江苏省宿迁市2025-2026学年下学期高二年级期末学业水平监测数学试题含答案

高二年级质量监测

数学

本试卷共6页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条

形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正

确的。

1.的值为

B.C.7D.6

2.(1+x)(1-x)³的展开式中x³的系数为

A.2B.1C.-1D.-2

3.某市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ~n95,σ²),且P(80<ξ≤95)=0.45,

若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从110分以上的试卷中抽取

A.5份B.10份C.15份D.20份

4.下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x(单位：t)与相应的生产能耗y(单位：

t标准煤)的几组数据：

x/t3456

y/t标准煤2.53m4.5

根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为=0.7x+0.35,则

A.x与y负相关B.m=3.85

C.回归直线过点(4.5,3.5)D.x=6时的残差为0.05

5.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为3和9,侧棱长为5,则它的侧面积为

A.24B.36C.72D.90

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6.己知1,m,n为三条不同的直线，α,β,γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是

A.若α⊥β,m⊥α,则m//β

B.若m//n,ncα,则m/lα

C.若mcα,ncα,I⊥m,I⊥n,则llα

D.若α∩β=1,α∩y=m,β∩y=n,I//m,则1//n

7.已知空间向量a=(2,-1,2),b=(1,-2,1),则向量b在向量a上的投影向量是

A.B.(2,-1,2)D.(1,-2,1)

8.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移

动8次，则下列说法正确的是

A.质点回到原点的概率为B.质点回到原点的概率为

C.质点位于6的位置的概率为·D.质点位于6的位置的概率为·

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是

A.x²独立性检验方法不适用于普查数据

B.数据1,2,2,3,3,4,4,5,8,9的90百分位数是8

C.若散点图中所有的散点都落在一条直线上，则决定系数R²=1

D.若事件A,B相互独立，则P(A+B)=P(A)+P(B)

10.一只不透明的口袋内装有7个大小、质地均相同的小球，分别标有1~7这7个自然数(1个小球上标

1个数),从中依次不放回的抽取1个小球.“第一次抽取的小球标号为奇数”记为事件A,“前两次抽

取的小球标号之和为偶数”记为事件B,则

B.P(AB)=P(A)P(B)c.D.

11.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,动点P满足AP=λAB+μAD+VAA,其中λ,μ,v∈[0,1],

则下列说法正确的是

A.若μ=0,λ=v,则BD₁⊥CP

B.若λ=0,μ=V,则CP//平面A₁C₁B

C.平面ADP与平面ACD夹角的大小与λ,μ,V都有关

D.若λ+μ+v=2,则点P到平面AIBD的距离是

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。

12.若随机变量X的方差D(X)=3,则D(2X+1)=_

13.现有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同

学，则不同的安排方法共有种.

14.已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球，点M为球O表面上一动点，且满足

BMI/平面ACD₁,则MC²+MB²的最大值为

四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

的展开式中所有二项式系数之和为1024.

(1)求n的值及展开式中二项式系数最大的项；

(2)求2a+2²a₂+…+2"a的值.

16.(15分)

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°,AB=AC=√2AA₁,点M,N分别为A₁B,B₁C₁的

中点.

(1)证明：MN//平面A₁ACC₁;

(2)求直线A₁B与平面MNC所成角的正弦值.

C

(第16题图)

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17.(15分)

某高中研究小组为研究学生学习效果与主动预习的关系，从全市若干所高中学校的所有学生中随机抽

取100名学生进行调查，经统计，其中主动预习的有45人，且这100名学生近期考试成绩(分数均

在[540,640]内)的频率分布直方图如图所示，记总成绩不低于600分的为优秀，其余为合格.

频率

组距

主动预习不主动预习合计

0.0200·

合格

0.0125·

0.0100

优秀10

0.0050·

0.0025合计100

620640成绩/分

(1)根据这100名学生成绩频率分布直方图，估计全市学生成绩的众数和中位数；

(2)请完成上面的2×2列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为学生的成绩优秀与

主动预习有关?

(3)若将频率视作概率，从全市所有高中在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人主动预习的

人数为Y,求Y的均值和方差.

附：,其中a+b+c+d=n.

P(x²≥x₀)0.0500.0100.001

x3.8416.63510.828

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18.(17分)

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,平面PAB⊥平面PBC.

(1)求证：AB⊥BC;

(2)若PA=AC=2,且二面角A-CP-B的正弦值为

①求AB的长；

②D为平面ABC内一点，且满足AD.DC=0,求点D到平面PBC距离的最大值.

(第18题图)

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19.(17分)

某高中的足球社团组织甲、乙、丙三人进行传球游戏.传球规则如下：依据掷骰子的点数决定持球者

将球传给谁.当足球在甲处时，若掷出骰子的点数大于4,则传给乙，否则留在甲处(也算一次传球);

当足球在乙处时，若掷出骰子的点数大于3,则传给甲，否则传给丙；当足球在丙处时，若掷出骰子

的点数大于2,则传给甲，否则传给乙.假设初始时足球在甲处，经过n次掷骰子(即n次传球)后，

足球在甲处的概率为Pa.

(1)求P₂,P₃;

(2)三次掷骰子后，设足球在甲处的次数为X,求X的分布列和数学期望；

(3)n次掷骰子后，设足球在甲处的次数为Y,求Y数学期望.

