人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习2.5直线与圆、圆与圆的位置关系(八种常考题型)(原卷版+解析)

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系（八种常考题型）知识点1 直线与圆的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为图形知识点2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表：位置关系几何法代数法图示外离外切相交内切内含题型一 直线与圆的位置关系的判断1．已知圆C：，直线，若直线l与圆C总有交点，则r的取值范围为______2．若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是__________．3．若直线与圆相交，则（

）A． B． C． D．4．直线与圆没有公共点，则的取值范围是（

）A．或 B．C． D．或5．已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（

）．A．点在l上 B．点在圆O上C．点在圆O内 D．点在圆O外6．设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（

）A． B． C． D．以上都有可能7．（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（

）A．圆上恰有1个点到直线的距离为1，则B．圆上恰有2个点到直线的距离为1，则C．圆上恰有3个点到直线的距离为1，则D．圆上恰有4个点到直线的距离为1，则8．圆：与直线：的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定9．已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为______________．10．若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3题型二 直线与圆相切11．圆心在直线上，且与直线相切的一个圆的方程为______.12．已知圆与直线相切，且与轴切于点，则圆的方程为__________．13．已知直线l：与x轴和y轴分别交于两点，点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当最大时，的面积为（

）A．2 B． C．4 D．14．过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（

）A．4 B． C． D．215．已知点，，经过B作圆的切线与y轴交于点P，则______．16．已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．17．从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．618．已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为__________.19．已知点，动圆C与直线切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点满足的条件是（

）A． B．C．或 D．或20．过点作圆的切线，则切线的方程为__________.题型三 圆的弦长问题21．直线被圆截得的弦长为1，则半径（

）A． B． C．2 D．22．已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是___________.23．已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则______．24．已知圆经过，，三点，且交直线于，两点.(1)求圆的标准方程；(2)求的面积.25．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为（

）A．10 B．12 C．13 D．1526．已知直线与圆相交于A，B两点，且是顶角为的等腰三角形，则b等于（

）A．1 B．- C．-1 D．1或-27．已知圆过两点，，且圆心P在直线上．(1)求圆P的方程；(2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程．28．已知圆被直线截得的两条弦长分别为，则的最大值为__________．29．已知圆，过点的直线交圆于两点，且，请写出一条满足上述条件的直线的方程______.30．设直线与圆相交所得弦长为，则______；题型四 直线与圆的位置关系求距离的最值31．已知圆与直线相交于两点，则的最小值是______.32．已知实数x，y满足，则的取值范围为_____________．33．已知点，圆C：.(1)若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；(2)当时，过直线上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值.34．设为直线的动点，为圆的一条切线，为切点，则的面积的最小值为（

）A． B． C． D．35．已知点是曲线上的动点，则点到直线距离的取值范围是______．36．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是___________.37．若点在圆上运动，求：(1)的最大值；(2)的最值．38．已知点在圆：上，直线：（），则点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．39．若为圆上的动点，当到直线的距离取得最大值时，直线的斜率为（

）A． B． C． D．40．过点的直线与圆相交于两点，则弦长的最小值是（

）A．2 B． C． D．441．若，则的最小值为______.题型五 直线与圆的实际应用42．某公园有一圆柱形景观建筑物，底面直径为米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与直道平行的两段轴道，观景直道与辅道距离6米．在建筑物底面中心的东北方向米的点A处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决下列问题：(1)在西辅道上与建筑物底面中心距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度．43．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是_________．44．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为（）A．2.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2.0米45．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．46．如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点．(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？47．在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点．(1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）；(2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S；(3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围．48．某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径．假定拟建体育馆的高（单位：米，下同）．(1)若，，求和的长；(2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围．49．如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米.(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．题型六 圆与圆位置关系的判断50．（多选）已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的取值可以是（

）A．－1 B．－3 C．1 D．351．已知圆与圆内切，则的最小值为_______52．已知圆，，，若以线段为直径的圆与圆有公共点，则的值可能为______.（写出一个即可）53．若圆与圆有公共点，则满足的条件是（

