sin若cosBAC，则cosBsinB，即sinAcosBsinB可得tanBsinA

sin因为A，所以tanBsinB 3

由|AB||AC|及正弦定

CAB2B

sin

sin 在△ABC中，sinCsin(AB)sin(B) 3cosB1sinB若tanB

3，即sinB

3cosB

3cosB13cos代入sinC3

3sin

3cos 所以cosBACAB，由上述分析可知tanB

3B对于选项C，因为tanB

3，B为三角形内角，则sinB 21 cosB

492127 在△ABC中，cosCcos(AB)cos(B)1cosB 3sinB 7，所以C选项正确

DACAB上的投影向量为|AC|cosA→|AB

因为|AB

|AC|，cosA，所以投影向量为|AC|

|AC

3ABABC．【典例6】（2025秋•广东月考）已知向量 满足→b|→b|2|b|，则cos→b,b

a, | | 【解答】解：设→→→

–– OCa BAa |ab||ab|2|b| 则由|ab||ab|，可得|OC||BA|，所以平行四边形OACB为矩形，

，所以BOC|OC|2|b|2|OB b,所以cos→→cos1 b, 设abABaCDbABAB直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a→|b投影，是一个动作。投影向量，是一个向量。我们把|a|cosd在向量b上的投影。那么投影向a在向量b上的投影向量为|a|ecos（其中e为与b同向的单位向量）b共线，其方向由向量a和b夹角ab方向上的投影向量与ba方向上的投影向量不同，ba方向上的投影向量为 |a1】（2025•河南模拟）已知向量ba

，|a|3，则a(ab) 【答案】 【分析】根据投影向量的概念可得|b|cosabb a,|b|a,

ab1|a → 1ab

|a|1， →→所以a(ab)|a ab9 →→C【典例2】（2025•西宁二模）已知向量a(1,2)，b(1,1)，则a在b上的投影向量为

，2

1(,2 a 【解答】解：由题意，a在b上的投影向量为→→ (，) |b||b3】（2025•广州模拟）pqp11|q|1pqq2，则qp向量为 A．(2,

B．(1

2,2

2 则|p → 因为pqq →

2

|q|pq12，pq1，qp

→(p(→

)p

1p1

1,) 2B4】（2025•江西模拟）ab满足→2|b|，且向量b在向量a1→|a a则向量a与b的夹角是 【答案】 1ab满足|a|2|b|，且向量b在向量a4a |b 1

cos |b|cosa,b→(→cosa,b)a(cosa,b)a|a |a

a

a,b且a,b[0,a与b的夹角是C如果

【分析】根据平面向量的线性运算法则，求出用→表示→的式子，结合平面向量基本定理算出

AB,

BD3BMADAB3(AMAB)AM3AB3AD

DACAD

ACAM

AB

AC结合题意––– –––→，可得2，1，所以5

【典例2】（2025•扬州校级模拟）如图，已知ABa，ACb，BC4BD，CA3CE，则DE A．3→1 B．5

3 C．3 1

D．5 3b a

b

ab

a BC【解答】解：–––BC DCBC(AC

5 3DEDCCE(ACAB)CA()ACAB ba B B．1––

C．1––

AB AD

ABAD

ABAD

ABAD AF

ACAE，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求AF

(ACAE)，

ACABADAE2ABAF

1–– (ABAD

AB)

AB

AD． 表示转换：将向量vv用基底e1和e2表示为vxe1ye2 1】（2025•辽宁模拟）ABCDEFG是线段CD上靠近C的三等分点，则GA

D．10––

BACE 【答案】

BA

BA BA、CE表示GAABCDEFG是线段CD上靠近C

所以GAGCCBBA3CDCBBACDCEEDCEBA，CBEFCFCE2BACE 所以GA

(CEBA)(2BACE)BA

CE． C当向量b为零向量(00)a与bx1y2x2y10也成立，因为零向量与任意向量1 2若两个非零平面向量ax,y,bx, b的充要条件是xyxy0 则x 【答案】

