近世代数1题库及答案

近世代数1题库及答案一、选择题（共20分，每题2分）1.下列哪个集合关于普通加法构成群？A.所有正整数集合B.所有偶数集合C.所有奇数集合D.所有大于1的整数集合2.设G是一个群，a,b∈G，则(ab)^{-1}等于：A.a^{-1}b^{-1}B.b^{-1}a^{-1}C.ab^{-1}D.a^{-1}b3.下列哪个不是群的性质？A.封闭性B.结合律C.交换律D.存在单位元4.设Z是整数集合，+是普通加法，则(Z,+)是：A.有限群B.无限群C.有限交换群D.无限交换群5.设G是一个群，H是G的子群，则下列哪个不一定成立？A.H关于G的运算封闭B.H包含G的单位元C.H中的每个元素在H中有逆元D.H是G的正规子群6.设G是一个群，N是G的正规子群，则商群G/N的定义是：A.G中所有元素的集合B.N的陪集的集合C.G中所有元素的逆元的集合D.G中所有子集的集合7.下列哪个环没有乘法单位元？A.整数环ZB.偶数环2ZC.有理数环QD.实数环R8.设R是一个环，I是R的理想，则下列哪个不一定成立？A.I关于加法构成子群B.I关于乘法封闭C.I包含R的单位元D.对于任意r∈R，a∈I，有ra∈I9.设F是一个域，则下列哪个不成立？A.F关于加法构成交换群B.F关于乘法构成交换群C.F的乘法单位元不等于加法单位元D.F的零元有乘法逆元10.下列哪个不是域？A.有理数域QB.实数域RC.复数域CD.整数环Z二、填空题（共20分，每题2分）1.如果一个群G的每个元素a都满足a^2=e（e是单位元），则G是一个____群。2.设G是一个群，H是G的子群，则H在G中的指数定义为____。3.如果群G的子群N满足对于任意g∈G，有gNg^{-1}⊆N，则N称为G的____子群。4.设R是一个环，I是R的理想，则商环R/I的加法运算定义为____。5.设F是一个域，K是F的子域，则K称为F的一个____。6.设G是一个群，a∈G，则a的阶定义为____。7.设φ:G→H是群同态，则φ的核定义为____。8.设R是一个环，a∈R，则a生成的理想(a)定义为____。9.设F是一个域，f(x)∈F[x]，则f(x)在F上的分裂域定义为____。10.设G是一个群，H是G的子群，则H在G中的左陪集定义为____。三、判断题（共10分，每题1分）1.每个群都是交换群。（）2.有限群的子群的阶一定整除群的阶。（）3.每个环都有乘法单位元。（）4.域的特征一定是素数。（）5.群的同态像一定是群。（）6.环的理想一定是子环。（）7.域的子域一定是理想。（）8.群的自同构构成群。（）9.环的商环一定是整环。（）10.域的扩张一定是代数扩张。（）四、计算题（共30分，每题10分）1.设G是阶为12的群，H是G的子群，|H|=3。求H在G中的指数，并确定H是否为G的正规子群。2.设R是整数环Z，I是由6生成的理想，即I=(6)。求商环Z/I的元素，并确定Z/I是否为域。3.设F是有理数域Q，f(x)=x^2-2∈Q[x]。求f(x)在Q上的分裂域，并确定该扩张的次数。五、简答题（共20分，每题10分）1.解释什么是群、环、域，并举例说明。2.什么是正规子群？正规子群在群论中有什么重要性？六、证明题（共30分，每题15分）1.证明：设G是一个群，H是G的子群，则H是G的正规子群当且仅当对于任意g∈G，有gHg^{-1}=H。2.证明：设F是一个域，f(x)∈F[x]是不可约多项式，则F[x]/(f(x))是一个域。---答案：一、选择题（共20分，每题2分）1.答案：B解释：要判断一个集合关于某个运算是否构成群，需要验证群的四个公理：封闭性、结合律、单位元存在和逆元存在。-所有正整数集合关于普通加法不满足逆元存在，因为正整数的负数不是正整数。-所有偶数集合关于普通加法构成群：两个偶数相加还是偶数（封闭性），加法满足结合律，0是偶数且是单位元，每个偶数a的逆元是-a（也是偶数）。-所有奇数集合关于普通加法不满足封闭性，因为两个奇数相加是偶数，不是奇数。-所有大于1的整数集合关于普通加法不满足封闭性，因为2+2=4>1，但2+(-1)=1不在集合中。2.