）A． B．C． D．54．圆与圆的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．455．圆与圆的位置关系为（

）．A．相交 B．内切 C．外切 D．外离56．圆与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．内含 D．外离57．已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是____________．58．若圆和有且仅有一条公切线，则______；此公切线的方程为______59．已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条题型七 两圆相切问题60．已知两圆，，当圆与圆有且仅有两条公切线时，则的取值范围________.61．已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条62．已知圆，圆.请写出一条与两圆都相切的直线方程：__________.63．已知圆与圆恰有两条公切线，则满足题意的一个的取值为____；此时公切线的方程为__________.64．到点、的距离分别为和的直线有________条．65．若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（

）A． B． C． D．66．（多选）已知圆，圆，则（

）A．圆与圆相切B．圆与圆公切线的长度为C．圆与圆公共弦所在直线的方程为D．圆与圆公共部分的面积为67．写出与圆和都相切的一条直线方程____________．题型八 两圆相交问题68．已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（

）A． B．C． D．69．已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______.70．已知圆，圆是以圆上任意一点为圆心，1为半径的圆．圆与圆交于，两点，则的最大值为（

）A． B． C． D．71．（多选）若圆与圆的公共弦AB的长为，则下列结论正确的有（

）A． B．直线AB的方程为C．AB中点的轨迹方程为 D．四边形的面积为72．若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（

）A． B．C． D．73．已知圆与交于两点.若存在，使得，则的取值范围为___________.74．（多选）圆和圆的交点为A，B，则（）A．公共弦AB所在直线的方程为B．线段AB中垂线方程为C．公共弦AB的长为D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为75．圆与圆的公共弦长的最大值是（

）A． B．1 C． D．276．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线AB的方程为________；线段AB的长为________．77．已知是圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆，设圆与圆交于A，B两点，则下列点中，直线一定不经过（

）A． B． C． D．78．已知过圆外一点做圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为（

）A． B．C． D．

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系（八种常考题型）知识点1 直线与圆的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为图形知识点2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表：位置关系几何法代数法图示外离外切相交内切内含题型一 直线与圆的位置关系的判断1．已知圆C：，直线，若直线l与圆C总有交点，则r的取值范围为______【答案】【分析】直线l与圆C总有交点，则直线所过定点在圆内或圆上，列出不等式求解.【详解】由l方程知，则l过定点，若l与圆C总有交点，则点M在圆内或圆上.又因为圆C的圆心坐标为，半径为r，则，即r的取值范围为.故答案为：2．若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是__________．【答案】【分析】数形结合，利用直线与半圆相切时直线的斜率可得结果.【详解】直线过定点，由得，故曲线是圆心为，半径为的半圆，如图所示：

当直线与半圆相切时，直线倾斜角为，直线的斜率，由图可得.故答案为：.3．若直线与圆相交，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简直线方程为一般式，结合直线与圆相交，列出不等式，即可求解.【详解】由直线，可化为，因为直线与圆相交，可得，整理得，所以.故选：B.4．直线与圆没有公共点，则的取值范围是（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【分析】根据点到直线距离公式求解.【详解】因为圆的圆心为，半径为，则点到直线的距离大于，，即或；故选：A.5．已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（

）．A．点在l上 B．点在圆O上C．点在圆O内 D．点在圆O外【答案】D【分析】根据l与圆O相交，可知圆心到直线的距离小于半径，列出不等式，再判断点与直线和圆的关系.【详解】由已知l与圆O相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，则有，故，把代入，所以点不在直线l上，故A错误；又，则点在圆O外，故D正确.故选：D．6．设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（

）A． B． C． D．以上都有可能【答案】C【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可．【详解】解：直线在轴上的截距为，直线过定点，，点在圆内，直线与的交点个数为个．故选：．7．（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（

