初高中数学暑假衔接材料：第02讲 基本不等式（原卷版及解析）

13/13第02讲基本不等式内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1利用基本不等式比较大小题型2利用基本不等式求最值（无条件）题型3条件等式求最值题型4利用基本不等式证明不等式题型5基本不等式“1”的妙用求最值题型6基本不等式的恒成立问题题型7基本不等式的实际应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航基本不等式1.探索基本不等式以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法；2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件；3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。学习重点：基本不等式的探索过程和证明；运用基本不等式求函数的最值学习难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点基本不等式【知识点1基本不等式的证明】1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式(a>0,b>0)当且仅当“a=b”时取“=”叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，.2.基本不等式的常见变形(1).(2)【知识点2基本不等式的应用】1．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．2．利用基本不等式求最值的几种常见方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【知识点3等式的基本性质】1．等式的基本性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么.【知识点4不等式的性质】1．不等式的性质(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．2．不等式的两类常用性质(1)倒数性质①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒．(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①真分数的性质；②假分数的性质.题型1利用基本不等式比较大小【例1】已知实数a、b，下列四个不等式成立的是（

）A．a+1a≥2C．a+b2≤ab【易错提醒】/【方法总结】【变式1-1】下列结论表述正确的是（）A．若，则恒成立B．若，则恒成立C．若，，则成立D．若x＜0，则【变式1-2】若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a+b，2ab，2ab，a2+A．2ab B．2ab C．a2+【变式1-3】已知a、b∈R+且a≠b，下列各式中最大的是（A．a2+b22 B．a+b2题型2利用基本不等式求最值（无条件）【例2】设实数满足，函数的最小值为（）A． B． C． D．【易错提醒】/【方法总结】【变式2-1】当x>1时，2x+2xx−1的最小值为（A．6 B．8 C．9 D．10【变式2-2】已知，则的最大值是（

）．A． B． C．5 D．8【变式2-3】已知0<a<12，则a1−2aA．1 B．22 C．18 题型3条件等式求最值【例3】已知正实数x,y满足xy+x+2y=6，则x+2y的最小值是（

）A．22+2 B．4 C．5 【易错提醒】/【方法总结】【变式3-1】已知a≥0，b≥0，且ab+2a−b=6，则a+b的最小值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【变式3-2】若，，，则的最小值为.【变式3-3】已知实数a>0,b>0，2a+b=8，则ab的最大值是（

）A．22 B．6 C．8 D．16题型4利用基本不等式证明不等式【例4】已知a,b,c均为正实数，求证：2b+3c−aa【易错提醒】/【方法总结】【变式4-1】（1）已知实数均大于0，证明：．（2）已知，证明：．【变式4-2】已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1．求证：a+1【变式4-3】（1）已知正实数，且，求证：．（2）已知正实数，且，求证：（3）已知，都是正数，且，求证：．题型5基本不等式“1”的妙用求最值【例5】已知，且，则的最小值是.【易错提醒】/【方法总结】【变式5-1】已知正实数x,y满足x+2y=xy，则x+y的最小值为（

）A．3+22 B．2 C．3 D．【变式5-2】已知a+2b=2，且a>0,b>0，则1a+1A．4 B．6 C．1+22 D．【变式5-3】已知，则的最小值为.题型6基本不等式的恒成立问题【例6】已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【易错提醒】/【方法总结】【变式6-1】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．，或C． D．，或【变式6-2】已知x,y都是正数，x+y=1且1x+1xy≥mA．m≤3+22 B．m≥3+22 C．m≤2+22【变式6-3】）已知x,y>0满足x+y=6.(1)求yx(2)若x2+4y题型7基本不等式的实际应用【例7】青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积S.

(1)用含有的代数式表示；(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？【变式7-1】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为xm，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高x应为（

A．53 B．3 C．103【变式7-2】如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区平行于墙的长度为xm，垂直于墙的长度为y

(1)若育苗区面积为8m2，求(2)若使用的篱笆总长为10m，求1【变式7-3】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量y（单位：百件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式y=20x−20+2，其中20<x<50.已知该商品的成本为10A．800元 B．8000元 C．900元 D．9000元一、单选题1．设正实数，满足，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．2．已知正数，满足，则（）A． B． C． D．3．已知正数满足，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．54．已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知实数满足，且，求的最小值为（

）A． B． C．6 D．86．若正实数满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．二、多选题7．下列不等式成立的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，则8．已知，且，则（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是4D．的最小值是三、填空题9．若，则的最大值为．10．已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是．四、解答题11．（1）已知x>3，求x+4（2）求2x4−x12．已知x>0，y>0，x+y=4.(1)求xy的最大值；(2)求1x13．已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，证明：(1)a2(2)(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1−a)(1−b)(1−c).14．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为120 m2的花园．图中阴影部分是宽度为1 m的小路，中间A,B,C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中B,C区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为

