人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习1.2空间向量基本定理(四种常考题型)(原卷版+解析)

1.2空间向量基本定理（四种常考题型）知识点1空间向量基本定理如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底,都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式.知识点2空间向量的正交分解1.单位正交基底空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示．2.正交分解由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解．题型一 基底的判断1．若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（

）A． B．，，C．，， D．2．已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（

）A． B．C． D．3．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，4．（多选）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（

）A． B． C． D．5．是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（

）A． B． C． D．6．（多选）下列说法正确的是（

）A．空间向量与的长度相等B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底7．设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（

）A．若，，则B．，，一定能构成空间的一个基底C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组，使D．存在有序实数对，使得8．（多选）设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（

）A． B．C． D．9．（多选）已知O，A，B，C为空间的四个点，则（

）A．若构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C．若与共线，则存在一个向量与构成空间的一个基底D．若，则是M，A，B，C四点共面的充要条件10．（多选）已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（

）A．不是空间的一组基底B．不是空间的一组基底C．向量的模是2D．向量和的夹角为11．关于空间向量,以下说法正确的是（

）A．空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面B．若对空间中任意一点,有,则四点共面C．设是空间中的一组基底,则也是空间的一组基底D．若,则是钝角题型二 基底的运用12．在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（

）A． B．C． D．13．如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（

）

A． B．C． D．14．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（

）A． B． C． D．15．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B． C． D．16．在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（

）A． B．C． D．17．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（

）

A． B．C． D．18．如图，空间四边形OABC中，G、H分别是、的重心，D为BC的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.

19．在平行六面体中，，，且，，则（

）A． B． C． D．20．如图，在四面体OABC中，设，，，G为的重心，以为空间基底表示向量，．

21．对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点．(1)试证：与，共面；(2)，，，试用基底{，，}表示向量．22．已知不共面，，，，若，则______．23．如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，.(1)用，，表示；(2)计算.24．已知在平行六面体中，，，且.(1)求的长；(2)求向量与夹角的余弦值.题型三 正交分解25．平面上任何两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底，若作为基底的两个向量相互垂直就称该组基底是一组正交基底.施密特正交化法指出任何一组不共线的向量都可以转化为一组正交基底，其方法是对于一组不共线的向量，，令，那么就是一个与配对组成正交基底的向量.若，，按照上述方法，可以得到的与配对组成正交基底的向量是______.26．已知正方体的棱长为1，以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（

）A． B．C． D．27．已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（

）A． B．C． D．28．已知是标准正交基底，且，则的坐标为（

）A． B． C． D．29．已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量___________.30．已知为空间的一个单位正交基底，且向量，，则向量用坐标形式表示为________．31．已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．32．已知为正交基底，且，分别为的中点，若，则的最小值为_____.33．设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．34．已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（

）A． B． C． D．35．已知是空间的一个单位正交基底，且，则与夹角的正弦值为（

）A． B． C． D．题型四 解决相关的几何问题36．已知矩形，为平面外一点平面，且，，分别为，上的点，且，则（

）A． B． C． D．137．如图，在三棱柱中，，分别是，的中点，，则（

）A．1 B． C．0.5 D．38．如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（

）A． B． C． D．1039．（多选）如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量中正确的为（

）A． B．C． D．40．如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________.41．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________.42．如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段______.43．如图，在平行六面体中，为的中点，，则______；若该六面体的棱长都为2，，则______.44．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号)①(＋＋)2＝2()2；②·(－)＝0；③向量与的夹角是60°；④BD1与AC所成角的余弦值为.45．（多选）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．46．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，是的中点，在线段上且．（1）用向量，，表示向量；（2）求向量的模长．

1.2空间向量基本定理（四种常考题型）知识点1空间向量基本定理如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底,都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式.知识点2空间向量的正交分解1.单位正交基底空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示．2.正交分解由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解．题型一 基底的判断1．若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（

）A． B．，，C．，， D．【答案】C【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对选项A：，因此向量共面，故不能构成基底，错误；对选项B：，因此向量，，共面，故不能构成基底，错误；对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对于选项D：，因此向量共面，故不能构成基底，错误；故选：C2．已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用基底的性质进行求解.【详解】因为，所以是共面向量，不能构成基底，A不正确；因为不是共面向量，所以可以构成基底，B正确；因为与平行，所以不能构成基底，C不正确；因为，所以共面，不能构成基底，D不正确.故选：B.3．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】采用假设向量共面，则根据共面向量定理可列出方程组，根据该方程组解的情况，判断选项,根据，判断C.【详解】对于A，假设，，共面，则存在实数使得，则，此方程组无解，假设不成立，，，不共面；对于B,假设，，共面，则存在实数使得，则，此方程组无解，假设不成立，，，不共面；对于C,因为，故，，共面．对于D,假设，，共面，则存在实数使得，则，此方程组无解，假设不成立，，，不共面；故选：C4．（多选）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.【详解】因为，，，所以向量，，均与向量，共面．故选：C5．是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据空间向量基本定理判断即可.【详解】由于，故与、共面，无法构成空间的一个基底，故B错误；因为是空间的一个基底，由于不存在实数对、，使得，若成立则，显然方程组无解，故、与可以作为空间的一个基底，故A正确，同理可得C、D正确；故选：ACD6．（多选）下列说法正确的是（