）A．圆上恰有1个点到直线的距离为1，则B．圆上恰有2个点到直线的距离为1，则C．圆上恰有3个点到直线的距离为1，则D．圆上恰有4个点到直线的距离为1，则【答案】ACD【分析】根据圆上点的个数到直线的距离为1，数形结合得到圆心到直线的距离或距离范围，得到方程或不等式，求出答案.【详解】圆的圆心为，半径为2，A选项，要想圆上恰有1个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离为3，即，解得，A正确；B选项，要想圆上恰有2个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离大于1，小于3，即，解得，B错误；C选项，圆上恰有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离等于1，即，解得，C正确；D选项，圆上恰有4个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离小于1，即，解得，D正确.故选：ACD8．圆：与直线：的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【答案】A【分析】求出圆心坐标与半径，再将直线方程化为一般式，根据圆心到直线的距离即可判断.【详解】圆：的圆心为，半径，直线：即，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.故选：A9．已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为______________．【答案】【分析】直线过定点，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆，数形结合可求实数的取值范围.【详解】直线，得，可知直线过定点，如图，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆．当直线与半圆相切时，，解得．曲线与轴负半轴交于点．因为直线与曲线有两个交点，所以．故答案为：.

10．若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可.【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等，由圆的圆心为：，圆心到的距离为：，圆心到的距离为：，所以，由题意，所以，故选：A.题型二 直线与圆相切11．圆心在直线上，且与直线相切的一个圆的方程为______.【答案】（答案不唯一）【分析】依题意可得直线与直线平行，则两平行线之间的距离即为圆的半径，再取一个点确定圆心，即可得到圆的方程.【详解】因为直线与直线平行，设圆心坐标为，因为圆心到直线的距离等于圆的半径r，所以，取，则圆的方程为.故答案为：（答案不唯一）12．已知圆与直线相切，且与轴切于点，则圆的方程为__________．【答案】或【分析】设出，根据点到直线距离公式列出方程，求出圆心和半径，得到圆的方程.【详解】因为圆与轴切于点，故圆心的横坐标为3，设，则圆心到直线的距离为，则，解得或2，故圆心坐标为或，当时，半径为8，当时，半径为2，故圆的方程为或.故答案为：或13．已知直线l：与x轴和y轴分别交于两点，点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当最大时，的面积为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】作图分析，可知当最大时，直线为圆的切线，由此求得，根据三角形面积公式，可得答案.【详解】如图示，,点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，,当最大时，直线为圆的切线，则,此时,故的面积为，故选：C14．过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（

）A．4 B． C． D．2【答案】C【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点的连线垂直于直线，利用这一关系即可得到切线的长.【详解】如图所示，圆心为，连接，

因为直线，关于对称，所以垂直于直线，故，而，所以.故选：C15．已知点，，经过B作圆的切线与y轴交于点P，则______．【答案】【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得，再用两角和与差的正切公式即可得结果.【详解】如图所示，设圆心为C点，则，，则点在圆上，且，由与圆相切可得：，则，，则，故，则，从而可得,故答案为：.16．已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据点在圆上，求出，考虑的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离列出方程，求出斜率和倾斜角.【详解】由题意得，当的斜率不存在时，此时直线方程为，与圆相交，不合题意，当的斜率存在时，设切线的方程为，则，解得，设的倾斜角为，故的倾斜角为.故选：D17．从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．6【答案】B【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解.【详解】由得，所以圆心为，半径为，设切点分别为,连接,则为两切线的夹角，由于,所以,由二倍角公式可得，故选:B

18．已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为__________.【答案】【分析】根据与的位置关系分析可得.【详解】

如图：与轴焦点为，当点在圆外，则表示的两条射线与圆相切与相切时恰有两个公共点，联立得，由，得，因，所以，故，当点在圆上，

如图，此时与有3个或1个交点不符合题意，当点在圆内，

如图，此时与有2个交点符合题意，此时，，得综上的取值范围为：.故答案为：.19．已知点，动圆C与直线切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点满足的条件是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】设分别与圆C相切于Q、R,根据圆的切线长定理,可推出.【详解】由已知,设分别与圆C相切于Q、R,根据圆的切线长定理,有,，所以或.