(1)用含有x的代数式表示a；(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？

第02讲基本不等式内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1利用基本不等式比较大小题型2利用基本不等式求最值（无条件）题型3条件等式求最值题型4利用基本不等式证明不等式题型5基本不等式“1”的妙用求最值题型6基本不等式的恒成立问题题型7基本不等式的实际应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航基本不等式1.探索基本不等式以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法；2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件；3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。学习重点：基本不等式的探索过程和证明；运用基本不等式求函数的最值学习难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧.知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点基本不等式【知识点1基本不等式的证明】1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式(a>0,b>0)当且仅当“a=b”时取“=”叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，.2.基本不等式的常见变形(1).(2)【知识点2基本不等式的应用】1．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．2．利用基本不等式求最值的几种常见方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【知识点3等式的基本性质】1．等式的基本性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么.【知识点4不等式的性质】1．不等式的性质(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．2．不等式的两类常用性质(1)倒数性质①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒．(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①真分数的性质；②假分数的性质.题型1利用基本不等式比较大小【例1】已知实数a、b，下列四个不等式成立的是（

）A．a+1a≥2C．a+b2≤ab【答案】D【解题思路】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D.【解答过程】对于A，取a=−1，则a+1对于B，a2+2+即a2+2=1对于C，取a=2,b=4，则a+b2对于D，a2+b故选：D.【易错提醒】/【方法总结】利用基本不等式比较大小时要注意等号成立的条件【变式1-1】下列结论表述正确的是（）A．若，则恒成立B．若，则恒成立C．若，，则成立D．若x＜0，则【答案】C【分析】根据基本不等式成立的条件可判断ABCD的正误.【解析】对于A，若，则恒成立，错；对于B，若，则恒成立，若，则，错；对于D，∵，如时，，∴D错误；对于C，因为，而，，故成立.故选：C．【变式1-2】若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a+b，2ab，2ab，a2+A．2ab B．2ab C．a2+【答案】A【解题思路】首先根据基本不等式比较大小，再作差比较，即可判断.【解答过程】因为0<a<1，0<b<1，且a≠b，a+b>2ab，a2ab−2ab=2ab1−ab所以2ab−2ab>0，即2ab<2ab故选：A.【变式1-3】已知a、b∈R+且a≠b，下列各式中最大的是（A．a2+b22 B．a+b2【答案】A【解题思路】利用基本不等式逐项判断即可.【解答过程】由重要不等式可得a2+b2≥2ab但a≠b，则a2因为a2+b2≥2ab故a2+b但a≠b，则a2由基本不等式可得2aba+b≤2×但a≠b，则2aba+b故这四个数中，最大的为a2故选：A.题型2利用基本不等式求最值（无条件）【例2】设实数满足，函数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据基本不等式成立的条件，用配凑法可解.【详解】因为，所以，所以,当且仅当，即时，等号成立.所以函数的最小值为.故选：A.【易错提醒】/【方法总结】不能直接用基本不等式求最值的，可通过配凑法再用基本不等式求最值【变式2-1】当x>1时，2x+2xx−1的最小值为（A．6 B．8 C．9 D．10【答案】B【解题思路】2x+2x【解答过程】因为x>1，则x−1>0，2x+2x≥22x−1×2x−1所以2x+2xx−1的最小值为故选：B.【变式2-2】已知，则的最大值是（

）．A． B． C．5 D．8【答案】A【分析】化简变形利用基本不等式计算即可．【详解】易知．因为，所以，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故，则的最大值是．故选：A【变式2-3】已知0<a<12，则a1−2aA．1 B．22 C．18 【答案】C【解题思路】根据题意结合基本不等式运算求解即可.【解答过程】因为0<a<12，则可得2a1−2a≤2a+当且仅当2a=1−2a，即a=1所以a1−2a的最大值为1故选：C.题型3条件等式求最值【例3】已知正实数x,y满足xy+x+2y=6，则x+2y的最小值是（