答案：B解释：在群中，(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}。这是因为：(ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=aa^{-1}=e同样，(b^{-1}a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}b=e因此，(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}。3.答案：C解释：群的四个公理是：封闭性、结合律、单位元存在和逆元存在。交换律（即ab=ba对任意a,b∈G成立）不是群的必要条件，只有交换群（也称为阿贝尔群）才满足交换律。4.答案：D解释：整数集合Z关于普通加法构成群：两个整数相加还是整数（封闭性），加法满足结合律，0是单位元，每个整数a的逆元是-a。这个群是无限的，并且是交换的（因为加法满足交换律）。5.答案：D解释：子群的定义要求：H关于G的运算封闭，H包含G的单位元，H中的每个元素在H中有逆元。但H不一定是G的正规子群，除非满足额外的条件：对于任意g∈G，有gHg^{-1}=H。6.答案：B解释：商群G/N是由正规子N的所有陪集构成的集合，其运算定义为(gN)(hN)=(gh)N。只有当N是正规子群时，这个运算才是良定义的。7.答案：B解释：偶数环2Z关于加法和乘法构成环，但没有乘法单位元。因为如果存在乘法单位元e，那么对于任意偶数a，有ea=a，这意味着e必须是1，但1不是偶数，不在2Z中。8.答案：C解释：理想I的定义要求：I关于加法构成子群，I关于乘法封闭（即如果a,b∈I，则ab∈I），并且对于任意r∈R，a∈I，有ra∈I和ar∈I。但I不一定包含R的单位元，除非I=R。9.答案：D解释：域的零元（加法单位元）没有乘法逆元，因为如果0有乘法逆元0^{-1}，那么0·0^{-1}=1，但0·x=0对所有x∈F成立，矛盾。10.答案：D解释：有理数域Q、实数域R和复数域C都是域，因为它们关于加法和乘法构成交换环，且每个非零元素都有乘法逆元。而整数环Z不是域，因为除了1和-1，其他整数都没有乘法逆元。二、填空题（共20分，每题2分）1.答案：交换解释：如果群G的每个元素a都满足a^2=e，那么对于任意a,b∈G，有(ab)^2=e，即abab=e。两边左乘a^{-1}，右乘b^{-1}，得到ba=a^{-1}b^{-1}。由于a^2=e，有a^{-1}=a；同理b^{-1}=b。因此ba=ab，所以G是交换群。2.答案：[G:H]=|G|/|H|解释：子群H在群G中的指数定义为H在G中左陪集（或右陪集）的个数，记作[G:H]。对于有限群，[G:H]=|G|/|H|。3.答案：正规解释：群G的子群N称为正规子群，如果对于任意g∈G，有gNg^{-1}⊆N。这个条件等价于对于任意g∈G，gN=Ng，即左陪集等于右陪集。4.答案：(a+I)+(b+I)=(a+b)+I解释：商环R/I的加法运算定义为两个陪集的和：(a+I)+(b+I)=(a+b)+I。这个运算是良定义的，因为I是理想。5.答案：子域解释：域F的子域K是F的子集，且K关于F的加法和乘法构成域。也就是说，K包含F的单位元，且K中的每个非零元素在K中有乘法逆元。6.答案：使得a^n=e的最小正整数n（如果存在），否则为无穷大解释：群G的元素a的阶定义为使得a^n=e的最小正整数n，如果这样的n存在；如果不存在这样的n，则a的阶为无穷大。记作|a|。7.答案：{g∈G|φ(g)=e_H}解释：群同态φ:G→H的核定义为G中映射到H的单位元e_H的所有元素构成的集合，即ker(φ)={g∈G|φ(g)=e_H}。ker(φ)是G的正规子群。8.答案：{ra|r∈R}解释：环R的元素a生成的理想(a)定义为R中所有形如ra的元素的集合，其中r∈R。如果R是交换环，则(a)={ra|r∈R}；如果R不是交换环，则(a)={ra+as+Σr_ias_i|r,s,r_i,s_i∈R}。9.答案：包含F和f(x)的所有根的最小域解释：多项式f(x)∈F[x]在F上的分裂域是最小的域E，使得E包含F，且f(x)在E上可以完全分解为一次因子的乘积。