【分析】若 –––→，则→––→，然后结合向量数量积的坐标表示即可求解n//

ABCDA(10)B(x,1xABx1,1xn23

n//

nnnx1Ca/【典例2】（2025•凉山州模拟）设xR，向量a(x,1)，b(4,x)，则x2是a/ a/【解答】解：a(x,1)，b(4,x)a/x24x2a/故x2是→ a/a/【典例3】（2025•黄山模拟）已知向量a(x,2x3)，b(x,1)，若 ，则xa/ C．0或 D．3或【答案】xx(2x30x02，经检验成立．C．【典例4】（2025•海淀区二模）已知向量a(1,2)，b(x,1)．若a与b共线，则x

2x1a12)bx1a与b2x1x1]向量a和babxxyy1 12．计算向量的模|a|和|b|:|a x2y2,|b x2y2 3．代入公式求cosab,|a|,|b|代入 |a||b→b，它们的夹角为(0b|||b|cos|a||b1．计算向量的数量积 ：aax,y,bx, 【典例1】（2025•内蒙古一模）已知a，b为单位向量，且|3a5b|7，则a与ab的夹角为 【答案】

b为单位向量，且|3a5b|7 (3a 9

30ab25b

930cos 2549 解得cos→ a,

→ →

1(cosa，

a(ab

aa

3112cos→→(ab)112cos→→|a|| b0•→→b)ab的夹角为 C b 【典例2】（2025•宝鸡校级模拟）已知向量e1(1,0)，e2(1,3)，设a4e1e2 3e1e2，则a与的夹角为 【答案】ab→b|a||b| e1(10e21,3→

(5,3)，

(2,

3) b1037，a与b的夹角为，a

|a

，|

则cos

→ 227|a||ba与b的夹角为C 3（2025•岳阳模拟已知O，N，PABC|OA||OB||OC|,NANBNC0 且PAPBPBPCPCPA，则点O，N，P依次是△ABC的 A．重心外心垂 B．重心外心内C．外心重心垂 D．外心重心内【答案】【分析】据OO是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断P是三角形的垂心．根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有CD

，–– PAPBPBPCPC

PB(PAPC

PBCA

PBP是三角形的垂心，C aabxxy1 130xxyy1 1a与a0ab1．确定向量坐标（若向量以坐标形式给出）：设ax,y,bx, 【典例1】（2025•保山校级模拟）若|OAOB||OAOB|则向量OA,OB的关系是 【答案】

OAC【典例2】（2025•四川模拟）已知向量a(1,2)，b(cos,sin)，且→b，则tan

a12)bcos,sin→b则cos2sin0，解得tan1B【典例3】（2025•新乡三模）已知向量a(2,3)，b(1,)，若→b，则的值为

B．

bb230，解得2 B011 1】（2025·江西·二模）设aba在b

b，则|2ab|（ abb1

→ 【详解】由题意可得→

a

1，则ab2a2a4a4a→→2a

421 若OA∥OB，则m

若OAOB，则m––→不可能为单位向 D．若m1，则|2OAOB|D.【详解】若OA//OB，则112m0，解得m1，A若OAOB，则1m2)(10，解得m2，BABm1,1，当m1|AB|1AB是单位向量，C若m1，则2OAOB(33),|2OAOB|

，D3】（2025·贵州·二模）若ab【答案】1

→a,b

2π，则a,ab 7 a, 【详解】作→→AOB2πAO a, 则OCOAOBab，而ab均为单位向量，则|OA||OB→ 因此OACB

a,abAOCAOB 4eae,BDABe14DB3DC0BDBC、CDBC的关系ADABAC表示的当向量用基底（e1e2）表示时，判断共线需要看它们的基底系数对应成比例。在第13题中，则2（ C． 【分析】由平面向量基本定理结合4DB3DC0BD7BCCD7BC 【详解】由4DB3DC0BD7BCCD7BC ADABBDAB