）A．22+2 B．4 C．5 【答案】B【解题思路】由题意得x=8y+1−2，代入x+2y【解答过程】由xy+x+2y=6有：x=6−2y所以x+2y=8当且仅当8y+1=2y+1故选：B.【易错提醒】/【方法总结】条件等式求最值是通过消元配凑法再用基本不等式求最值【变式3-1】已知a≥0，b≥0，且ab+2a−b=6，则a+b的最小值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解题思路】从ab+2a−b=6中解出a=4b+2+1，代入a+b【解答过程】∵ab+2a−b=6，∴ab+2=6+b，∴a+b=4∵b≥0，∴4∴a+b=4当且仅当4b+2=b+2时，即∴a+b的最小值为3.故选：C.【变式3-2】若，，，则的最小值为.【答案】9【分析】根据已知等式可得，代入所求式子结合基本不等式即可得最值.【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.【变式3-3】已知实数a>0,b>0，2a+b=8，则ab的最大值是（

）A．22 B．6 C．8 D．16【答案】C【解题思路】根据题意，利用基本不等式2ab≤(【解答过程】因为a>0,b>0且2a+b=8，则ab=1当且仅当2a=b时，即a=2,b=4时，等号成立，所以ab的最大值为8.故选：C.题型4利用基本不等式证明不等式【例4】已知a,b,c均为正实数，求证：2b+3c−aa【答案】证明见解析【解题思路】将2ba+a2b≥2【解答过程】因为a,b,c均为正实数，所以2ba+a3ca+a3c2b+2b以上三式相加，得2ba+a所以2ba+a即2b+3c−aa+a+3c−2b【易错提醒】/【方法总结】不能直接用基本不等式求最值的先通过拆分、配凑再用基本不等式【变式4-1】（1）已知实数均大于0，证明：．（2）已知，证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）对括号内应用重要不等式证明即可；（2）应用基本不等式，取加法化简即可.【详解】证明：（1）根据待证不等式结构选用，当且仅当时等号成立，所以．（2）因为，所以，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，所以，因此．【变式4-2】已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1．求证：a+1【答案】证明见解析【解题思路】将证明式子中的1用a+b+c=1代换，整理为4+(b【解答过程】因为a，b，c都为正实数，且a+b+c=1，所以(a+=(a+a+b+c=4+(ba+当且仅当a=b=c=1所以a+1【变式4-3】（1）已知正实数，且，求证：．（2）已知正实数，且，求证：（3）已知，都是正数，且，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论.（2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证.（3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论.【详解】（1）由均为正实数，且，则，当且仅当，即时等号成立，故.（2）由均为正实数，且，则，当且仅当，即时等号成立，，当且仅当，即时等号成立，，当且仅当，即时等号成立，所以，则，当且仅当时等号成立.（3）由均为正实数，且，则，当且仅当，即时等号成立，故.题型5基本不等式“1”的妙用求最值【例5】已知，且，则的最小值是.【答案】【分析】由乘1法即可求解.【详解】由得：，，当且仅当时取得等号，所以的最小值是，故答案为：【易错提醒】/【方法总结】等式条件通常化为等于1的形式后再乘以所求式子即可用基本不等式求最值【变式5-1】已知正实数x,y满足x+2y=xy，则x+y的最小值为（

）A．3+22 B．2 C．3 D．【答案】A【解题思路】先将x+2y=xy变形得1y+2【解答过程】因为x>0,y>0，所以xy>0，由x+2y=xy，则1y所以x+y=≥3+2x当且仅当xy=2y所以x+y的最小值为3+22故选：A.【变式5-2】已知a+2b=2，且a>0,b>0，则1a+1A．4 B．6 C．1+22 D．【答案】D【解题思路】由题设转化得a+2b+1【解答过程】由题可得a+2b+1=4，又则1≥1当且仅当2b+1a=所以1a+1【变式5-3】已知，则的最小值为.【答案】【分析】根据已知等式，结合代数式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为，所以，由，所以，因为，当且仅当，即当时取等号，所以有.所以当时，有最小值，故答案为：题型6基本不等式的恒成立问题【例6】已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用基本不等式得出，结合题干信息得出，利用即可.【详解】因，则，等号成立时，因，则，即，解得，即，因不等式恒成立，则，故实数的最小值是.故选：D【易错提醒】/【方法总结】不等式恒成立问题实际就是求函数的最值问题，常用方法：1.通过分离参数后再求函数的最值即可2.直接或通过配凑法后用基本不等式求最值【变式6-1】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．，或C． D．，或【答案】A【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8，然后根据这个最小值确定m的取值范围.【详解】，，当且仅当时等号成立，恒成立，，解得.故选：A.【变式6-2】已知x,y都是正数，x+y=1且1x+1xy≥mA．m≤3+22 B．m≥3+22 C．m≤2+22【答案】A【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出1x+1【解答过程】由x,y都是正数，且x+y=1，则1x当且仅当2yx=x所以1x+1又由1x+1故选：A.【变式6-3】）已知x,y>0满足x+y=6.(1)求yx(2)若x2+4y【答案】(1)1(2)m【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值；（2）先求出0<y<6，参变分离得到m≤x2+4y2x+4y，变形得到x2【解答过程】（1）y≥1当且仅当2yx=x即yx+3（2）由x>0,y>0,x+y=6，得x=6−y>0，即0<y<6，不等式x2+4yx2=5当且仅当y+2=16y+2，即因此当x=4,y=2时，x2+4y2x+4y所以m的取值范围mm≤题型7基本不等式的实际应用【例7】青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积S.