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高二年级质量监测

数学参考答案与评分标准

题号1234567891011

答案BABCCDCDACACDABD

7

12.1213.3614.3

15.(13分)

解析：

(1)因展开式中所有二项式系数之和为1024,即

2”=1024'

所以n=10…………………3分

故二项式系数最大的项

所以，令x=0,可得f(0)=ao=1.…………8分

令x=2,可得f(2)=ao+2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2"a=0………10分

故2a₁+2²a₂+…+2²a=f(2)-f(0)=-1…13分

16.(15分)

解析：

(1)解法1:连接AB₁AC

ABC-A₁B₁C₁

因为在直三棱柱中，四边形AA₁B₁B为平行四边形，

MN//AC₁

所以中点，又N为B₁C的中点，所以………3分

MNaMN//

因为平面AA₁C₁C,AC平面AA₁C₁C,所以平面AA₁C₁C.………7分

解法2:证明：A₁B₁取中点P,连结MP,NP,由M,N分别是AB1与B₁Ci的中点，

所以MPlBB₁lAA1.

MP女

又因为平面AA₁C₁c,AA₁平面AA₁C₁C,

所以MPll平面AA₁C₁C.

同理，PNl平面AA₁C₁C.

又MP∩NP=P,MP、NPC平面MPN,

所以面MPNl面AA₁C₁C.……4分

而MNC平面MPN,所以MNl平面AA₁C₁C.……7分

x

(2)以{4B,AC,A4}为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系

A-xyz,

设AA₁=1,则AB=AC=√2.

则A(0,0,0),B(√2,0,0),c(0,√2,0)4(0,0,1),B(√2,0,1)

所以………………9分

设平面MNC的一个法向量为n=(x,y,z),

则n·MN=0,n·CN=0.

即,令V=1,则x=3,z=-√2

所以平面MNC的一个法向量为……………12分

设直线4B与平面MNC所成角为θ,又A₁B=(√2,0,-1),

则

所以直线AB与平面MNC所成角的正弦值为……………15分

17.(15分)

解析：

(1)众数为590;································1分

中位数为580+(0.5-0.05×20-0.01×20)÷0.02=590..............·3分

(2)由频率分布直方图可知，抽取的100名学生中成绩合格的有

100×20×(0.0050+0.0100+0.0200)=70人，则成绩优秀的有30人.

补全2×2列联表如下：······················5分

主动预习不主动预习合计

合格254570

优秀201030

合计4555100

提出假设H₀:学生成绩优秀与主动预习无关.

所以依据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H₀不成立.

即可以认为学生成绩优秀与主动预习有关.··················9分

(3)由题意可知从全市所有在校学生中随机抽取1人，其主动预习的概率为

则Y～B(20,0.45)...........................··11分

所以E(Y)=20×0.45=9,D(Y)=20×0.45×(1-0.45)=4.95.··········15分

18.(17分)

解析：

(1)在面PAB内，过A作AM⊥PB交PB于M,

因为平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,

AMC平面PAB,

所以AM⊥平面PBC.……………2分

BCC平面PBC,所以AM⊥BC.

因为PA⊥底面ABC,AB,BCC底面ABC,所以PA⊥BC.………………3分

又APnAM=A,且AP,AMC平面PAB,所以BC⊥平面PAB.………………4分

因为ABC平面PAB,所以AB⊥BC.…5分

(2)解法1:如图所示，在△PBC内过点M作ME⊥PC交PC于E,连接AE,

由(1)知，AM⊥平面PBC,又PCC平面PBC,

所以AM⊥PC.

又ME⊥PC,ME,AMC平面AME,MENAM=M,

所以PC⊥平面AME.

又因为AEC平面AME,

所以PC⊥AE.故∠AEM为二面角A-PC-B的平面角.…………7分

因为AM⊥平面PBC,MEC平面PBC,

所以AM⊥ME.

因为AP⊥平面ABC,ABC平面ABC,ACC平面ABC,

所以AP⊥AB,AP⊥AC.

设AB=x,则在中，中，PA=AC=2,

Rt△PABRt△PACAE=√2·

在中，,即

Rt△AME

解得x=√3,即AB=√3……………11分

解法2:以A为原点，AC所在直线为V轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系A—xyz,

则4(0,0,0),P(0,0,2),c(0,2,0),设B(a,b,0),则a²+(b-1)²=1.

设平面PBC的一个法向量n=(x,y,z),

又PC=(0,2,-2),BC=(-a,2-b,0)

所以即取,则

z=1y=1'

……………7分

由题意得，平面PAC的一个法向量n₂=(1,0,0)

因为二面角A-CP-B的正弦值为

所以二面角A-CP-B的余弦值的绝对值为

所以……………9分

即a²=3b²-12b+12,将a²+(b-1)²=1代入得，2b²-7b+6=0.

解得

当b=2时，a=0,此时B(0,2,0),与C重合，舍；

…11分

,此时AB=√a²+b²=√3·……………

(3)解法1:以A为原点，AC所在直线为V轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系A—

xyz,

因为AD·DC=0,D为平面ABC内一点，

所以D在以AC为直径的圆上，则设D(cosθ,1+sinθ,0).

设平面PBC的一个法向量n=(x,y,z),

则,即,取_,则.

y=z=√3x=1

所以·………14分

D到平面PBC的距离

因为θ∈R,所以D到平面PBC的距离最大值为………17分

解法2:因为AP⊥平面ABC,所以AP为三棱锥P-ABC的高，

由(1)知，BC⊥平面ABP,PBC平面ABP,所以BC⊥BP.

在直角三角形

PBC中，BC=1’PB=√7,所以

由(1)知，

设D到平面PBC的距离为h,

,所,即

因为vp-DBC=Vp-PBc'

又D在平面ABC内，且AD·DC=0,