）A．空间向量与的长度相等B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底【答案】AB【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断.【详解】对于A，向量与是相反向量由相反向量的定义知，向量与的长度相等，故A正确；对于B，平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，故B正确；对于C，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；对于D，空间任意三个不共面的非零向量都可以构成空间的一个基底，故D错误.故选：AB.7．设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（

）A．若，，则B．，，一定能构成空间的一个基底C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组，使D．存在有序实数对，使得【答案】BC【分析】根据空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】对于，，，不能得出，也可能是、相交不一定垂直，选项错误；对于，假设向量，，共面，则，、，化简得，所以、、共面，这与已知矛盾，所以选项正确；对于，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量，总存在有序实数组,,，使，选项正确；对于，因为是空间一个基底，所以与、不共面，选项错误．故选：．8．（多选）设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】令，并以它们为邻边作平行六面体，再确定，对应的线段，判断线段是否共面，即可判断各组向量是否可作为基底.【详解】如图所示，令，则，又，由A、B1、C、D1四点不共面知：向量不共面，同理和也不共面.故选：BCD9．（多选）已知O，A，B，C为空间的四个点，则（

）A．若构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C．若与共线，则存在一个向量与构成空间的一个基底D．若，则是M，A，B，C四点共面的充要条件【答案】BD【分析】结合基底的定义依次判断各选项即可.【详解】由构成空间的一个基底，可得O，A，B，C四点不共面，A错误；假设不是空间的一个基底，则存在使得，所以，与是空间的一个基底矛盾，所以也是空间的一个基底，B正确；因为与共线，对于任意非零向量，都满足共面，故不存在一个向量与构成空间的一个基底，C错误；由，可得，所以，因为，所以至少有一个数不为0，不妨设，则，所以M，A，B，C四点共面，若M，A，B，C四点共面，则存在唯一实数对使得，所以，所以，又所以，故，D正确；故选：BD.10．（多选）已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（

）A．不是空间的一组基底B．不是空间的一组基底C．向量的模是2D．向量和的夹角为【答案】BD【分析】对于AB，利用共面向量定理判断，对于C，利用求解，对于D，利用向量的夹角公式计算.【详解】假设共面，则，所以，方程组无解，所以假设不成立，所以空间向量不共面，所以是空间的一组基底，A错误；假设共面，则，即，解得，所以三个向量共面，不是空间的一组基底，B正确；由题意，得，所以，C错误；，设向量和的夹角为，则，又，所以，D正确.故选：BD.11．关于空间向量,以下说法正确的是（

）A．空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面B．若对空间中任意一点,有,则四点共面C．设是空间中的一组基底,则也是空间的一组基底D．若,则是钝角【答案】ABC【分析】将三个向量平移至共起点,由两个向量共线,可知三个向量一定共面,将写为,将式子移项,根据向量的减法,即可得,即四点共面,根据空间中基底是三个不共面的向量构成的,可得选项C的正误,若,夹角可为,可判断选项D.【详解】解:由题知,关于选项A:因为向量的两个要素为方向和大小,跟向量所在位置无关,可将三个向量平移至共起点,根据两条相交直线可以确定一个平面知这三个向量一定共面,故选项A正确;关于选项B:因为,即,即,即,即,根据空间向量共面定理可得:四点共面,故选项B正确;关于选项C:因为是空间中的一组基底,则为不共面的三个向量,与共线,与共线,所以不共面,故也是空间的一组基底,故选项C正确;关于选项D:若,则夹角可为,不是钝角,故选项D错误.故选:ABC题型二 基底的运用12．在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】

如图所示，，故选：C13．如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为P是的中点，所以，又因为点Q在上，且，所以，所以，故选：C.14．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答.【详解】因为点P为平面ABC上的一点，，则，于是，即，显然选项BCD都不满足，A选项满足.故选：A15．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.【详解】在平行六面体中，M为与的交点，.故选：B16．在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用基底表示，再利用向量线性运算求解即可.【详解】因为，所以，

因为Q是的中点，所以，因为M为PQ的中点，所以，故选：A.17．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得.【详解】因为，所以，所以，即，又，所以.故选：D

18．如图，空间四边形OABC中，G、H分别是、的重心，D为BC的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.

