3.4.2 基维数与坐标

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主讲人：王飞向量空间|基、维数与坐标《线性代数》定义1设是向量空间，且满足基与维数基、维数与坐标坐标(1)线性无关;(2)线性表示.中任一向量均可由则称为向量空间的一个基,称为向量空间的维数，记作：并称是维向量空间.如：

不难判断，线性无关，且因此，向量空间的一个基是向量空间中有向量组维数例1中维基本单位向量组求的一组基和维数.解：

易知线性无关，且故的一组基是维数基与维数基、维数与坐标坐标说明(1)只含零向量的向量空间没有基,规定维数为零.

(2)向量空间的基不唯一,但基所含向量个数唯一确定.(3)向量空间中任意一个极大无关组都是的基.(4)对维向量空间任意个线性无关的向量均可作为的一个基，故的维数是称维向量空间为(5)将看作向量组，则它的秩就是向量空间的维数.启发：

求向量空间的一个基和维数，本质就是向量组的极大无关组及其秩基与维数基、维数与坐标坐标例2解：

已知生成的子空间,求它的一个基和维数.由下列向量组行变换故的一组基是维数线性无关.基与维数基、维数与坐标坐标定义2若是向量空间的基，对任意的存在唯一的数使则称数为向量在基下的坐标.记为：如：

则在基下的坐标为线性无关(基),向量空间中的向量组思考：

给定向量空间中的一个基，如何求解另一向量在这个基下的坐标？启发：

定义出发易知，所求坐标就是非齐次线性方程组的唯一解.矩阵初等变换行最简形矩阵秩及唯一解基与维数基、维数与坐标坐标例3解：

已知中的两组基：行变换及求向量分别在两个基下的坐标.由题易知：故在基下的坐标为易得：故在基下的坐标为基与维数基、维数与

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