BC,ADACCDAC

则2ADABAC

BCABAC

ACAB

AB

ACAD

AB

AC 所以2423 A，B，Da的值为（ ABe1ae2BDCDCB5e14e2e14e24e18e24e12e2因为→

共线，a2ABCDEFGHAB1，O为正八边形的中心，则（）A．OAOFC．cos2OAB2

B．OAOCD．ABAEAOAOFOAOBBAA BACOBMMAC的中点，所以OAOC2OMBC，在△OAB中，易知AOBπ，且OAOB，所以2OAB3πcos2OAB

2式可得cos2OAB1cos2OAB2

2CABAE对于D，连接EB，则ABBE，所以––→–– ––→2ABAE4】（2025·四川绵阳·模拟预测）设在ABCDBCBC2BDEAC边上的中点.ADmACnBE（）

3

nBC2BDDBCBC2DCEAC边上的中点，所以CE

AC 由BEBCCE2DCAC2ACADACAC2AD 3 ADmACnBE2n2m， 5（2025·浙江嘉兴·三模）在△OAB所在平面内，点CAB3BC，记OA

，则OC（1 2 b

r1a+

1 4

4 1 b

【详解】由向量的线性运算可知OCOAACOAABBCOA

1 4 OBOA b.

a(ab)(ab) |a （1）运算律方面：数量积不满足结合律b→b→1】（2024·北京·高考真题）ab是向量，则ab·ab0”是ab或ab”的（ 【分析】根据向量数量积分析可知abab0ab，结合充分、必要条件分析判断 →

→ 【详解】因为ababab0，可得abab 可知abab0ab 若ab或abab，即abab0 若abab0ab，无法得出ab或ab 例如a10b0,1ab，但ab且ab 综上所述，abab0”是ab或ab”的必要不充分条件

2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量aba1a2b2，且b2abb（

B．

C．

→

→ 【分析】由b2ab得b2aba1,a2b2，得14ab4b16b4，由此即可得解

→

→ a1,a2b2

2ab所以

→ 4ab

1

4从而b 【典例3（2025·湖北武汉·二模四棱锥PABCD中，ABAD ，CBCD5，BAD90，PB4PC3，△PBC内部点Q满足四棱锥QABCD与三棱锥QPADPQ 6PQBCRBRBCPQPRPQ2为的函数，进而求出最小值.BC(BD 由ABAD ，BAD90，得BD25，又CBBC(BD

S

1BD

12525

ABD

105PB4PC3PB2PC2BC2PBPC

cosCBD

5,sinCBD25 sinABRsin(CBDπ

2(2310 310 1 531015,

)

6PQ PQ

25(t8)232(t8) 25t2432t PQ36 36 )

当13，即t26,2(PQ2

36PQ613

6

a 3．向量等式的变形技巧：对含数乘的向量等式（如||b|b|→2b）|k||b|aaa, 共线，则存在实数，使1】（2025·内蒙古赤峰·三模）9PABCBD2DCBE2EPABDE的体积为（ ABDE的高相等，得到

4V

S BD2DCBE2EPSBDE2 DEBCBP上靠近CP

(3)9ABCPABDE的高相等，且VPABCVABCP9所以VABDE4，可得

4

4VA

A

9A【典例2】（2025·河北衡水·模拟预测）已知非零向量a，b满足 →→2b，则|b|（|a|b|b|

|a |a||a||b|

→2b

→2)b(|b|

→，则ab(|a(|a

2)|b|(|b|

→，整理得2|b|→，而 为非零向量(|a所以|b|1

1)|a

|a

a,3AB=4AC=7BC AD

2ABAC)AD

––→

2ABACcosBAC，即可求cosBAC 1–– 1–– 【详解】由AD(ABAC)，得ADAB ABAC2ABAC AD

––→

2ABACcosBAC 4914272247cosBAC 即cosBAC2BC2AB2AC22ABACcosBAC4272247

28BC9．

1．内心（角平分线交点）PaPAbPBcPC0(abc为ABC三边）P为内心。可2．重心（三条中线交点）AMABAC且1M为重心（2向量表示体现为系数均为）。P为ABCP满足CP