也就是说，f(x)的所有根都在E中。10.答案：{gh|h∈H}解释：群G的子群H在G中的左陪集定义为{gh|h∈H}，其中g∈G。同样，右陪集定义为{hg|h∈H}。三、判断题（共10分，每题1分）1.答案：×解释：不是所有群都是交换群。例如，对称群S_3（3个元素的置换群）不是交换群，因为存在两个置换σ和τ，使得στ≠τσ。2.答案：√解释：拉格朗日定理指出，有限群G的子群H的阶|H|整除G的阶|G|。因此，H在G中的指数[G:H]=|G|/|H|是一个整数。3.答案：×解释：不是所有环都有乘法单位元。例如，偶数环2Z是一个环，但没有乘法单位元，因为1不在2Z中。4.答案：×解释：域的特征可以是0或素数。例如，有理数域Q、实数域R和复数域C的特征都是0，而有限域F_p（p为素数）的特征是p。5.答案：√解释：群的同态像一定是群。设φ:G→H是群同态，则φ(G)={φ(g)|g∈G}是H的子群，因为：-封闭性：如果φ(a),φ(b)∈φ(G)，则φ(a)φ(b)=φ(ab)∈φ(G)-结合律：继承自H-单位元：φ(e_G)=e_H∈φ(G)-逆元：如果φ(a)∈φ(G)，则φ(a)^{-1}=φ(a^{-1})∈φ(G)6.答案：√解释：环的理想一定是子环。设I是环R的理想，则：-封闭性：如果a,b∈I，则a+b∈I（因为I是加法子群）-结合律：继承自R-单位元：0∈I（因为I是加法子群）-逆元：如果a∈I，则-a∈I（因为I是加法子群）-乘法封闭性：如果a,b∈I，则ab∈I（因为I是理想）因此，I是R的子环。7.答案：×解释：域的子域不一定是理想。设K是域F的子域，则K包含F的单位元1。如果K是F的理想，那么对于任意a∈K，有a·1∈K，但1∈K，所以a·1=a∈K，这没有问题。然而，如果K是F的真子域，则存在b∈F\K，而b·1=b∉K，这与K是理想矛盾（因为1∈K，b∈F，应有b·1∈K）。因此，域的真子域不可能是理想。8.答案：√解释：群G的所有自同构（即同构映射φ:G→G）构成一个群，称为G的自同构群，记作Aut(G)。群运算定义为函数的复合，单位元是恒等映射，每个自同构的逆元是其逆映射。9.答案：×解释：环的商环不一定是整环。设R是一个环，I是R的理想，则商环R/I是整环当且仅当I是素理想。例如，设R=Z，I=(4)，则Z/4Z不是整环，因为2+4Z≠0+4Z，但(2+4Z)(2+4Z)=4+4Z=0+4Z。10.答案：×解释：域的扩张不一定是代数扩张。例如，有理数域Q上的扩张Q(π)不是代数扩张，因为π是超越数，不是任何非零有理系数多项式的根。代数扩张是指扩张中的每个元素都是基域上某个多项式的根。四、计算题（共30分，每题10分）1.解：已知|G|=12，|H|=3。根据拉格朗日定理，子群H的阶|H|整除群G的阶|G|，即3|12，成立。H在G中的指数定义为[G:H]=|G|/|H|=12/3=4。要确定H是否为G的正规子群，我们需要检查对于任意g∈G，有gHg^{-1}=H。由于|G|=12，|H|=3，且3是素数，所以H是循环群，即H={e,a,a^2}，其中a^3=e。我们考虑G的Sylow3-子群。根据Sylow定理，G中Sylow3-子群的个数n_3满足n_3≡1(mod3)且n_3|4，所以n_3=1或4。如果n_3=1，则H是G中唯一的Sylow3-子群，因此H是G的正规子群。如果n_3=4，则H不是G的正规子群。因此，H是否为G的正规子群取决于G的具体结构。例如，如果G是交错群A_4，则n_3=4，H不是正规子群；如果G是循环群Z/12Z，则n_3=1，H是正规子群。2.解：设R=Z，I=(6)，即I={6k|k∈Z}。商环Z/I的元素是I的陪集，即形如a+I的集合，其中a∈Z。由于Z是主理想整环，且6=2·3，所以Z/I有6个不同的元素：0+I,1+I,2+I,3+I,4+I,5+I这些元素对应于模6的剩余类。要确定Z/I是否为域，我们需要检查I是否为素理想。理想I=(6)是素理想当且仅当6是素数或0。但6不是素数，因为6=2·3，且2和3都不是单位。因此，I不是素理想，所以Z/I不是整环，更不是域。