【答案】【分析】由已知得，，可得；由可得可得答案.【详解】由已知得，，因为G是的重心，D为BC的中点，所以，，所以；又因为H是的重心，所以，.19．在平行六面体中，，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用空间向量的数量积及运算律求模长.【详解】以为基底向量，可得，则，∴．故选：C.20．如图，在四面体OABC中，设，，，G为的重心，以为空间基底表示向量，．

【答案】，．【分析】利用三角形重心的性质和向量的三角形法则即可得出．【详解】由G为的重心，知E为AC的中点，所以，．21．对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点．(1)试证：与，共面；(2)，，，试用基底{，，}表示向量．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF，根据直线与平面平行的判定定理可得AD∥平面PEF，BC∥平面PEF，从而可得向量与，共面；（2）直接利用向量的加减法运算得答案．【详解】（1）

证明：如图，连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF．∵P，F分别为AC，CD的中点，∴AD∥PF．又∵PF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF．∴AD∥平面PEF．同理可证，BC∥平面PEF．∴向量与，共面.（2）解：.22．已知不共面，，，，若，则______．【答案】【分析】根据题意，化简得到，再由，得出关于的方程组，求得的值，即可求解.【详解】由题意，向量不共面，，，，则因为，则，解得，所以.故答案为：.23．如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，.(1)用，，表示；(2)计算.【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用表示出；（2）应用向量数量积的运算律得，结合已知即可求数量积.【详解】（1）；（2）.24．已知在平行六面体中，，，且.(1)求的长；(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）用空间的一个基底表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解作答.（2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答.【详解】（1）在平行六面体中，为空间的一个基底，因为，，且，则，，所以.（2）由（1）知，，则，又，所以向量与夹角的余弦值.题型三 正交分解25．平面上任何两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底，若作为基底的两个向量相互垂直就称该组基底是一组正交基底.施密特正交化法指出任何一组不共线的向量都可以转化为一组正交基底，其方法是对于一组不共线的向量，，令，那么就是一个与配对组成正交基底的向量.若，，按照上述方法，可以得到的与配对组成正交基底的向量是______.【答案】【分析】根据数量积的坐标表示及向量运算计算即可.【详解】因为，，所以；根据题意，，就是一个与配对组成正交基底的向量.故答案为：.26．已知正方体的棱长为1，以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意求出相关点的坐标，求得，，设平面的法向量为，可得，解方程组，可得答案.【详解】如图，，则，，设平面的法向量为，则，即，取，则，∴平面的一个法向量为∶,选项中的向量与不共线，D中向量符合题意，故选︰D．27．已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内，所以，.因为，，，所以，又SA=1，所以空间的一个单位正交基底可以为.故选：A28．已知是标准正交基底，且，则的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由是标准正交基底，结合空间向量坐标的定义，即可得答案.【详解】根据空间向量坐标的定义，由，知，故选：A.29．已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量___________.【答案】【分析】设，然后整理解方程组即可.【详解】设，即有，因为是空间的一个单位正交基底，所以有，所以.故答案为：30．已知为空间的一个单位正交基底，且向量，，则向量用坐标形式表示为________．【答案】【分析】由空间向量坐标的定义和运算法则计算【详解】依题意有，，所以．故答案为：31．已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．【答案】【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示直接写出作答.【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有.所以向量用坐标形式表示为.故答案为：32．已知为正交基底，且，分别为的中点，若，则的最小值为_____.【答案】/【分析】由为正交基底，且，结合向量的线性运算和数量积运算可得，再由分别为的中点，可得，再利用基本不等式可求得其最小值.【详解】因为为正交基底，所以，因为，所以，所以，因为分别为的中点，，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故答案为：33．设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．【答案】【分析】以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，设则，当时的最小值是，取则又因为是任意值，所以的最小值是.取则又因为是任意值，所以的最小值是.故答案为：.34．已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空间向量基本定理求解即可.【详解】设向量在基底下的坐标为，则，又向量在基底下的坐标为，则，所以，即，所以解得所以向量在基底下的坐标为.故选：C.35．已知是空间的一个单位正交基底，且，则与夹角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设与夹角为，先利用向量的夹角公式求出，再利用同角三角函数的关系可求出的值.【详解】设与夹角为，，因为是空间的一个单位正交基底，且，所以，所以，因为，所以，故选：C题型四 解决相关的几何问题36．已知矩形，为平面外一点平面，且，，分别为，上的点，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据空间向量基本定理求解即可.【详解】因为，，所以，又，所以，所以，故.故选：B.37．如图，在三棱柱中，，分别是，的中点，，则（

）A．1 B． C．0.5 D．【答案】B【分析】根据空间向量的基本定理求解即可.【详解】如图，连接.因为，分别是，的中点，，所以，，，则.故选：B.38．如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（

）A． B． C． D．10【答案】C【分析】利用空间向量基本定理表达出，平方后利用空间向量数量积公式求出，得到的长.【详解】，故，故.故选：C39．（多选）如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量中正确的为（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】连接，利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可.【详解】连接，因为点，分别是线段，的中点，所以，化简可得，故B错误；所以，故A正确，故C错误，D正确；故选：.40．如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________.【答案】【分析】设，其中，将、、用基底表示，分析可知、、共面，则存在、，使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的长度.【详解】设，其中，，，，因为平面，则、、共面，显然、不共线，所以，存在、，使得，即，因为为空间中的一组基底，所以，，解得，因此，.故答案为：.41．如图