故选：C20．过点作圆的切线，则切线的方程为__________.【答案】【分析】根据题意可知点在圆上，结合切线性质结合直线的点斜式运算求解.【详解】圆的圆心，∵，则点在圆上，即点为切点，则圆心到切点连线的斜率，可得切线的斜率，故切线的方程，即.故答案为：.题型三 圆的弦长问题21．直线被圆截得的弦长为1，则半径（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根据点到直线的距离公式，由勾股定理即可求解.【详解】圆心到直线的距离为，所以，故，故选：B22．已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是___________.【答案】/【分析】求出圆C圆心到弦AB的长度d，求出弦AB的长度，M到弦AB的最大距离为d＋r(r为圆C半径)，根据三角形面积公式即可求出答案．【详解】，则圆C的圆心为，半径为，圆心C到直线l（弦AB）的距离为，则，则到弦AB的距离的最大值为，则面积的最大值是.故答案为：23．已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则______．【答案】/【分析】先求出圆的圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦长.【详解】由，得，则圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离为所以，解得．故答案为：24．已知圆经过，，三点，且交直线于，两点.(1)求圆的标准方程；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）设圆，根据待定系数法求出圆的方程；（2）根据圆的几何性质，利用半弦长、半径、弦心距关系得出弦长，再由点到直线距离求出高，即可得三角形面积.【详解】（1）设圆,则∴圆（2）因为到直线的距离为，圆心到直线的距离为，故弦长，所以.25．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为（

）A．10 B．12 C．13 D．15【答案】B【分析】设圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，可得，，可求四边形的面积的最大值．【详解】设圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，直线，互相垂直，垂足为，，，，．故选：B．26．已知直线与圆相交于A，B两点，且是顶角为的等腰三角形，则b等于（

）A．1 B．- C．-1 D．1或-【答案】D【分析】根据已知求出圆心、半径，根据题意可得出圆心到直线的距离为.根据点到直线的距离得出关系式，求解即可得出答案.【详解】