事实上，在Z/6Z中，2+6Z≠0+6Z，3+6Z≠0+6Z，但(2+6Z)(3+6Z)=6+6Z=0+6Z，所以Z/6Z中有零因子，不是整环。3.解：设F=Q，f(x)=x^2-2∈Q[x]。f(x)在Q上的分裂域是包含Q和f(x)的所有根的最小域。f(x)的根是√2和-√2，所以f(x)的分裂域是Q(√2)。要确定该扩张的次数，我们需要计算[Q(√2):Q]。由于√2不是有理数，且满足x^2-2=0，所以√2在Q上的最小多项式是x^2-2。因此，[Q(√2):Q]=2。扩张Q(√2)/Q是二次扩张，也是代数扩张。五、简答题（共20分，每题10分）1.解：群、环、域是近世代数中三个基本的代数结构。群：一个集合G和一个二元运算·构成群(G,·)，如果满足以下四个公理：-封闭性：对任意a,b∈G，有a·b∈G-结合律：对任意a,b,c∈G，有(a·b)·c=a·(b·c)-单位元存在：存在e∈G，使得对任意a∈G，有e·a=a·e=a-逆元存在：对任意a∈G，存在a^{-1}∈G，使得a·a^{-1}=a^{-1}·a=e例如，整数集合Z关于普通加法构成群，记作(Z,+)。单位元是0，每个整数a的逆元是-a。环：一个集合R和两个二元运算+和·构成环(R,+,·)，如果满足：-(R,+)是交换群-(R\{0},·)是半群（即乘法封闭且满足结合律）-乘法对加法满足分配律：对任意a,b,c∈R，有a·(b+c)=a·b+a·c和(b+c)·a=b·a+c·a例如，整数集合Z关于普通加法和乘法构成环，记作(Z,+,·)。加法单位元是0，乘法单位元是1。域：一个集合F和两个二元运算+和·构成域(F,+,·)，如果满足：-(F,+)是交换群-(F\{0},·)是交换群-乘法对加法满足分配律例如，有理数集合Q关于普通加法和乘法构成域，记作(Q,+,·)。加法单位元是0，乘法单位元是1，每个非零有理数a的乘法逆元是1/a。群、环、域的关系是：每个域都是环，每个环都是加法群，但反之不成立。例如，整数环Z是环但不是域，因为只有1和-1有乘法逆元；对称群S_3是群但不是环，因为没有定义第二个运算。2.解：正规子群是群论中的一个重要概念。设G是一个群，H是G的子群，如果对于任意g∈G，有gHg^{-1}⊆H，则称H是G的正规子群，记作H⊴G。正规子群的重要性主要体现在以下几个方面：1.商群的存在：只有当H是G的正规子群时，才能定义商群G/H。商群G/H的元素是H的陪集，运算定义为(gH)(kH)=(gk)H。这个运算是良定义的当且仅当H是正规子群。2.同态基本定理：群同态的核是正规子群，且每个正规子群都是某个群同态的核。具体来说，如果φ:G→K是群同态，则ker(φ)是G的正规子群；反过来，如果H是G的正规子群，则存在唯一的群同态φ:G→G/H，使得ker(φ)=H。3.群的构造：正规子群用于构造新的群，如商群。通过研究正规子群和商群，可以理解群的结构。例如，简单群（没有非平凡正规子群的群）是群论中的基本构件，类似于素数在数论中的地位。4.群的同构定理：正规子群是群同构定理的基础。第一同构定理指出，如果φ:G→K是群同态，则G/ker(φ)≅φ(G)。这个定理建立了群同态、核和像之间的关系。5.群的分类：在有限群的分类中，正规子群起着关键作用。例如，可解群是指存在正规子群序列，使得每个商群都是交换群。因此，正规子群是群论中连接不同群结构的重要概念，它允许我们通过商群来研究群的结构，并通过同态定理建立群之间的联系。六、证明题（共30分，每题15分）1.证明：我们需要证明：设G是一个群，H是G的子群，则H是G的正规子群当且仅当对于任意g∈G，有gHg^{-1}=H。（1）首先假设H是G的正规子群，即对于任意g∈G，有gHg^{-1}⊆H。我们需要证明gHg^{-1}=H。由于gHg^{-1}⊆H，我们可以考虑g^{-1}Hg。因为g^{-1}∈G，且H是正规子群，所以g^{-1}Hg⊆H。现在取任意h∈H，则ghg^{-1}∈gHg^{-1}⊆H，所以h=g^{-1}(ghg^{-1})g∈g^{-1}Hg。因此H⊆g^{-1}Hg。结合g^{-1}Hg⊆H和H⊆g^{-1}Hg