充分条件与必要条件（教师版）

1.4充分条件与必要条件 一、学习目标理解充分条件、必要条件、充要条件的定义，能结合命题判断；掌握“若p则q”命题中条件与结论的逻辑关系；能利用充分、必要条件解决简单的参数取值问题。二、知识点精讲逻辑关系核心定义：命题：“若p，则q”（p为条件，q为结论）；充分条件：p⇒q（p成立“足够推出”q成立，p是q的充分条件）；通俗说：“有p就够了，不用其他条件”；必要条件：q⇒p（q成立“必须要p成立”，p是q的必要条件）；通俗说：“没p不行，q离不开p”；充要条件：p⇔q（p⇒q且q⇒p，互相推出）；等价说法：p是q的充分必要条件，q是p的充分必要条件。2.充分、必要条件的集合表示：设p对应集合P={x|p(x)}，q对应集合Q={x|q(x)}；p⇒q⇔P⊆Q（p的范围包含于q的范围，小范围推大范围）；q⇒p⇔Q⊆P（大范围推小范围）；p⇔q⇔P=Q（范围相等）。三、例题解析例1：判断下列命题中p是q的什么条件（1）p：x>2，q：x>1；（2）p：x是偶数，q：x能被2整除；（3）p：x²=4，q：x=2。解：（1）p⇒q（x>2⇒x>1），但q⇏p（x>1不一定x>2），故p是q的充分不必要条件；（2）p⇔q（偶数等价于能被2整除），故p是q的充要条件；（3）p⇏q（x²=4⇒x=±2），但q⇒p（x=2⇒x²=4），故p是q的必要不充分条件。例2：已知p：{x|1≤x≤3}，q：{x|a≤x≤a+2},若p是q的充分条件，求a的取值范围.解：若p是q的充分条件，则由p可以推出q，对应集合关系为P包含于Q。令P={x|1≤x≤3}，Q={x|a≤x≤a+2}，由P⊆Q可得不等式组：a≤1,a+2≥3解不等式a+2≥3，得a≥1。联立a≤1与a≥1，解得a=1。检验：当a=1时，Q={x|1≤x≤3}，此时P=Q，满足P⊆Q，符合题意。综上，实数a的取值是a=1。例3：已知p：{x|1≤x≤4}，q：{x|t≤x≤t+3}，若q是p的充分不必要条件，求实数t的取值范围。解：q是p的充分不必要条件，说明q可以推出p，p不能推出q，对应集合关系Q真包含于P。设P={x|1≤x≤4}，Q={x|t≤x≤t+3}，由Q⫋P列出不等式组：t≥1t+3≤4解不等式t+3≤4，得t≤1。联立t≥1与t≤1，解得t=1。检验：当t=1时，Q={x|1≤x≤4}，此时Q=P，不满足真子集关系，无符合条件的实数t。综上，实数t不存在，解集为空集,四、课堂练习“x=1”是“x²-1=0”的________条件（充分不必要/必要不充分/充要）解：第一步：判断充分性若x=1，代入得1²-1=0，由x=1能推出x²-1=0，充分成立。第二步：判断必要性解方程x²-1=0，得x=1或x=-1，满足x²-1=0不一定能推出x=1，必要不成立。结论：充分不必要条件已知p：x>m，q：x>2，若p是q的充分条件，求m的取值范围解：p是q的充分条件，说明由p可以推出q，集合{x|x>m}包含于集合{x|x>2}。大于m的数全部都大于2，可得m≥2。综上，m的取值范围是m≥2。设p：整数x满足x是4的倍数，q：整数x满足x是2的倍数，判断p是q的什么条件解：判断充分性：如果整数x是4的倍数，则一定能写成x=4k（k为整数），x=2·(2k)，说明x一定是2的倍数，p可以推出q，充分成立。判断必要性：如果整数x是2的倍数，举例x=2，2是2的倍数，但2不是4的倍数，无法由q推出p，必要不成立。结论：p是q的充分不必要条件五、易错点总结充分与必要混淆：“p是q的充分条件”等价于“q是p的必要条件”，勿颠倒；集合法判断：小范围推大范围（例：x>3⇒x>2，小范围x>3是大范围x>2的充分条件）；含参数问题：漏检验等号是否成立，导致范围扩大或缩小。六、课后作业一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a∈R，则“a>1”是“1aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.“x2−1=0”是“x=1”的(    )条件．A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不必要也不充分3.“x=1”是“x2−3x+2=0”的(

)A.必要但不充分条件 B.充分但不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.使−1<x<4成立的一个充分不必要条件是(

)A.−1<x≤4 B.−1<x<0 C.−1<x<5 D.−2<x<15.使x>1成立的一个必要条件是(

)A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。6.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(

)A.若x，y是偶数，则x+y是偶数

B.若a<2，则方程x2−2x+a=0有实根

C.若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形

D.若ab=07.若关于x的方程x2+2x+m=0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是(

)A.m>0 B.−2<m<1 C.m>−4 D.1≤m<2三、解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。8.(本小题12分)

已知集合A={x|−2≤x−1≤5}、集合B={x|m+1≤x≤2m−1}(m∈R)．

(1)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围；

(2)设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

1.【答案】A

【解析】本题考查充分必要条件的判断，不等式性质，属于基础题．

根据不等式基本性质可推出1a解：∵由a>1，∴两边同乘1a∴可得1a∴充分性成立；∵由1a两边同乘a，因不能确定a的正负性，∴不能确定得到a>1，∴必要性不成立．故选A．2.【答案】C

【解析】解：若x2−1=0，则x=±1，此时“x=1”不成立，充分性不成立；

“x=1”可以推出“x2−1=0”，故必要性成立．3.【答案】B

【解析】解：由x2−3x+2=0得x=1或x=2，

则“x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件．4.【答案】B

【解析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．

根据充分条件和必要条件的定义，即是找{ x|−1<x<4}的一个真子集，结合选项即可判断．

解：要找“−1<x<4”成立的一个充分不必要条件，即是找{ x|−1<x<4}的一个真子集，

结合选项，B选项满足题意．

故选B．5.【答案】A

【解析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．

本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是基础题．

使x>1成立的一个必要条件是x>0，

故选：A．6.【答案】BCD

【解析】本题考察必要条件的判断，属于基础题．

结合选项，逐个判断即可．

解：x+y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，A不符合题意;

当方程x2−2x+a=0有实根时，则有(−2)2−4a≥0⇒a≤

1，显然能推出a<2，B符合题意;

因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，C符合题意;

显然由a=07.【答案】AC

8.【答案】解：(1)由题意可知：

A={x|−2≤x−1≤5}={x|−1≤x≤6}，

又A∩B=⌀，

当B=⌀时，m+1>2m−1，解得m<2，

当B≠⌀时，m+1≤2m−1m+1>6或2m−1<−1,

解得m>5，

综上所述，

实数m的取值范围为(−∞,2)∪(5,+∞)；

(2)∵命题p是命题q的必要不充分条件