社会统计学第六章 概率与概率分布

第六章概率与概率分布

第一节概率论

随机现象与随机事件•事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相

等、互斥事件、对立事件、互相独立事件）•先验概率与古典法•经验概率与频

率法

第二节概率的数学性质

概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则）•排列与样本点的计数•运

用概率方法进行统计推断的前提

第三节概率分布、期望值与变异数

概率分布的定义•离散型随机变量及其概率分市•连续型随机变量及其概率

分布•分布函数-数学期望与变异数

一、填空

1.用古典法求算概率.在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它

假设（）o

2.分布函数/（处和P（x）或°。）的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所

不同的是，F（x）累计的是（）“

3.如果A和B（），总合有P（A/B）=P（B/A）=0。

4.（）和（）为抽样推断提供了主要理论依据。

5.抽样推断中，判断一个样本估计量是否优良的标准是（）、（）、

（）o

6.抽样设计的主要标准有（）和（）。

7.在抽样中，遵守•）是计算抽样误差的先决条件。

8.抽样平均误差和总体标志变动的大小成（）,与样本容量的平方根成

（）。如果其他条步不变，抽样平均误差要减小到原来的1/4,则样本容量应（）。

9.若事件力和事件8不能同时发生，则称力和"是（）事件。

10.在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（）：在一副

扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（）。

二、单项选择

1.古典概率的特点应为（）。

A基本事件是有限个，并且是等可能的；

B基本事件是无限个，并且是等可能的：

C基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；

D基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。

2.随机试验所有可能出现的结果，称为()o

A基本事件；

B样本：

C全部事件；

D样本空间。

3.以等可能性为基础的概率是()。

A古典概率：

B经验概率；

C试验概率；

D主观概率。

4.任一随机事件出现的概率为()。

A在-1与1之间；

B小于()；

C不小于1；

D在。与I之间。

5.若P(A)=0.2,P(B)=0.6,P(A/B)=0.4,则2(4口4)=(

A0.8B0.08C0.12D0.24。

6.若A与B是任意的两个事件,且P(AB)=P(A)-P(B),则可称事件A与B()。

A等价B互不相容C相互独立D相互对立。

7.若两个相互独立的随机变量X和Y的标准差分别为6与8,则(X+Y)的标准差

为()o

A7B10C14D无法计算。

8.抽样调查中，无法消除的误差是()。

A登记性误差B系统性误差C随机误差D贡任心误差

9.对于变异数"X),下面数学表达错误的是()o

AD(X)=E(X2)一/BD(X)=E[(X-u)2]

CD(X)=E(X2)—[E(X)]2DD(X)=O

10.如果在事件力和事件8存在包含关系4u8的同时，又存在两事件的反向包含关系

力nA则称事件4与事件4()

A相等B互斥C对立D互相独立

三、多项选择

1.数学期望的基本性质有()

AE(c)=cBE(CX)=C2E(X)

CE(X+Y)=E(X)+E(Y)DE(XY)=E(X)•E(Y)

2.概率密度曲线()。

A位于X轴的上方B位于X轴的下方

C与X轴之间的面积为0D与X轴之间的面枳为1

E与X轴之间的面积不定。

3.重复抽样的特点是(

A每次抽选时，总体单位数始终不变；

B每次抽选时，总体单位数逐渐减少；

C各单位被抽中的机会在每次抽选中相等；

D各单位被抽中的机会在每次抽选中不等；

E各次抽选相互独立。

4.对于抽样误差，下面正确的说法是（）。

A抽样误差是随机变量；

B抽样平均误差是一系列抽样指标的标准差；

C抽样误差是估计值与总体参数之间的最大绝对误差:

D抽样误差是违反随机原则而产生的偏差；

E抽样平均误差其值越小，表明估计的精度越高。

5.关于频率和概率，下面正确的说法是（）。

A.频率的大小在0与1之间；

B.概率的大小在0与1之间；

C.就某一随机事件来讲，其发生的频率是唯一的；

D.就某一随机事件来讲，其发生的概率是唯一的；

E.频率分布有对应的频数分布，概率分布则没有。

6.随机试验必须符合以下几个条件（

A.它可以在相同条件下重复进行；

B.每次试验只出现这些可能结果中的一个；

C.预先要能断定出现哪个结果；

D.试验的所有结果事先已知；

E.预先要能知道哪个结果出现的概率。

四、名词解释

I.数学期望2.对立事件3..随机事件

4.事件和5.事件积6.互斥事件

7.互相独立事件8.先验概率9.经验概率

五、判断题

1.对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。（）

2.把随机现象的全部结果及其概率，或者把随机现象的或几个结果及其概率列举出来,

就可以称作概率分布。（）

3.社会现象是人类有意识参与的后果，这一点只是改变概率的应用条件，并不改变社

会现象的随机性质。（）

4.在社会现象中，即使相同的意识作用也完全可能有不确定的结果，这就提供了概率

论应用的可能性。（）

5.抽样的随机原则就是指客观现象的随机性。（）

6.样本均值是总体均值的一个无偏估计量。（）

7.样本方差是总体方差的一个无偏估计量。（）

8.样本容量的大小与抽样推断的可信程度成正比。（）

9.重复抽样的误差一定大于不重复抽样的抽样误差。（）

为60岁的人共有10人，问：（1）其中有9人活到下年的概率为多少？（2）至少有9人活

到下年的概率是多少？

II.假定从50个社区的总体中随机抽取一些社区（这些社区的规模和犯罪率之间关系

的数据如下表），（1）用不回置抽样得到了一个4个社区的样本，试问其中恰好有一个大社

区，一个中社区以及两个小社区的概率是多少？（2）在一个用回置法得到的3个社区的样

本中，得到至少一个高犯罪率社区和两个小社区的概率是多少？

属性大中小

高犯罪率285

低犯罪率16415

12.已知随机变量x*J概率分布如卜.:

X01234

P*)0.10.20.40.20.1

22

试求：I)石(X)；2)E(X)；3)令Y=(X-1)2,求E(y)；4)D(X)；5)D(X)o

13.A、B、C为三事件，指出以下事件哪些是对立事件：

1）A、B、C都发生；

2）A、B、C都不发生；

3）A、B、C至少有一个发生；

4）A、B、C最多有一个发生；

5）A、B、C至少有两个发生；

6）A、B、C最多有两个发生。

14.从户籍卡中任抽1名，设：

A="抽到的是妇女”

B="抽到的受过高等教育”

C=“未婚”

求：（1）用符号表达“抽到的是受过高等教育的已婚男子”；

（2）用文字表达ABC：

（3）什么条件下ABC=Ao

15.1—号国库券已到期，须抽签还本付息，求以下事件的概率:

（1）抽中701号；

（2）抽中532号；

（3）抽中小于225号；

（4）抽中大于600号；

（5）抽中1020号；

（6）抽中大于或者等于700号；

（7）抽中小于125号或者大于725号；

（8）抽中小于50号或者大于700号。

16.一个口袋中装有10只球，分别编上号码1,……10,随机地从这个口袋去3只球,

试求：（1）最小号码是5的概率；（2）最大号码是5的概率。

17.共有5000个同龄人参加人寿保险，设死亡率为0.1%。参加保险的人在年初应交纳

保险费10元，死亡时家属可领2000元。求保险公司一年内从这些保险的人中，获利不少于

30000元的概率。

18.在一批10个产品中有4个次品。如果一个接一个地随机抽取两个，下面的每个随

机事件的概率是多少？

（1）抽中一个是次品，一个是合格品；

（2）抽取的两个都是次品；

（3）至少有一个次品被选取；

（4）抽取两个合格品。

七、问答题

I.什么是概率？

2.何谓先验概率和经验概率，举例说明。

3.事件互不相容与相互独立这两个概念有何不同？

4.频率分布和概率分布有何区别和联系？

八、计算举例

1.（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X表示掷得正面的次数，则随机变量X的可

能取值有哪些？

（2）一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠

的标号为丫，则随机变量丫的可能取值有哪些？

2.从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X表示“取到的白球个数”，

即X*当取到白球时,

求随机变量X的概率分布。

0,当取到红球时,

3.某班有学生45人，其中。型血的有10人，A型血的有12人，6型血的有8人，AB

型血的有15人，现抽1人，其血型为随机变量X,求X的概率分布。

4.写出下列随机变最可能取的值，并说明随机变最所取的值表示的随机试验的结果。

①一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只

球，被取出的球的最大号码数为X；

②盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数X：

⑤从4张已编号3号〜4号）的卡片中任怠取出2张，被取出的卡片编号数之和X。

5.袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记K=、°两球全红。求X的概率分

'两球非全红

布。

6.同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的最大

点数X的概率分布，并求X大于2小于5的概率P(2<X<5)a

7.同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现最小点数

丫的概率分布。

8.从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑

球赢2元，而每取出•个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示羸得的钱数，随机变量X

可以取哪些值呢？求X的概率分布。

9.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为,，现在甲、乙两

7

人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人

取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用J表示取球终止时所需要的

取球次数。(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量彳的概率分布；(3)求甲取到白球

的概率.

10.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100

分，回答不正确得一100分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确

与否相互之间没有影响。

(1)求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；

(2)求这名同学总得分不为负分(即20)的概率。

11.从一副洗得很好的扑克牌中做了3次抽取，假定使用回置法，求至少得到1张A

和1张K的概率是多少？

12.假如对1000个大学生进行歌曲欣赏调查，发现其中有500个学生喜欢民族歌曲，

400个学生喜欢流行歌曲，而这些学生中有100人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流行歌曲的，

剩下来的学生两歌曲都不喜欢。如果我们随机地从该总体中抽取一个学生，并设事件A为该

学生喜欢民族歌曲，事件B为该学生喜欢流行歌曲，试解决下列问题：①用数字证明P(A

且B)=P(A)P(B/A)=P(E)P(A/B)。

②得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是多少?

③随机地选取一个由3个学生组成的样本，要求这三个学生全都有相同的欣赏方式，得

到这种样本的概率是多少？④做一个一枚硬币独立

参考答案

一、填空

1.机会均等2.概率3.互斥

4.大数定律中心极限定理5.无偏性一致性有效性

6.最小抽样误差原则最少经济费用原则7.随机原则

8.正比反比增大到16倍9.互斥10.1/41；52

二、单项选择

1.A2.D3.A4.D5.D6.C7.B8.C

9.D10.A

三、多项选择

1.ACD2.AD3.ACE4.ABE5.BCE6.ABD

四、名词解释

1.数学期望：

是反映随机变量X取值的集中趋势的理论均值（算术平均）。

2.对立事件：

若事件A和事件B是互斥事件，且在一次试验（或观察中）必有其一发生，则称A和B

是对立事件，或称逆事件,。

3.随机事件：

人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，也称事件。

4.事件和:

事件A和事件B至少有一个发生所构成的事件C,称为A和B的事件和。

5.事件积：

事件A和事件B同时发生所构成的事件C,称为A和B的事件积。

6.互斥事件：

若事件A和事件B不能同时发生，则称A和B是互斥事件，或称互不相容事件。

7.互相独立事件：

若A事件发生的概率等于在B事件发生后A事件发生的概率，或者B事件发生的概率

等于在A事件发生后B事件发生的概率，则称A和B是互相独立事件。

8.先验概率：

古典法以想象总体为对象，利用模型本身所具有的龙称性，来事先求得概率，古典法求

出的概率被称为先验概率，

9.经验概率：

将试验次数n充分大时的频率作为概率的近似值，这就是所谓的经验概率。

五、判断题

1.(J)2.(X)3.(J)4.(J)5.(X)6.(V)