(1)用含有的代数式表示；(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？【答案】(1)，(2)【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式；（2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为，所以，可得，又，则，又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得，即关于的关系式为.（2）由（1）知，，，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.【变式7-1】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为xm，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高x应为（

A．53 B．3 C．103【答案】C【解题思路】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值.【解答过程】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为50m3，长为5m，高为xm，宽10则总造价z=1805x+2·当且仅当9x=100x，即x=10所以当垃圾池的高为103故选：C.【变式7-2】如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区平行于墙的长度为xm，垂直于墙的长度为y

(1)若育苗区面积为8m2，求(2)若使用的篱笆总长为10m，求1【答案】(1)当x=4,y=2时，所用篱笆总长最小(2)9【解题思路】（1）运用基本不等式即可得解；（2）运用乘“1”法和基本不等式即可得解.【解答过程】（1）由题意得，xy=8，所用篱笆总长为x+2y，则x+2y≥22xy=8，当且仅当x=2y，即所以当x=4,y=2时，所用篱笆总长最小.（2）由题意得，x+2y=10，则1x当且仅当2yx=2xy，即x=y=10【变式7-3】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量y（单位：百件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式y=20x−20+2，其中20<x<50.已知该商品的成本为10A．800元 B．8000元 C．900元 D．9000元【答案】B【解题思路】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值．【解答过程】设该超市每月销售该商品所获得利润为L，∵每件利润为x−10元，每月的销售量为100y件，∴L=100yx−10=100令t=x−20，则0<t<30，∴L=10020t+2t+10=200∴该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为8000元．故选：B．一、单选题1．设正实数，满足，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式求解即可.【详解】因为，，，所以，又，，所以，所以，当，即，即，时等号成立，所以的最小值为.故选：C.2．已知正数，满足，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据基本不等式由和为定值求乘积的最大值即可判断A；根据基本不等式将式子转化为再求解最值即可判断B；根据基本不等式将式子取平方转化为再求解最值即可判断C；利用基本不等式“1”的巧用求解的最值即可判断D.【详解】对于A，因为正数，满足，所以，当且仅当时，等号成立，故A不正确；对于B，因为，又，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，因为，又，所以，当且仅当时，等号成立，所以，故C不正确；对于D，因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故D不正确.故选：B.3．已知正数满足，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．5【答案】A【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】正数满足，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：A4．已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用乘“1”法并结合基本不等式可求得的最小值，从而可得实数m的取值范围.【详解】由，可得：，又因为，，则，当且仅当，即时取等号，所以，由恒成立，可得，即实数m的取值范围为.故选：A.5．已知实数满足，且，求的最小值为（

）A． B． C．6 D．8【答案】D【分析】由可得：，代入，得，令，再利用基本不等式可求最小值.【详解】由方程，可得：，代入所求表达式得：，令，则：，由，所以，因为，所以，所以.由基本不等式得：，当且仅当“”，即“”，即时取等号.所以最小值为8.故选：D6．若正实数满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简再应用基本不等式计算求解.【详解】由，又因为，所以，即得，所以当且仅当时取等号，所以，所以的最大值是故选：B.二、多选题7．下列不等式成立的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【分析】根据基本不等式的性质，结合题设条件，对各选项进行逐一判断．【详解】选项A：，当且仅当，即，无实数解，时，取得最小值，最小值为，故A成立；选项B：，，，当且仅当，即取等号，故B成立；选项C：，若，则，当且仅当，即时取等号，若，则，当且仅当，即时取等号，当时，原不等式成立；当时，原不等式不成立，故C不成立；选项D：，异号，且，，，当且仅当，即时取等号，故选项D成立．故选：．8．已知，且，则（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是4D．的最小值是【答案】AC【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可.【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确；因为，故，当且仅当时，等号成立，即最小值是，选项B错误；，当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确；，故，当且仅当时等号成立，即的最大值为，选项D错误，故选：AC．三、填空题9．若，则的最大值为．【答案】16【分析】法一：利用均值不等式的变形公式求解即可；法二：利用均值不等式求解即可.【详解】法一：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为16.法二：因为，所以，，由均值不等式可得，从而，当且仅当，即时取等号．所以的最大值为