初高中数学暑假衔接材料：第2章 常用逻辑用语单元测试卷（解析版）

1/10第2章常用逻辑用语单元测试卷建议用时：120分钟，满分：150分第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有下列语句，其中是命题的个数为（

）（1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）a2+1>0(a∈RA．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解题思路】根据命题的定义即可结合选项逐一求解.【解答过程】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题；（2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题；（3）因为a2+1>0(a∈R（4）不能判断x>3是否正确，所以x>3不是命题；（5）因为91=13×7，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题；（6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题.所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题．故选：A.2．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据存在量词命题的否定的知识来确定正确答案.【详解】命题是存在量词命题，则命题的否定是全称命题，所以命题，的否定为：，.故选：D.3．“”是“”的（

）A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】若等价于或，所以由不能推出，若，则，即由可以推出，所以是的必要且不充分条件.故选：B.4．若x,y∈R，则“x>y”的一个充分不必要条件可以是（

）A．x−y>1 B．x−y>0 C．xy>1 【答案】A【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.【解答过程】对于A，因为x−y>1，所以x>y+1>y，即x>y，当x>y时，取x=2.5,y=2，则x−y<1，所以“x−y>1”是“x>y”的一个充分不必要条件，故A正确；对于B，x−y>0即x>y，“x−y>0”是“x>y”的充要条件，故B错误；对于C，由xy>1，取x=−2,y=−1，则由x>y，取x=1,y=−2，则xy所以“xy>1”是“对于D，由|x|>|y|，取x=−2,y=1，则x<y，由x>y，取x=1,y=−2，则|x|<|y|，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故D错误．故选：A．故选：B5．已知集合A=x−2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m−1.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则A．m|m≤3 B．m|2≤m≤3 C．∅ D．m|2<m≤3【答案】A【解题思路】分集合B是否为空集讨论即可，当B≠∅时，由集合间的包含关系求出；【解答过程】由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B是A的真子集，当B=∅时，m+1>2m−1，解得m<2；当B≠∅时，m+1≥−22m−1≤5m+1≤2m−1，前两个等号不能同时取得，解得综上m的取值范围是m|m≤3，故选：A.6．已知命题p：∃x∈R，x2=−x−1，命题q：∀x≥−1，x3A．p和q均为真命题 B．p和¬q均为真命题C．¬p和q均为真命题 D．¬p和¬q均为真命题【答案】C【解题思路】由判别式的正负可判断p，由x3+x【解答过程】由x2+x+1=0，Δ=1−4=−3<0，可知方程无解，故px3因为x≥−1，所以x21+x≥0成立，即q故选：C.7．“”是假命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用特称命题及其否定形式的真假结合二次不等式恒成立问题计算即可.【详解】由特称命题的否定形式及真假可知：“”为假则其否定形式“”为真命题，显然当时符合题意，当时，由一元二次不等式的恒成立问题得，解之得，综上可得.故选：B8．已知命题p:∃x∈0,1,x2−2x−2+a>0；命题q:∀x∈R,A．−1,3 B．−1,2 C．0,2 D．−【答案】B【解题思路】求出p,q为真命题时a的范围，进一步可得答案．【解答过程】由∃x∈0,1,x−x2+2x+2=−则当x=0时，−x2+2x+2命题q:∀x∈R,x2−2x−a≠0若命题p,q均为假命题，则a≤2且a≥−1，即−1≤a≤2，∴实数a的取值范围为−1,2．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题是真命题的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AD【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，解方程，即可判断C.【详解】对于A，B，当时，，故A正确，B错误；对于C：由，解得，所以不存在，使得，故C错误；对于D：因为，所以，所以，，故D正确.故选：AD10．已知命题p:∃x∈R，使得2kx2+x+3A．k=−1 B．k=1 C．k<13 【答案】AD【解题思路】对k进行讨论，求解p为真命题的充要条件是k<1【解答过程】当k≤0时，显然∃x∈R，使得2k当k>0时，Δ=1−4⋅2k⋅38综上，命题p为真命题的充要条件是k<1故选：AD.11．下列说法正确的是（