7.(X)8.(J)9.(V)10.(X)11.(X)12.(J)

六、计算题

1.[0.35]2.[0.40]3.[0.2601]

4.[0.515.[0.2601,0.4998,0.2401]

6.【7700元】7.[0.15,0.95,0.65,0,05]

8.[0.08]9.10.626]10.0.315][0.914]

11.0.178][0,046]

12.1)[2]；2)[5.2]；3)[2.2]；4)[1.10]；5)【4.62]。

13.12、3为对立事件4、5为对立事件1、6为对立事件】

14.(1)[ABC]（2）【抽到是受过高等教育的未婚妇女】

（3）【总体中的妇女都是受过高等教育和未婚的】

15.(1)[O.(X)I](2)[0.001](3)[0.224]

(4)[0.4](5)[0](6)[0.301]

(7)[0.399](8)[0.3491

16.[0.083,0.05]

17.[98.75%]

18.(I)[0.53](2)[0.13](3)[0.67]⑷【0.33]

七、问答题

1.什么是概率？

2.何谓先验概率和经验概率，举例说明。

3.事件互不相容与相互独立这两个概念有何不同？

4.频率分布和概率分布有何区别和联系？

八、计算举例

1.说明：引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示。

（1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，

所以变量X的取值可能是1（正面向上），也可能是（）（反面向上），故随机变量X的取值

构成集合｛0,1｝。

在此例中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为｛X=l｝,随机

事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为｛X=0｝。

（2）根据条件可知，随机变量y的可能值有4种，它的取值集合是｛1,2,3,4｝。

在此例中，也可用｛V=l｝,｛丫=2｝,｛丫=3｝,｛丫=4｝分别表示取到1号、2号、3

号和4号白鼠这4个随机事件。另一方面，在此例中，可以用｛YW3｝这样的记号表示“取

到1号、2号或3号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表

这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了。如在(1)

中｛X=l｝的概率可以表示为R｛X=1))=P｛抛一枚硬币，正面向上｝=；,其中

H｛X=1｝)常简记为P(X=D。同理，KX=O)=;。这一结果可用下表来描述。

X01

j_

p

2J9

在(2)中随机变量丫所表示的随机事件发生的概率也可用下表来描述。

Y1234

£2

P

55I5

上面的两个表格分别给出了随机变量x,y表示的随机事件的概率，描述了随机变量

的分布规律。

2.由题意知P(X=0)=」一=2,p(X=\)=—=-,故随机变量X的概率分

6+456+45

23

布列为P(X=())=-，P(X=1)=-,概率分布表如下。

55

X01

23

P

55

说明：本题中，随机变量X只取两个可能值0和1。像这样的例子还有很多，如在射

击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等。

我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为X~o-1分布或X、两点分布。此

处表示“服从”。

3.设。、A、B、八8四种血型分别编号为1,2,3,4,则X的可能取值为1,2,3,

4o

C12C14

则p(X=l)=-^=—，P(X=2)=*=—,

C9c\515

“X=3)哈啥尸(X=4)=奔;

C453

故其概率分布为

X1234

248]_

P

915453

4.①X可取3,4,5.X=3,表示取出的3个球的编号为1,2,3；X=4,表示取

出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；X=5,表示取出的3个球的编号为

1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5。

②X可取0,1,2,3,X=?•表示取出，支白粉笔，3-7支红粉笔，其中”0,1,2,

3。

③X可取3,4,5,6,7。X=3表示取出分别标有1,2的两张卡片；X=4表示取

出分别标有1，3的两张卡片；X=5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；X=6

表示取出分别标有2,4的两张卡片；X=7表示取出分别标有3,4的两张卡片。

5.显然X服从两点分布，尸(X=O)=W■二二，则尸(X=l)=l—二二一。所以X

C,；111111

的概率分布是：

X01

38

P

HTT

6.依题意易知，掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的情况：(1,1),(1,2),(1,

3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…，(6,5),(6,6)。因而X的可能取值为1,2,