由已知可知，圆的圆心为，半径.如图，过点作，垂足为.因为，是顶角为的等腰三角形，所以，所以，，即圆心到直线的距离为，所以，，整理可得，，解得或.故选：D.27．已知圆过两点，，且圆心P在直线上．(1)求圆P的方程；(2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）依题意可设圆P的方程为，圆P过两点，，可列方程组求解未知数，从而可得圆P的方程；（2）由弦长，可得圆心到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时验证即可，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解.【详解】（1）依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为，因为圆P过两点，，所以，解得，所以圆P的方程为.（2）由（1）可知，圆心，半径，当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1，此时满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，当时，圆心到直线的距离，即有，解得，此时直线的方程为，即为.综上，直线的方程为或.28．已知圆被直线截得的两条弦长分别为，则的最大值为__________．【答案】【分析】先将圆化为标准方程求得圆心与半径，再利用弦长公式求得，从而得到，由此利用基本不等式即可得解.【详解】因为圆可化为，故圆心为，半径为，所以圆心到的距离为，则该圆被截得弦长满足，圆心到的距离为，则该圆被截得弦长满足，所以，则，即，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：.29．已知圆，过点的直线交圆于两点，且，请写出一条满足上述条件的直线的方程______.【答案】（答案不唯一，也满足）【分析】分别讨论直线l斜率存在、不存在的情况，设C到直线的距离为d，由得，结合点线距离公式即可求解判断.【详解】由题意得，半径，，故在圆外，设O到直线的距离为d，由得，即，解得，当直线l斜率不存在时，即，此时，符合题意；当直线l斜率存在时，设为，即，则，即，解得，故直线为.故答案为：（答案不唯一，也满足）30．设直线与圆相交所得弦长为，则______；【答案】【分析】利用点线距离公式与圆的弦长公式即可得解.【详解】因为圆的圆心为，半径为，则圆心到直线，即的距离，由圆的弦长公式，即，得，所以，解得，经检验，满足题意，所以.故答案为：.题型四 直线与圆的位置关系求距离的最值31．已知圆与直线相交于两点，则的最小值是______.【答案】【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，将直线的方程变形为，恒过定点，分析可得在圆内部，分析可得：当直线与垂直时，弦最小，求出此时的值，由勾股定理分析可得答案.【详解】根据题意，圆即，圆心的坐标为，半径，直线，即，恒过定点，又由圆的方程为，则点在圆内，分析可得：当直线与垂直时，弦最小，此时，则的最小值为；故答案为：.32．已知实数x，y满足，则的取值范围为_____________．【答案】【分析】利用点到直线的距离公式列不等式，由此求得的取值范围.【详解】将整理为，此方程表示圆心为，半径为2的圆，设点是圆上一点，令，，则与圆有公共点，所以，解得．故答案为：33．已知点，圆C：.(1)若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；(2)当时，过直线上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用点在圆外代入得到不等式，结合曲线方程表示圆即可解答；（2）首先得到，再根据点到直线的距离公式求出的最小值，最后得到四边形面积的最小值.【详解】（1）由题意得在圆外，则，即又，即或所以或.（2）时，圆方程为，则圆的半径，圆心，直线方程为，设圆心到直线的距离为，，34．设为直线的动点，为圆的一条切线，为切点，则的面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圆的方程可得圆心与半径，利用三角形的面积，将面积的最值小问题转化为点到直线的距离的最小值可求答案．【详解】由圆的标准方程为，则圆心坐标为，半径，则的面积，要使的面积的最小，则最小，又，即最小即可，此时最小值为圆心到直线的距离，，即的面积的最小值为．故选：C．35．已知点是曲线上的动点，则点到直线距离的取值范围是______．【答案】【分析】作出曲线的图像，数形结合判断并计算点到直线的最大距离和最小距离.【详解】即，所以曲线是圆心为，半径为1的圆的上半部分，如图，点是曲线上的动点，则点到直线距离的最大值为原点到直线距离加上圆的半径，即，点为时到直线的距离最小，最小值为．则点到直线距离的取值范围是．故答案为：36．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是___________.【答案】【分析】先求出A，B两点的坐标，则可求出，然后求出圆心到直线的距离，从而可求出点P到直线的距离的最大值和最小值，进而可求出面积的最大值和最小值，即可求得结果.【详解】对于，当时，，当时，，所以，所以，圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为，所以点P到直线的距离的最大值，点P到直线的距离的最小值，所以面积的最大值为，面积的最小值为，所以面积的取值范围是，故答案为：37．若点在圆上运动，求：(1)的最大值；(2)的最值．【答案】(1)(2)最小值，最大值【分析】（1）确定圆心和半径，设，，当直线和圆相切时取最值，计算得到答案.（2）设，联立方程得到，计算得到答案.【详解】（1），圆心为，半径.设，表示的斜率，即，当直线与圆相切时取最值，此时圆心到直线的距离为，解得，故的最大值为（2）设，则，化简整理得到，，解得，故的最小值，最大值38．已知点在圆：上，直线：（），则点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知直线方程求得直线过定点，再利用两点之间的距离公式求得圆心到直线的距离的最大值，即可求解.【详解】整理直线方程得联立，解得所以直线恒过定点圆：，圆心，半径，当时，圆心到直线的距离取得最大值，最大值为所以点到直线的距离的最大值为故选：A39．若为圆上的动点，当到直线的距离取得最大值时，直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知当为射线与圆的交点且时，点到直线的距离最大，求出直线的斜率，可得出直线的斜率.【详解】圆的标准方程为，圆心为，将直线的方程变形为，由得，故直线过定点，如下图所示：当为射线与圆的交点且时，点到直线的距离最大，因为，则直线的斜率为.故选：B.40．过点的直线与圆相交于两点，则弦长的最小值是（

