2026年导数与极值测试题及答案

2026年导数与极值测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数$y=x^3-3x$的单调递减区间是（）A.$(-\infty,-1)$B.$(1,+\infty)$C.$(-1,1)$D.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$2.若函数$f(x)$在$x=x_0$处的导数$f^\prime(x_0)=0$，则$x=x_0$（）A.一定是函数$f(x)$的极值点B.一定不是函数$f(x)$的极值点C.不一定是函数$f(x)$的极值点D.一定是函数$f(x)$的最值点3.函数$f(x)=x^3-3x^2+1$的极小值点为（）A.0B.2C.1D.-14.曲线$y=x^2+\lnx$在点$(1,1)$处的切线方程为（）A.$3x-y-2=0$B.$x-3y+2=0$C.$3x+y-4=0$D.$x+3y-4=0$5.已知函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的图象如图所示，则（）A.$b\in(-\infty,0)$B.$b\in(0,1)$C.$b\in(1,2)$D.$b\in(2,+\infty)$6.函数$f(x)=x-\lnx$的单调递增区间是（）A.$(0,1)$B.$(1,+\infty)$C.$(-\infty,1)$D.$(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$7.函数$f(x)=x^3-3x^2-9x+5$在区间$[-4,4]$上的最大值为（）A.10B.-71C.-15D.258.设函数$f(x)$在$R$上可导，其导函数为$f^\prime(x)$，且函数$y=(1-x)f^\prime(x)$的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.函数$f(x)$有极大值$f(2)$和极小值$f(1)$B.函数$f(x)$有极大值$f(-2)$和极小值$f(1)$C.函数$f(x)$有极大值$f(2)$和极小值$f(-2)$D.函数$f(x)$有极大值$f(-2)$和极小值$f(2)$9.已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2$在$x=1$处有极值10，则$a+b$的值为（）A.-7B.0C.-7或0D.1510.若函数$f(x)=x^3-3x+m$在$[0,2]$上有两个不同的零点，则实数$m$的取值范围是（）A.$[0,2)$B.$[-2,2)$C.$(-2,0]$D.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$二、填空题（每题2分，共20分）1.函数$y=x^2e^x$的导数为______。2.曲线$y=\sinx+e^x$在点$(0,1)$处的切线方程是______。3.函数$f(x)=x^3-3x$在区间$[-2,2]$上的最大值为______。4.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，则$f(x)$的单调递减区间是______。5.函数$f(x)=x^2-2\lnx$的单调递减区间是______。6.若函数$f(x)=x^3-3ax^2+3(a^2-1)x+1$在$x=1$处取得极小值，则实数$a$的值为______。7.曲线$y=\frac{1}{3}x^3-x^2+5$在$x=1$处的切线的倾斜角是______。8.函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$的图象在点$(1,f(1))$处的切线方程为______。9.已知函数$f(x)=x^3+3ax^2+3(a+2)x+1$既有极大值又有极小值，则实数$a$的取值范围是______。10.若函数$f(x)=x^3-3x$在区间$(a,6-a^2)$上有最小值，则实数$a$的取值范围是______。三、判断题（每题2分，共20分）1.函数在某点处的导数就是该点处的切线斜率。（）2.若函数$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增，则$f^\prime(x)>0$在$(a,b)$内恒成立。（）3.函数的极值点一定是导数为0的点。（）4.若函数$f(x)$在$x=x_0$处的导数不存在，则$x=x_0$一定不是函数$f(x)$的极值点。（）5.函数的极大值一定大于极小值。（）6.函数$f(x)=x^3$在$R$上无极值。（）7.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的最大值为$M$，最小值为$m$，则$M-m$为函数$f(x)$在$[a,b]$上的最值差。（）8.曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线方程为$y-f(x_0)=f^\prime(x_0)(x-x_0)$。（）9.函数$f(x)=x^2+2x$的单调递增区间是$(1,+\infty)$。（）10.若函数$f(x)$在区间$(a,b)$上的导数$f^\prime(x)<0$，则函数$f(x)$在$(a,b)$上单调递减。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的极值。2.已知曲线$y=x^3+ax^2+bx+c$在点$P(1,y_0)$处的切线方程为$y=3x+1$，且函数在$x=2$处有极值，求$a$，$b$，$c$的值。3.求函数$f(x)=x^2-\lnx$的单调区间。4.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$，求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数$f(x)=x^3-3x^2$的单调性、极值和最值（$x\in[-1,3]$）。