初高中数学暑假衔接材料：第01讲 集合的概念与表示（原卷版）

8/9第01讲集合的概念与表示内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1判断能否构成集合题型2常用数集符号之元素与集合关系题型3用列举法或描述法表示集合题型4集合中元素的特性题型5空集题型6判断元素与集合的关系04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航集合的概念、集合的表示法、元素与集合的关系、集合中元素的特性1.了解集合的概念，理解元素与集合的关系;2.理解集合的三要素：互异性、确定性和无序性；3.掌握常见数集的表示；4.掌握集合的表示方法：列举法、描述法.学习重点：集合的概念、元素与集合的关系、集合的三要素、常见数集的表示学习难点：集合三要素的应用、元素与集合的关系知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01集合的概念与表示【知识清单1集合的概念】1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法.【知识清单2元素与集合的关系】1．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.2．常用的数集及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR3．集合的分类一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作Ø.例如，集合{x|x2+x+1=0,x∈R}就是空集.【知识清单3集合的表示法】1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．3．图示法图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法.题型1判断能否构成集合【例1】下列各组对象不能构成集合的是（）A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员B．小于2的正整数C．数学必修第一册课本上的难题D．所有有理数【易错提醒】/【方法总结】【变式1-1】下列各组对象不能构成集合的是（

）A．所有的正方形 B．方程的整数解C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员【变式1-2】（多选）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（）A．某校高一年级成绩优秀的学生B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．不小于3的自然数D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者【变式1-3】下列各组对象可以构成集合的是（

）A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数题型2常用数集符号之元素与集合关系【例2】给出下列关系：①−2∉N∗；②0∉Z；③2∈Q；④A．1 B．2 C．3 D．4【易错提醒】/【方法总结】【变式2-1】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（

）A．4 B．2 C．3 D．5【变式2-2】下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【变式2-3】下列关系正确的是（

）A． B． C． D．题型3用列举法或描述法表示集合【例3】选择适当方法表示下列集合：(1)由小于8的所有自然数组成的集合A；(2)自然数的平方组成的集合B；(3)方程组的解组成的集合C；(4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D．【易错提醒】/【方法总结】【变式3-1】用列举法表示下列集合：(1)方程的解组成的集合；(2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合【变式3-2】选择适当方法表示下列集合:(1)由不超过5的所有自然数组成的集合A；(2)不等式的解集组成集合；(3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合;(4)二次函数的图象上所有的点组成的集合.【变式3-3】）用列举法表示下列给定的集合：(1)方程的实数根组成的集合C；(2)一次函数与的图象的交点组成的集合D．题型4集合中元素的特性【例4】已知集合A=12,a2+4a,a−2，且−3∈A，则A．−1 B．−3或−1 C．3 D．−3【易错提醒】/【方法总结】【变式4-1】已知集合A=2a,2a2+a，若1∈A，则A．12 B．−1 C．−1或12 【变式4-2】）已知集合，且，则实数为（

）A．2 B．3 C．0或3 D．【变式4-3】已知集合A=a−2，2(1)求a满足的条件；(2)若−3∈A，求a的值.题型5空集【例5】下列四个集合中，是空集的是（

）A． B．C． D．【易错提醒】/【方法总结】【变式5-1】下列四个集合中是空集的是（

）A． B．C．，或 D．【变式5-2】方程的实数解集为．【变式5-3】集合．题型6判断元素与集合的关系【例6】（多选）设，则（

）A． B．C． D．【易错提醒】/【方法总结】【变式6-1】（多选）已知集合，，，且，，，则（

）A． B．C． D．【变式6-2】已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|+y|y|+A．4∈M B．2∈M C．0∉M D．−4∉M【变式6-3】非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则xy∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（

）①﹣1∉A；②20202021∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y∉AA．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④一、单选题1．下列各组对象中，能构成集合的是（

）A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题D．美丽的小鸟2．已知集合{且}，则（

）A． B．C． D．3．已知集合A=x∈Zx<3A．2∈A B．3∈AC．0∉A D．∅∈A4．设集合，集合，则集合中有（）个元素A．4 B．5 C．6 D．75．若集合A={x|2mx−3>0,m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是（A．34,32 B．34,二、多选题6．给出下列说法，其中不正确的是（）A．集合{x∈N|B．实数集可以表示为{xx为所有实数}或C．方程组x+y=0x−y=−1的解组成的集合为D．集合{y|y=x2}7．下面四个说法中正确的是（

）A．10以内的质数组成的集合是B．由2，3组成的集合可表示为或C．方程的所有解组成的集合是D．与表示同一个集合8．已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（

）A． B．C． D．9．已知集合，且，则的可能取值有（

）A．1 B．－1 C．3 D．210．已知集合A=x|ax2A．若A中只有一个元素，则a=1 B．若A中至少有一个元素，则a≤1C．若A中至多有一个元素，则a≥1 D．若A中恰有两个元素，则a<1三、填空题11．用列举法表示集合为．12．含有三个实数的集合可表示为a,ba,1，也可以示为a2,a+b,0四、解答题13．用适当的方法表示下列集合：(1)大于0且不超过