BP

PABPxBAyBC，则

x

6 【详解】由CPcBPcPA，得aPAbPBcPC0 即aAPbABAPcACAP

0 整理可得abcAPbABcACbcAB

AC ACP在BACP在BCA的平分线上，P为ABC的内心．BPACDPPEACPFABBPxBAyBCBD

BA

BC， D，A，Cxy1xyBP

BP

1

1

1

1

因为cos∠ABC2，所以sinABC 6 代入得6

6PDPEPDACxy662】（2025·湖南长沙·一模）在△ABCA，B，Ca，b，cM是△ABC所在平面上一点，且AMABAC则下列说法正确的是（）若010101M在ABC若1M为ABC若2,1，则AMC的面积是ABC 若b2c3BACπ，M为ABC外接圆圆心，则 A，当1BM,C三点共线，由向量的线性运算可知，当010101时，M在ABCA正确； 对于选项B，设BC中点N，G为△ABC的重心，AG AN2ABAC1AB1ACAM，故B 3 CAM

AB

AC 则BMAMABABACABACAB MBCBM:BC13MC:BC23和BCD₁AMABACM |AB |AC故AMAB ABAC3,AMAB9

,AMAC342，所以4,1，所以11D正确 11 11 2kmen223.要注意向量共线与向量坐标（若有坐标）的关系，若向量用坐标表示，可利用坐标共线的公式（axy,bx bxyxy01a与共线，则存在实数amen1 1men2 2（ee不共线） mene1】（2025·北京·二模）设平面向量a与bksR，则kb2b共线”是sk2”（ 【分析】根据共线定理可得akbsa2b，由a与b不共线，得k20且s10

由于平面向量a与bk20且s10sk2因此kb→2b共线”是sk2”的充要条件，2】（2025·山东枣庄·二模）已知向量a21b1m，则（ Aab的充要条件是mBab的充要条件是mCa与b垂直的充要条件是mD．若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是222212Aab

m4，则m2或m2，ABa//b2m1m

，BCab2m0m2，CD，由a与b的夹角为锐角，得ab0且a与bBm1，D错误→ 3】（2025·广东茂名·二模）已知向量e1e2不共线，且2e1e2∥3e12e2，则实数（

D． → 2 所以2k，解得

k ax,和bx, b，则xyxy0。利用此公1 21】（2025·辽宁盘锦·三模）A00B(2,1)C(2D(21)，若→DC共线，则（ C．1或 D．2或 与DC的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可又DC共线，故22，解得2或1．kx轴正方向成(90k)SnSOPSn85 【答案】【分析】根据题意，求出向量vkSnn即可【详解】根据题意可知vPPkx轴正方向成(90k) k1vPP(kcos(90k),ksin(90k)) k1 SOP(1cos902cos1803cos270ncos(90n),1sin902sin1803sin270nsin(90n) ∴S4OP4(24,13)(2,2)，S422S8OP8(2468,1357)(4,4)，S8 S12OP12(24681012,1357911)(6,6)，S12 S13OP13(24681012,135791113)(6,7)，S13 故n13故答案为：131．向量垂直的核心公式：若两个非零向量mx,1．向量垂直的核心公式：若两个非零向量mx,y,nx,垂直，则它们的数量积为0mnx1x2y1y202．向量运算与坐标结合：当向量由已知向量线性组合（→a 【答案】 b, b,

b的坐标，再根据

→→

aa a 因0，则12，等号成立时1故的最小值为22】（2025·湖南长沙·模拟预测）F是抛物线C:y24xAB是CO坐标原点，若OAOB,OMAB，垂足为M，则△OFM面积的最大值 nOMABMSOFM2OFyMxmyny24xy24myny24my4n0y2

yyy1y24m，y1y24nx

121 n2，1 所以OAOBx

y

4n0，化简得n24n1 1 解得n4或n0（n0时直线过原点，舍去），ABxmy4，因为OMABOMymxxxmy4

1

M ,4m联立两直线方程y

1

1m2 y

mm 1OF

ym1为奇函数，且当m0ym12（当且仅当m1时等号成立所以m 2，则

△OFM

m1（当且仅当mm所以△OFM3】（2025·辽宁·模拟预测）已知向量am1,1b2m，则下列选项正确的有（b，则m ab，则ma,若→b1，则向量 的夹角a,a,若 共线，则ma,Ab→b0，则2m1m0，解得m2A Bab，则(m1)12m，解得m1BCb1，则2m1m1，解得m1→0,1b2,1 cos→

aaa所以向量ab

a,b

52Ca,对于D，若→ 共线，则m1m2，解得m1或m2，故D项错误.a,向量共线的判定：若存在实数d向量共线的判定：若存在实数db(b0)，则a与b共线。利用这一关系，可将共线向量