）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】求出圆心、半径，得出，即点在圆内.当时，弦长最小，根据勾股定理即可求出答案.【详解】由已知可得圆心，半径.因为，所以点在圆内.所以，当时，弦心距最大，弦长最小.所以弦长的最小值是.故选：B.41．若，则的最小值为______.【答案】【分析】由方程表示的图形的几何意义以及所求代数式的几何意义画出图形可求出最小值.【详解】解：曲线表示的是以点为圆心，以为半径的圆，表示点到点的距离，表示点到直线的距离，设点在直线上的射影点为，则，当且仅当、、三点共线且点为线段与圆的交点时，等号成立，

故的最小值为.故答案为：.题型五 直线与圆的实际应用42．某公园有一圆柱形景观建筑物，底面直径为米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与直道平行的两段轴道，观景直道与辅道距离6米．在建筑物底面中心的东北方向米的点A处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决下列问题：(1)在西辅道上与建筑物底面中心距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度．【答案】(1)不在监控范围内(2)24米【分析】（1）将问题转化为判断直线与圆的位置关系即可；（2）根据直线与圆相切或相离时在监控范围内，利用直线与圆相切时的等量关系求解.【详解】（1）设为原点，正东方向为轴，建立如图所示坐标系，因为，则依题意得，游客所在位置为,则直线的方程为：化简得，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以游客不在该摄像头的监控范围内.（2）观景直道所在直线方程为，由图易知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住，所以设直线过点且和圆相切，若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切；若直线不垂直于轴，设，整理得，所以圆心到直线的距离为解得或，所以或，即或，设两条直线与的交点为由解得，由解得，所以,所以观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为24米.43．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是_________．【答案】/【分析】通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差即可.【详解】如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG.由题可知，，，设，则在中，有即，解得故车辆通过隧道的限制高度是.故答案为：44．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为（）A．2.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2.0米【答案】B【分析】当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，可建系求解.【详解】以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．易知半圆所在的圆的方程为（），由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x＝0.8或x＝－0.8，代入，得（负值舍去）．故选：B45．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意得到，解得答案.【详解】小岛到航线的距离为，解得.故选：C46．如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点．(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【答案】(1)(2)该船没有触礁的危险【分析】（1）由图中坐标系得坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方程；（2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得．【详解】（1）如图所示，，设过O、A、B三点的圆C的方程为，得：，解得，故所以圆C的方程为，圆心为，半径，（2）该船初始位置为点D，则，且该船航线所在直线l的斜率为,故该船航行方向为直线，由于圆心C到直线l的距离，故该船没有触礁的危险47．在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点．(1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）；(2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S；(3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围．【答案】(1)A是失败点(2)（米2）；(3)【分析】（1）直接根据失败点的概念即可判断；（2）建立直角坐标系，求出点的轨迹为圆，进而得面积；（3）根据临界位置为当线段FP与（2）中圆相切时，即可得结果.【详解】（1）由于，，即机器人和电子狗同时到达点A，故A是失败点（2）建立以A点为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴的直角坐标系，如图，，设机器人的速度为v，则电子狗的速度为2v，电子狗失败的区域内任意点，可得，即，，即失败点组成的区域为以为圆心，2为半径的半圆及其内部，所以电子狗失败的区域面积（米2）（3）当线段FP与（2）中圆相切时，即，所以，因为电子狗在线段FP上都能逃脱时，所以又因为，所以的取值范围是．48．某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径．假定拟建体育馆的高（单位：米，下同）．(1)若，，求和的长；(2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围．【答案】(1)米，米(2)【分析】（1）求出圆的半径，可得出的长，利用抛物线和圆的方程分别求出、，可求得线段的长；（2）求得，，可得出，分析可知对恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可得出关于的不等式，解之即可.【详解】（1）解：因为圆的半径为，所以米.在中令，可得，得.在圆中令，得，则，所以米.（2）解：由圆的半径为，得.在中令，可得，得，所以，.由题意知，对恒成立，所以恒成立，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故，解得.49．如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米.(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．【答案】(1)(2)3.11米．【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为，进而待定系数法求解即可；（2）点的横坐标代入这个圆的方程并解方程即可得答案.【详解】（1）解：建立如图所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为，由于圆心在轴上，所以，那么方程即为.因为都在圆上，所以它们的坐标都是这个圆的方程的解，于是有方程组，解得

