初高中数学暑假衔接材料：第01讲 不等式的基本性质（原卷版）

4/12第01讲不等式的基本性质内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1用不等式表示不等关系题型2利用作差法比较大小题型3利用作商法比较大小题型4由不等式的性质比较数（式）大小题型5利用不等式的性质求取值范围题型6利用不等式的性质证明不等式04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航等式的性质、不等式的概念、性质1.梳理等式的性质，理解不等式的概念．2.掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较两个数的大小．3.体会“作差比较法”在比较大小和证明不等式中的作用．4.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力；学习重点：掌握不等式的性质，运用不等式的性质解决有关问题学习难点：不等式性质的运用知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01不等式的概念【知识点1不等关系】1．不等式的概念用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式.2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超过符号语言><≥≤3．不等关系的建立在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．知识点02大小的比较【知识点2比较大小】1．两个实数大小的比较如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．2．比较大小的基本方法关系方法作差法与0比较作商法与1比较或或知识点03等式的基本性质【知识点3等式的基本性质】1．等式的基本性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么.知识点04不等式的性质【知识点4不等式的性质】1．不等式的性质(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．2．不等式的两类常用性质(1)倒数性质①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒．(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①真分数的性质；②假分数的性质.题型1用不等式表示不等关系【例1】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线一共40km，其中靠近灭火前线5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60kmh，设需摩托车运送的路段平均速度为xkmA．4060+x>1 C．3560+5【易错提醒】/【方法总结】【变式1-1】某人元旦回家共225km，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有30km，已知动车的平均速度为300km/h，汽车平均速度为xA．225300+x+1C．195300+30【变式1-2】一个工厂原来每天可以加工x件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多560件，且30天加工的商品将超过75000件，这一关系可用不等式表示为（

）A．30x+560>75000 B．30C．30x+560≥75000 D．30【变式1-3】某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（

）A．30n+170≤1000 B．30n+170≥1000C．30n+200≥1000 D．30n+170>1000题型2利用作差法比较大小【例2】设M=2a(a−2)，N=(a+1)(a−3)，则M，N的大小关系为（）A．M>N B．M≤N C．M<N D．无法确定【易错提醒】/【方法总结】【变式2-1】若a=x2+3x+5,b=3x+4A．a<b B．a>bC．a=b D．a,b的大小关系无法确定【变式2-2】互不相等的实数a, b, c满足：c−b=4−4a+aA．b>a>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【变式2-3】若p=a+6−a+4，q=a+5−A．p<q B．p=q C．p>q D．不确定题型3利用作商法比较大小【例3】设p=a2+a+1−1，A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q【易错提醒】/【方法总结】【变式3-1】若实数m，n，p满足m=4e35，n=5e2A．p<m<n B．p<n<m C．m<p<n D．n<p<m【变式3-2】设a=7，b=3−3，则a_________【变式3-3】已知a<b<0，试比较a2+b题型4由不等式的性质比较数（式）大小【例4】已知a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是（

）A．a+c>b+d B．a−c<b−d C．ac<bd D．c【易错提醒】/【方法总结】【变式4-1】下列命题中的假命题是（

）A．若a>b>0, d>c>0，则ac>bC．若ac2>bc2，则a>b 【变式4-2】若a，b，c∈R，a<b<0，则下列不等式正确的是（

）A．1a<1C．1a2>【变式4-3】若a,b,c∈R，则下列命题正确的是（

）A．若a<b，则1B．若ac2C．苦a>b,c>d，那么a+d>b+cD．若a>b>0，则b+1题型5利用不等式的性质求取值范围【例5】实数a、b满足−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4.(1)求实数a、b的取值范围；(2)求3a−2b的取值范围．【易错提醒】/【方法总结】【变式5-1】已知3<a+b<4,1<a−b<2，则2ab的取值范围是（

）A．4,18 B．2,9 C．5,15 D．5【变式5-2】已知12<a<60，15<b<36，(1)求a+13b及(2)求ab【变式5-3】已知实数x，y满足1≤x+y≤4，−1≤x−y≤2，则4x−2y的取值范围是（

）A．−4,10 B．−3,6 C．−5,13 D．−2,10题型6利用不等式的性质证明不等式【例6】已知,求证:.【易错提醒】/【方法总结】【变式6-1】已知a,b,c,d均为正实数，且1a>1【变式6-2】已知a>b>c，求证：1a−b【变式6-3】（1）已知a>b>0，c<d<0，求证：ba−c（2）已知bc−ad≥0，bd>0，求证：a+bb一、单选题1．若，则下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．若，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．3．下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．已知，，则的最大值为（）A． B． C．3 D．46．设，若，则下列不等式中不正确的是（）A． B． C． D．二、多选题7．已知，则下列不等关系正确的是（）A． B． C． D．8．若实数满足，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．9．已知实数满足，，则（）A．B．C．D．三、填空题10．若，则的取值范围是．11．某高校在2008年9月初共有m名在校学生，其中有n名新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例（选填“变大”、“变小”或“不变”），其理论论据用数学形式表达为．12．已知实数x，y满足，，则的范围为．四、解答题13．（1）比较2x2+5x