）A．至少有一个实数x，使xB．“a>b>0”是“1aC．命题p:∀x∈R,x2D．“集合A=x∣ax2【答案】BD【解题思路】确定存在量词命题的真假判断A；利用充分不必要条件定义判断B；利用全称量词命题的否定判断C；利用必要不充分条件的定义判断D.【解答过程】对于A，在实数范围内，x2≥0，对于B，由a>b>0，得1a<1b，充分性成立，若1a此时0>a>b，必要性不成立，因此“a>b>0”是“1a对于C，命题p：∀x∈R，x2>0，则¬p：∃x∈R，对于D，若集合A=xax2+x+1=0中只有一个元素，当a=0当a≠0时，得Δ=1−4a=0，解得a=14，则a=14因此“集合A=x∣ax2故选：BD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若“存在，使得”是假命题，则a的取值范围是.【答案】【分析】由题意可得“任意，使得”是真命题，结合一次函数性质即可求解.【详解】若“存在，使得”是假命题，则“任意，使得”是真命题，根据一次函数在上单调递减，所以，即.故答案为：.13．已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为.【答案】【分析】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得.【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得；但且两端等号不同时成立，所以，即；因此实数m的取值范围为.故答案为：14．已知m∈R，命题p：∃x∈R，x2−3x−m≤0；命题q：∀x∈R，x2−2mx+9≥0．若命题p是假命题，¬q是真命题，则实数m的取值范围为【答案】−【解题思路】根据¬p是真命题、q是真命题求出实数m的取值范围，再由若命题p是假命题、¬q是真命题可得答案.【解答过程】若p是假命题，则¬p：∀x∈R，x2则−32+4m<0，解得若命题q：∀x∈R，x2则4m2−36≤0，解得−3≤m≤3若¬q是真命题，可得m<−3或m>3，若命题p是假命题，¬q是真命题，则实数m的取值范围为−∞故答案为：−∞四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知p：关于x的方程x2−2ax+a2+a−2=0有实根，q：关于x(1)若¬q是真命题，求a的取值范围；(2)若p和q中恰有一个是真命题，求a的取值范围.【答案】(1)(−∞(2)(−∞【解题思路】（1）由命题q是真命题求出a的取值范围，根据其补集即可得出¬q是真命题时a的取值范围；（2）利用判别式求出p为真时a的范围，分p真q假，p假q真两种情况求解即可.【解答过程】（1）由x−2a+5=0解得x=−5+2a，所以−3≤−5+2a≤9，解得1≤a≤7，因为命题¬q是真命题，则命题q是假命题，所以a<1或7<a.所以实数a的取值范围是(−∞（2）由（1）知，命题q是真命题，即q:1≤a≤7，若p为真命题，即关于x的方程x2因此Δ=4a2则p为假命题时，a>2.当p真q假时，则a≤2a<1或a>7当p假q真时，则a>21≤a≤7，解得2<a≤7综上，p和q中恰有一个是真命题时，a的取值范围为(−∞16．（15分）已知：关于的方程有实数根，.(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答.（2）由命题是命题的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，因此，解得，所以实数的取值范围是.（2）由（1）知，若命题是真命题，则，因为命题是命题的必要不充分条件，则是的真子集，因此，解得，所以实数的取值范围是.17．（15分）已知集合，．(1)若，定义集合或，求；(2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)(2)．【分析】（1）根据集合间运算的新定义直接得解；（2）根据集合间的关系及命题的充分必要性列不等式，解不等式即可.【详解】（1）由已知当时，，又，则；（2）若选①，则由，得，当时，即，解得，此时满足，符合题意；当时，，解得，且，解得；综上所述，实数的取值范围为；若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则，当时，即，解得，此时满足，符合题意；当时，，解得，且且不同时取等号，解得；综上所述，实数的取值范围为.18．（17分）已知命题p:∀x∈R，a2−1x(1)若“−2−3t≤a≤2t−1”是p成立的充分条件，求实数t的取值范围；(2)若命题p和q有且只有一个为假，求实数a．【答案】(1)(−∞(2)[−3【解题思路】（1）由命题p为真，求出a的取值范围，再利用集合的包含关系，列出不等式求解作答.（2）由命题q为真，求出a的取值范围，再结合（1）及已知分情况讨论作答.【解答过程】（1）因为∀x∈R，(a2−1)x2+(a−1)x+4>0当a=−1时，不等式−2x+4>0对x∈R当a2≠1时，a2−1>0Δ因此命题p为真时，a<−1715或a≥1，而“−2−3t≤a≤2t−1”是则{a|−2−3t≤a≤2t−1}⊆{a|a<−17当−2−3t>2t−1，即t<−15时，{a|−2−3t≤a≤2t−1}=∅，符合题意，于是当−2−3t≤2t−1，即t≥−15时，2t−1<−1715或所以实数t的取值范围(−∞（2）由（1）知，命题p为真，a<−1715或a≥1，命题q为真时，Δ'=(2a+1)而命题p和q有且只有一个为假，即p,q一真一假，当p真q假时，即a<−1715或a≥1并且−3当p假q真时，即−1715≤a<1并且a<−32所以实数a的取值范围是[−319．（17分）已知集合A=xx2(1)若A∩B=∅，求实数m的取值范围；(2)设命题p：x∈A；命题q：x∈B，是否存在实数m，使得命题q是命题p的必要不充分条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)−∞,2(2)不存在，理由见解析【解题思路】（1）分B=∅、B≠∅讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解；（2）命题q是命题p的必要不充