所以，这个圆的方程是．（2）解：由题知点的横坐标为.所以，把点的横坐标代入这个圆的方程，得，所以，因为的纵坐标，故应取正值，所以，（米）．

所以，支柱的高度约为3.11米.题型六 圆与圆位置关系的判断50．（多选）已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的取值可以是（

）A．－1 B．－3 C．1 D．3【答案】ABCD【分析】由题意可知两圆外切或内切，则圆心距等于两半径的和或两半径的差，列方程可求出a的值.【详解】由题意得两圆的圆心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，解得a＝3或a＝－3或a＝1或a＝－1，所以a的所有取值构成的集合是{1，－1，3，－3}．故选：ABCD51．已知圆与圆内切，则的最小值为_______【答案】2【分析】计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差，结合基本不等式求解最小值即可．【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆的圆心距，两圆内切，，可得，所以．当且仅当时，取得最小值，的最小值为2．故答案为：2．52．已知圆，，，若以线段为直径的圆与圆有公共点，则的值可能为______.（写出一个即可）【答案】1（2,3均可）答案不唯一【分析】根据题意，由已知利用圆与圆的位置关系即可求解.【详解】由题意得，圆与圆有公共点，∴，∴，且，解得；故，2，3均可.故答案为：1（2,3均可）53．若圆与圆有公共点，则满足的条件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两圆之间的位置关系，由圆心距和半径之间的关系即可求解.【详解】由得，两圆圆心之间的距离为＝.∵两圆有公共点，∴，∴，即，∴，故选：C.54．圆与圆的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.【详解】圆的圆心坐标为，半径为5；圆的圆心坐标为，半径为3，所以两圆的圆心距为，因为，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条.故选：B.55．圆与圆的位置关系为（

）．A．相交 B．内切 C．外切 D．外离【答案】B【分析】由两圆的位置关系计算即可.【详解】由题意可得，故两圆的圆心分别为：，设两圆半径分别为，则，易知，故两圆内切.故选：B56．圆与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．内含 D．外离【答案】B【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心和半径，并计算两圆的圆心距即可判断作答.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，于是，所以两圆相交.故选：B57．已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是____________．【答案】【分析】由求出点的轨迹，再求出该轨迹与圆有公共点的a的范围作答.【详解】设点，则，而，则，整理得，即点的轨迹是原点为圆心，2为半径的圆，因为点在圆，即圆与圆有公共点，而圆的圆心为，半径为1，因此，即，解得或，所以实数a的取值的范围是.故答案为：

58．若圆和有且仅有一条公切线，则______；此公切线的方程为______【答案】1【分析】根据两圆内切由圆心距与半径关系列出方程求，联立圆的方程求出切点，根据圆的切线性质得出斜率即可求解.【详解】如图，

