一元二次方程的应用第1课时课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第二章2.4一元二次方程的应用第1课时与勾股定理有关的

应用问题2026-2027学年北师大版数学九年级上册学习目标1.能利用一元二次方程解决与勾股定理有关的实际问题.(重点)2.在利用一元二次方程解决实际问题的过程中，提高数学的应用意识与解决问题的能力.(难点)情境引入还记得本章课本开始时梯子下滑的问题吗？如图，一个长为10

m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8

m，如果梯子的顶端下滑1

m，梯子底端滑动的距离大于1

m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？利用一元二次方程解决与勾股定理有关的应用问题问题回答“情境引入”中的问题.提示如图，设梯子顶端下滑xm时，梯子底端滑动的距离相等.∴AA'=xm，BB'=xm，根据勾股定理得BC=6

m，列方程得100=(8-x)2+(6+x)2，整理得x2-2x=0，解得x1=0(不符合题意，舍去)，x2=2，∴梯子顶端下滑2

m时，梯子底端滑动相等的距离.知识梳理利用一元二次方程解决与勾股定理有关的实际问题，求解的关键是利用题目中的直角三角形或构造直角三角形，从而为利用勾股定理计算或推理提供条件.例(课本P51例1)如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200

n

mile处有一重要目标B，在B的正东方向200

n

mile处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1

n

mile)？

例(课本P51例1)如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200

n

mile处有一重要目标B，在B的正东方向200

n

mile处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1

n

mile)？解∴DF⊥BC，DF=100

n

mile，BF=100

n

mile.设相遇时补给船航行了xn

mile，那么DE=xn

mile，AB+BE=2xn

mile.EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)n

mile.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2，例(课本P51例1)如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200

n

mile处有一重要目标B，在B的正东方向200

n

mile处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1

n

mile)？

反思感悟因为一元二次方程有解时一定有两个实数解，所以在利用一元二次方程解决实际问题时，要注意根据实际问题的意义检验所得的两个实数解是否符合题意.跟踪训练如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16

cm，AD=6

cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3

cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2

cm/s的速度向D移动.(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33

cm2；

跟踪训练如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16

cm，AD=6

cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3

cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2

cm/s的速度向D移动.(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10

cm.解设P，Q两点从出发经过ts时，点P，Q间的距离是10

cm，作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6

cm，PQ=10

cm，如图所示.∵PA=3tcm，BE=CQ=2tcm，∴PE=|AB-AP-BE|=|16-5t|，由勾股定理，得(16-5t)2+62=102，整理，得25t2-160t+192=0.解得t1=4.8，t2=1.6.故从出发到1.6

s或4.8

s时，点P和点Q的距离是10

cm.课堂小结1.《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”.书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少(如图)？答：门高、宽和对角线的长分别是

尺.

随堂演练8，6，10解析设门对角线的长为x尺，则门高为(x-2)尺，门宽为(x-4)尺，根据勾股定理可得x2=(x-4)2+(x-2)2，即x2=x2-8x+16+x2-4x+4，解得x1=2(不符合题意，舍去)，x2=10，10-2=8(尺)，10-4=6(尺).即门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺.2.如图，东西方向上有A，C两地相距10

km，甲以16

km/h的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12

km/h的速度从C地出发向正南方向前进，则最快经过多少h，甲、乙两人相距6

km？随堂演练解设最快经过xh，甲、乙两人相距6

km，根据题意，得BC=