AB

ACBCDCR 则的值为（

【详解】ADABACABACAC

ADAC即5

ABAC，即CD

5CBBC5DC确的有（）若tanBQP1AB abcosPBAacosQBAABP，Ql的垂线，利用正切值即可tanBQDtanAQDAQB

tanAQDtanAQB1tanAQDtan

1731 DB3AB3131B D:BCx，显然只需考虑0x3143tx14311

1111

0x

3因此y 为单调递减函数，故tx单调递增，由于t00， 故tx在03x即为txxx 此时tx0，可得bcosPBAacosQBD，即bcosPBAacosQBA0D正确；CBA右侧时可得PBAQBD，因此abC错误.E在正方体表面运动，则（PNA1MA1B与MN所成的角为AEtAAAQ2tABE点轨迹长度为 1 E点轨迹为线段QE1D正确.B，取CC1FMFNFA1BD1CMFD1CMFA1BA1BMNMFMN所成的角，即FMNMN

6,MF

2NF22，满足MN2MF2NF2MFMN所以FMN90A1BMN所成的角为90B正确；MFNPGMRPNGRFMNGPRF在同一平面内，PMNMGNPRF，MFNPGMRPNGRFC错误；DNA1AA1A2A1N，即QE2tB1N，因此可知QEB1NE点轨迹为过点QB1NDD1的中点为SSC1，取CFE1，连接QE1B1NSC1DFSC1，又QE1DFDFQE1B1NQE1因此E点轨迹即为线段QE1，且QE1DF 5 E点轨迹长度为5D正确 x2y2算；也可利用|m|2|n|2mnmn)，通过数量积的坐标运算求解，如典例1中可利用该公式简 1】（2025·陕西咸阳·三模）已知向量mn满足mn23mn41

→n＝（ 【分析】由题可求mn，再求值即可

n149152（2025·江苏苏州·三模xOyA(20B(20P满足|PAPB|2AP•BP（ Px,

【分析】设点 ，得到PA,PB,PAPB的坐标，由|PAPB|2，可得xy1，将其代入AP•BPPB2xyBPx2yPAPB2x2y2x22x22因为|PAPB|2

2x2y2AP•BPx2x2y2x24y2,夹角为（ D． 【分析】由条件结合向量坐标运算公式求ab，再求abab，再结合向量夹角公式求结论 所以a4e1e2401,35,3， 52523所以ab5222

3

37，a

b 设a与b的夹角为a→27则cosab a→27所以π，即a与bπ y1 xy核心公式：若向量ax,y,bx, ，则与共线的充要条件

π【典例1】（2025·江苏·一模）若a2,3，b2cos,2sin，下列正确的是 3 A．b//a1Cab4

‴‴ B．ba D．ab

π【详解】由已知a2,3，b2cos,2sin1,3 3 ,,,,因为1033 0，所以b，→b不平行，故A错误因为13+3030，所以bbB因为ab方向上的投影向量为→a因为ab方向上的投影向量为→

2133 1231123

14bC因为1323030，所以abbD错误 2】（2025·陕西·一模）若向量a01b34c44，则（ b

ac a

bc

在c上的投影向量是11 2 【详解】因为向量a01b34c44332Ab

5ABac43bac与bB →→a→对于D，a在c上的投影向量

031442 c

1,1

D A．向量a，b不可能垂 B．向量a，b不可能共 C．ab不可能为 D．若2，则a在b上的投影向量为a·b判断C；根据a在b上的投影向量为 →可判断bAab，则a•b2cossin0，即tan2，A错；B，若向量ab，则有21sincos0，即21sin20即sin24B(2cos)