由题意得与相内切，又，所以，所以，解得，所以，．联立，解得所以切点的坐标为，故所求公切线的方程为，即．故答案为：1；59．已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【分析】由已知可推得，直线是圆与圆的公切线.根据两圆的圆心、半径，推得两圆的位置关系，即可得出答案.【详解】由已知可得，圆心，半径.由点到直线的距离是2，所以直线是以为圆心，为半径的圆的切线，又直线是圆的切线，所以，直线是圆与圆的公切线.因为，所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.故选：D.题型七 两圆相切问题60．已知两圆，，当圆与圆有且仅有两条公切线时，则的取值范围________.【答案】【分析】根据两圆相交即可利用圆心距与半径的关系求解.【详解】若圆C1与圆C2有且仅有两条公切线时，则两圆相交，圆心C1，半径R＝2，圆C2，半径r，则，若两圆相交，则满足，即,得，故答案为：61．已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】B【分析】先根据题意求得，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，即可知道公切线只有1条.【详解】圆：的圆心为，半径为a，所以圆心到直线的距离为，解得或．因为，所以.所以圆：的圆心为，半径为．圆：的标准方程为，圆心坐标为，半径，圆心距，所以两圆相内切．所以两圆的公切线只有1条.故选：B．62．已知圆，圆.请写出一条与两圆都相切的直线方程：__________.【答案】或【分析】由题可知两圆相交，两圆有2条公切线，求出切线与两圆圆心连线的交点，点斜式设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径，计算即可.【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，由两圆相交，所以两圆有2条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为，如图所示，则，即，所以，解得，所以，设公切线l︰，所以圆心到切线l的距离，解得，所以公切线方程为，即或.故答案为：或63．已知圆与圆恰有两条公切线，则满足题意的一个的取值为____；此时公切线的方程为__________.【答案】5（答案不唯一）和（答案与前空的答案有关联）【分析】根据两圆相交，求出圆半径的取值范围；再根据圆心到直线切线的距离等于半径求出切线方程.【详解】圆的圆心为，半径为5.因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交.即.又，所以，所以可取(答案不唯一.满即可).此时.因为的圆心为，半径为5，的圆心为，半径为5，所以可设公切线的方程为，且与两圆圆心所在的直线平行，解得，又因为是公切线，所以圆心到直线距离等于半径，即，解得.所以当时，公切线的方程为和.故答案为:5；和.64．到点、的距离分别为和的直线有________条．【答案】【分析】分析以点为圆心半径为的圆与以点为圆心半径为的两圆的位置关系，求出两圆公切线的条数，即可得出结论.【详解】到点的距离为3的直线是以为圆心，为半径的圆的切线；同理，到点的距离为的直线是以为圆心，半径为的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距，则，所以圆和圆外离，因此它们的公切线有条，即满足条件的直线有条.故答案为：.65．若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得.【详解】如下图所示，设直线交轴于点，由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则，，，，为的中点，为的中点，，由勾股定理可得.故选：C.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于推导出为的中点，并利用勾股定理进行计算，此外，在直线与圆相切的问题时，要注意利用圆心与切点的连线与切线垂直这一几何性质.66．（多选）已知圆，圆，则（

）A．圆与圆相切B．圆与圆公切线的长度为C．圆与圆公共弦所在直线的方程为D．圆与圆公共部分的面积为【答案】BCD【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，B，两圆方程作差即可得到公共弦方程，从而判断C，求出两圆圆心到公共弦的距离，从而取出公共部分的面积，从而判断D.【详解】解：因为圆，圆，所以圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以，故圆与圆相交，即A错误；因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为，故B正确将两圆方程作差得，所以两圆公共弦所在直线的方程为，故C正确；因为的圆心为，半径，所以到直线的距离为，所以公共弦长为，又圆心到直线的距离为，所以圆与圆公共部分的面积为，故D正确.故选：BCD67．写出与圆和都相切的一条直线方程____________．【答案】或中任何一个答案均可【分析】先判断两圆的位置关系，可知公切线斜率存在，方程可设为，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则，所以两圆外离，由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在，设公切线方程为，即，则有，解得或或或所以公切线方程为或.故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可）题型八 两圆相交问题68．已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由两圆方程相减即可得公共弦的方程.【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.故选：D.69．已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______.【答案】【分析】求出，得到圆，两圆相减得到相交弦方程.【详解】圆：的圆心坐标为，因为圆过圆的圆心，所以，所以，所以：，两圆的方程相减可得相交弦方程为.故答案为：.70．已知圆，圆是以圆上任意一点为圆心，1为半径的圆．圆与圆交于，两点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得到当公共弦最大，即为圆的直径时，最大，即取得最