3,4,5,6,详见下表。

X的值出现的点情况数

1(1,1)1

2(2,2),(2,1),(1,2)3

3(3,3),(3,2),(3,1),(2,3),(1,3)5

4(4,4),(4,3),(4,2),(4,1),(3,4),(2,4),(1,4)7

(5,5),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1),(4,5),(3,5),

59

(2,5),(1,5)

6(6,6),(6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1),(5,6),11

(4,6),(3,6),(2,6),(1,6)

由古典法可知X的概率分布如下表所示:

X123456

1357911

P

363636363636

571

从而P(2<X<5)=P(X=3)+P(X=4)=

36363

97

7.类似于上例，通过列表可知：p（y=i）=—,p(y=2)=—,p(r=3)=—,

363636

531

P（Y=4）=—,p（r=5）=—,p（r=6）=—o

363636

8.从箱中取出两个球的情形有以下六种：｛2白｝,{I白I黄},{I白1黑},{2黄),

｛1黑1黄｝,｛2黑｝。

当取到2白时，结果输2元，随机变量X=-2；

当取到1白1黄时，输1元，随机变量X=-1：

当取到1白1黑时，短机变量X=l：当取到2黄时，X=0：

当取到1黑1黄时，X=2；当取至I」2黑时，X=4。

则X的可能取值为-2,一I,0,I,2,4。

r'r17

P(X=-2)=-^-=—；r(x=-i)=^=-；P(x=())=普.

422品11C12oo

C\C\4.r'r14

P(X=])=-^±=-*P(X=2)=T■=一'

C；2HC\33

从而得到X的概率分布如下:

X-2-10124

52_1£41

P

22H66H3317

7?（7?-1）

9.（1）设袋中原有〃个白球，由题意知：L土二」「5-1）,所以

77x67x6

2

72（/2-1）=6,解得〃=3（舍去〃=—2）,即袋中原有3个白球。

（2）由题意，J的可能取值为1,2,3,4,5o

34x324x3x36

%二3)=

7x6x535

4x3x2xlx31

PC=4)=竽誉|二，尸(4=5)=

7x6x5x4357x6x5x4x335

所以，取球次数J的分布列为:

gI2345

3_2631

p

77353535

(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到白球”

的事件为A,则P(A)=P(K=1"，或巧=3”，或芍=5").因为事件节=1“、节=3"、

“J=5"两两互斥,

36J22

所以产⑷=p(g=i)+尸e=3)+尸e=5)=3=

3536-35

10.本小题主要考查离散型随机变量的概率分布、数学期望等概念，以及运用概率统计

知识解决实际问题的能力,

(1)离散型随机变量X的可能值为一300,-100,100,300.

P(X=-300)=(0.2)3=0.008,P(X=-100)=3X(0.2)2X0.8=0.096,

P<X=1OO)=3X0.2X(0.8)2=0.384,P(X=300)=0.83=0.512,

所以X的概率分布为

X-300-100100300

P0.0080.0960.3840.512

可得的数学期望

E(X)=(-300)X0.08+(-100)X0.096+100X0.384+300X0.512=180

(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(三0)=0.384+0.512=0.896

11.按照题意，要在不同样本空间中考虑三种复合事件：抽到1张A和1张K,另1张

非A非K,用符号(AK0)表示(其中“0”表示其他)：抽到1张A和2张K,用符号(AKK)表示;

抽到2张A和1张K,用符号(AAK)表示。因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不同,

必须对它们加以区别。

次序为AK0的样本点实现的概率是」------­—

131313

次序为AKK的样本点实现的概率是」•

13

次序为AAK的样本点实现的概率是­—

113；13

再考虑每个复合事件各含有多少种可能的排列方式

(AKK)含有3!/2!=3种排列方式

(AAK)含有3!/2!=3种排列方式

(AKO)含有3!=6种排列方式

所以，在一副扑克的三次抽取中，至少得到1张A和1张K的概率是