空间中的点、直线与空间向量（教学课件）-2026-2027学年高二上学期人教B版(2019)选择性必修第一册

人教B版(2019)选择性必修第一册1.2.1空间中的点、直线与空间向量第一章空间向量与立体几何学习目标能用向量语言描述直线,理解空间中直线的方向向量的意义及求法，体现逻辑推理能力（重点）了解空间中两条异面直线的公垂线段，体现数学抽象能力（重难点）了解空间中两条直线所成的角与两直线的方向向量所成的角的关系,会求空间两条直线所成的角，体现数学计算能力（重点）新课导入尝试与发现：(1)如图所示的四面体A−BCD中，怎样借助空间向量来描述A，B，C

在空间中是不同的点？(2)一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？新课学习因为所以只借助向量v不能确定直线AB在空间中的位置，但是向量v可以描述所有与直线AB平行或重合的直线．新课学习方向向量的概念一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v//l．新课学习思考一下：根据直线的方向向量的定义，思考直线方向向量有什么性质？新课学习思考一下：根据直线的方向向量的定义，思考直线方向向量有什么性质？新课学习例1：已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，求证：直线BD1与直线CE不平行.新课学习例1：已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，求证：直线BD1与直线CE不平行.由上可知直线BD1与直线CE不平行.新课学习我们已经知道，空间中两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小；两条异面直线a，b所成角的大小，等于两条相交直线a′，b′所成角的大小，其中a′与a平行或重合，b′与b平行或重合；空间中两条平行直线所成角的大小规定为0∘.这就是说，空间中任意两条直线所成角（即它们之间的夹角）的大小都是确定的．特别地，当空间中两条直线l，m

所成角的大小为90∘时，l与m垂直，记作l⊥m．新课学习尝试与发现：设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与<v1，v2>的关系.如下图(1)(2)所示，可以看出θ=<v1，v2>或θ=π−<v1，v2>.特别地，sinθ=sin<v1，v2>,cosθ=|cos<v1，v2>|.而且，新课学习思考一下：根据直线与直线所成的角，可以判定必修部分的什么知识？利用上述直线与直线所成的角与它们的方向向量的夹角之间的关系，可以方便地证明我们在必修部分中归纳出的线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．新课学习例2：已知a，b是平面α内的两条相交直线，直线n满足n⊥a，n⊥b.求证：n⊥α.设m是α内的任意一条直线，且n，a，b，m分别为直线n，a，b，m的方向向量，如图所示.则根据已知有n⋅a=0，n⋅b=0.因为a与b相交，所以a，b不共线，又因为a，b，m共面，所以由共面向量定理可知，存在唯一的实数对(x,y)，使m=xa+yb，因此n⋅m=xn⋅a+yn⋅b=0从而可知n⊥m，所以n⊥m.因为直线n垂直于平面α内的任意一条直线，所以n⊥α.新课学习例3：如图所示，在三棱锥O−ABC中，OA,OB,OC两两互相垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2，求直线AE与BC所成角的大小.方法一：又因为所以新课学习例3：如图所示，在三棱锥O−ABC中，OA,OB,OC两两互相垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2，求直线AE与BC所成角的大小.方法一：类似地，所以新课学习方法二：因为OA，OB，OC两两互相垂直，所以能以O为原点，

的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.则由OB=OC=2OA=2可知A(1,0,0)，E(0,0,1)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，xyz新课学习设OB的中点为F，连接EF，AF.由E，F分别为OC，OB中点可知EF为△OBC的中位线，从而EF//BC，因此直线AE与BC所成角的大小等于直线AE与EF所成角的大小.方法三：又易知OA=OE=OF=1，而且OA，OE，OF两两互相垂直，因此AE=EF=AF=F新课学习尝试与发现：设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量．(1)如果l1与l2异面，那么v1与v2可能平行吗？(2)如果v1与v2不平行，那么l1与l2一定异面吗？如果l1与l2异面，则v1与v2是不可能平行的；反之，如果v1与v2不平行，则l1与l2可能异面，也可能相交．这就是说，“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件．新课学习尝试与发现：设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量．(1)如果l1与l2异面，那么v1与v2可能平行吗？(2)如果v1与v2不平行，那么l1与l2一定异面吗？新课学习例4：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，判断满足下列条件的点M，N是否存在：M∈AD1，N∈BD，MN⊥AD1，MN⊥BD.A(1,0,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，假设满足条件的M，N存在，而且新课学习例4：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，判断满足下列条件的点M，N是否存在：M∈AD1，N∈BD，MN⊥AD1，MN⊥BD.因此，满足条件的M，N是存在的.新课学习公垂线段的概念一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2．则称MN为l