2.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+ax+2$，若$f(x)$在区间$(-1,1)$上是增函数，求实数$a$的取值范围。3.分析函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$的极值与函数图象的凹凸性。4.设函数$f(x)=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3+1$，讨论$f(x)$的单调性。答案一、单项选择题1.C2.C3.B4.A5.A6.B7.D8.D9.A10.A二、填空题1.$y^\prime=2xe^x+x^2e^x$2.$2x-y+1=0$3.24.$(0,2)$5.$(0,1)$6.27.$\frac{3\pi}{4}$8.$y=0$9.$a>2$或$a<-1$10.$[-2,1)$三、判断题1.√2.×3.×4.×5.×6.√7.√8.√9.×10.√四、简答题1.解：对$f(x)=x^3-3x^2+2$求导得$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$f^\prime(x)=0$，解得$x=0$或$x=2$。当$x<0$时，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$0<x<2$时，$f^\prime(x)<0$，$f(x)$单调递减；当$x>2$时，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$单调递增。所以$f(x)$的极大值为$f(0)=2$，极小值为$f(2)=-2$。2.解：对$y=x^3+ax^2+bx+c$求导得$y^\prime=3x^2+2ax+b$。因为曲线在点$P(1,y_0)$处的切线方程为$y=3x+1$，所以$f^\prime(1)=3+2a+b=3$①。又$f(1)=1+a+b+c=3+1=4$②。且函数在$x=2$处有极值，所以$f^\prime(2)=12+4a+b=0$③。联立①②③解得$a=-2$，$b=1$，$c=4$。3.解：函数$f(x)=x^2-\lnx$的定义域为$(0,+\infty)$，$f^\prime(x)=2x-\frac{1}{x}=\frac{2x^2-1}{x}$。令$f^\prime(x)>0$，即$\frac{2x^2-1}{x}>0$，因为$x>0$，所以$2x^2-1>0$，解得$x>\frac{\sqrt{2}}{2}$。令$f^\prime(x)<0$，即$\frac{2x^2-1}{x}<0$，因为$x>0$，所以$2x^2-1<0$，解得$0<x<\frac{\sqrt{2}}{2}$。所以$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)$，单调递减区间是$(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$。4.解：对$f(x)=x^3-3x^2+2x$求导得$f^\prime(x)=3x^2-6x+2$。$f(1)=1-3+2=0$，$f^\prime(1)=3-6+2=-1$。曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y-0=-1\times(x-1)$，即$x+y-1=0$。五、讨论题1.解：对$f(x)=x^3-3x^2$求导得$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$f^\prime(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。当$x\in[-1,0)$时，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x\in(0,2)$时，$f^\prime(x)<0$，$f(x)$单调递减；当$x\in(2,3]$时，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$单调递增。$f(-1)=-1-3=-4$，$f(0)=0$，$f(2)=8-12=-4$，$f(3)=27-27=0$。所以$f(x)$在$x=0$处取得极大值$0$，在$x=2$处取得极小值$-4$；最大值为$0$，最小值为$-4$。2.解：$f^\prime(x)=3x^2-6x+a$。因为$f(x)$在区间$(-1,1)$上是增函数，所以$f^\prime(x)\geq0$在$(-1,1)$上恒成立，即$a\geq-3x^2+6x$在$(-1,1)$上恒成立。令$g(x)=-3x^2+6x$，$x\in(-1,1)$，$g(x)=-3(x-1)^2+3$，$g(x)$在$(-1,1)$上的值域为$(-9,3)$。所以$a\geq3$，即实数$a$的取值范围是$[3,+\infty)$。3.解：对$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$求导得$f^\prime(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$。令$f^\prime(x)=0$，得$x=1$或$x=3$。当$x<1$时，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$1<x<3$时，$f^\prime(x)<0$，$f(x)$单调递减；当$x>3$时，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$单调递增。所以$f(x)$在$x=1$处取得极大值$f(1)=1-6+9+1=5$，在$x=3$处取得极小值$f(3)=27-54+27+1=1$。对$f^\prime(x)=3x^2-12x+9$求导得$f^{\prime\pri