初高中数学暑假衔接材料：第02讲 充分条件、全必要条件、充要条件（原卷版）

9/9第02讲充分条件、必要条件、充要条件内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1充分条件题型2必要条件题型3充分条件、必要条件、充要条件题型4由充分、必要条件求参数题型5根据充要条件求参数题型6充要条件的证明04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航充分条件、必要条件、充要条件1.了解命题的真假与充分条件、必要条件充要条件的关系；2.理解充分条件与必要条件的类型与判定；学习重点：充分条件、必要条件、充要条件的定义学习难点：根据充分条件、必要条件、充要条件求参数知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01充分条件、必要条件、充要条件【知识点1充分条件与必要条件】1．充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系及符号表示由p通过推理可得出q，记作：p⇒q由条件p不能推出结论q，记作：条件关系p是q的充分条件

q是p的必要条件p不是q的充分条件

q不是p的必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．知识点02充要条件【知识点2充要条件】1．充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．【注】：“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．【知识点3充分、必要与充要条件的类型及判定】1．充分条件与必要条件的四种类型(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.(2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件.(3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件.(4)如果且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.2．集合角度中的条件判断设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若A=B，则p是q的充要条件.3．充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.4．充分条件、必要条件的应用充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.题型1充分条件【例1】下列所给的各组p，q中，满足q的充分条件是p的个数是（

）（1）p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形；（2）p：两个直角三角形全等，q：两个直角三角形的斜边相等；（3）p：x=1，q：x=1（4）p：a2=b2，（5）p：同位角相等，q：两条直线平行；A．1 B．2 C．3 D．4【易错提醒】/【方法总结】【变式1-1】两个三角形全等的充分条件是（

）A．两个三角形的两角对应相等B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等C．两个三角形的三边对应成比例D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等【变式1-2】下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（

）A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形【变式1-3】已知p:0<x<1，那么pA．1<x<3 C．13<x题型2必要条件【例2】在下列若p则q的命题中，q是p的必要条件的命题是（

）A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等C．若a<3，则a<5D．若x是无理数，则x2【易错提醒】/【方法总结】【变式2-1】下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（

）A．若x=1，则B．若ac=bcC．若mn为无理数，则m,D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形【变式2-2】使不等式−4≤x+1≤4成立的一个必要条件是（

）A．2≤x≤3 B．−6≤x≤3 C．−5≤x≤2 D．−6≤x≤2【变式2-3】已知非空集合A=x|a-1≤x≤2a+3，BA．0,12 C．0,+∞ D．(-∞,题型3充分条件、必要条件及充要条件【例3】已知，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【易错提醒】/【方法总结】【变式3-1】（多选题）下列命题正确的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“”是“”的必要不充分条件C．“”是“”成立的充要条件D．设，则“”是“”的必要不充分条件【变式3-2】p:a+b>0，q:a>0且b>0，则p是q的（

）条件A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要【变式3-3】若a,b∈R，则“a2+b2≤18A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3-4】已知p:x²−4x<0，则p成立的一个充分不必要条件是（

A．−2<x<0 B．0<x<2 C．0<x<4 D．1<x≤4题型4由充分条件、必要条件求参数【例4】已知p:−1<x<3,q:3m<x<3m+3，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．−∞,−13 B．[0,+∞)【易错提醒】/【方法总结】由p是q的必要不充分条件，得集合B是A的真子集，从而构造不等式，解不等式即可【变式4-1】已知，，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【变式4-2】已知.(1)若是的必要不充分条件，求实数的范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的范围.【变式4-3】命题p：−3≤x≤1，q：x≤a.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（

）A．(−3,+∞) C．(1,+∞) 题型5根据充要条件求参数【例5】方程至少有一个负实根的充要条件是（

）A． B． C． D．或【易错提醒】/【方法总结】【变式5-1】关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根的充要条件是（A．a>2或a<−2 B．a≥2或a≤−2C．a<1 D．a>2【变式5-2】设p:x≥a，q:3x−6≥0，且p是q成立的充要条件，则a的值是（

）A．2 B．1 C．0 D．−1【变式5-3】若命题p：“2x>6−a”是命题q：“x∈R”的充要条件，则（

A．a<6 B．a>6 C．a<0 D．a>0题型6充要条件的证明【例6】已知ab≠0，求证：a3−2a2b+2ab【易错提醒】/【方法总结】【变式6-1】已知集合，．若，设：，，求证：成立的充要条件为．【变式6-2】已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3一、单选题1．已知a是实数，那么“a>1”是“a2>1”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．下列p是q的必要不充分条件的是（

）A．p:a>b,q:a−c>b−c B．p:x>−6,q:x>−5C．p:a=b,q:at=bt D．p:x>|y|,q:3．“0<x<1”的一个充分不必要条件是（

）A．13<x<1C．−1<x<2 D．−1<x<4．若−1<x<2是−2<x<a的充分不必要条件，则实数a的值不可以是（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知集合A=xx=2k,k∈Z，B=xx=4k,k∈Z，则“x∈A”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．二、多选题7．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（

）A．若x<1，则x<2B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似C．若x≠1，则xD．若ab>0，则a>0，b>08．“x≤1”的一个充分不必要条件可以是（

）A．x≤2 B．x<0 C．0<x<2 D．x<1三、填空题9．已知命题p：方程x2−ax+1=0有实数根，命题q：a>3；那么p是q的10．若“−1<x<1”是“1<−2x+m<5”的充要条件