新高三数学暑假自学课精讲精练基础知识复习练习题专题14解三角形(原卷版+解析)

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题14解三角形基础知识复习1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形(3)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况3.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．【知识拓展】1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.4.实际测量中的常见问题【知识拓展】实际问题中的常用术语1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．4．坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比．典型习题强化1．在△ABC中，a=3，B=π3，b=A．3 B．23 C．33 2．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形3．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（

）A．206海里 B．406海里 C．20(1+4．在△ABC中，AC＝3，BC=7，AB＝2，则ABA．32 B．262 C．335．已知△ABC的三边a､b､c满足：a3A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定6．在锐角△ABC中，若3sinA(cosAA．23,4 B．2,23 C．0,47．在△ABC中，内角A，B，C所对的分别为a，b，c，下列结论错误的是（

）A．若a＝2，b＝2021，c＝2022，则△ABC为钝角三角形B．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形C．若a：b：c＝2：3：4，则△ABC中最小的内角为A，且A∈D．若a＝2，c=6，C=π8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinC=23sinBA．323 B．32+3 9．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2bcos①A=2B

②角B③cosA的取值范围是0,12

④A．1 B．2 C．3 D．410．在面积为S的锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S=12cA．92 B．4 C．2311．在△ABC中，角A､B､A．sinB．若sinA>sinC．若acosB−bcosD．若b=3,A=6012．在△ABC中，a,b,c分别为∠A，A．若△ABC为钝角三角形，则aB．若△ABC是锐角三角形，则不等式sinA>C．a=bsinC+cD．若tanA+tanB+13．已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（

）A．若sin2A=sin2BB．若sinA>sinC．若△ABC是锐角三角形，则sinD．若AB=3，AC=1，B=30°，则△ABC14．设△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，且A−C=π2.若a､b､c成等差数列，则15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=3，b=4，sinB=16．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA17．在①2c−ba=cosBcosA在△ABC中，角A,B,(1)求角A的大小；(2)若a=3，求△ABC注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①bcosA+acosB=2ccosC，(1)求角C的大小；(2)若c=2，求△ABC19．在①a=7，②AC边上的高为332，问题：记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠A=60°，(1)求c的值；(2)若点D是边BC上一点，且∠ADB−∠ABC=π3，求20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA+sinC−B(1)求证：△ABC是直角三角形；(2)已知c≠2b，a=23，点P，Q是边AC上的两个动点（P，①当θ=π6时，设△PBQ的面积为S②记∠BPQ=α，∠BQP=β.问：是否存在实常数θ和k，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k=4k高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题14解三角形基础知识复习1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形(3)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况3.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．【知识拓展】1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.4.实际测量中的常见问题【知识拓展】实际问题中的常用术语1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．4．坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比．典型习题强化1．在△ABC中，a=3，B=π3，b=A．3 B．23 C．33 【答案】B【解析】由余弦定理可得9=b2∵c>0，解得c=故选：B.2．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】因为c=2acos即sinA+B整理得到sinA因为0<A<π，0<B<π，所以即A−B=0，A=B，△ABC故选：A3．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（

）A．206海里 B．406海里 C．20(1+【答案】A【解析】由题意可知CD=40,所以∠CAD=45在△ACD中，由正弦定理得ADsin30°=在Rt△BCD中，因为∠BDC=所以BD=2在△ABDAB===2400故选：A4．在△ABC中，AC＝3，BC=7，AB＝2，则ABA．32 B．262 C．33【答案】C【解析】在△ABC中，由余弦定理得：cosA=则有sinA=1−cos故选：C5．已知△ABC的三边a､b､c满足：a3A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定【答案】A【解析】因为a3+两边同除以c3,得因为0<ac<即cos所以C为锐角,又C为最大角,所以此三角形是锐角三角形故选：A6．在锐角△ABC中，若3sinA(cosAA．23,4 B．2,23 C．0,4【答案】A【解析】由3sinC+cosC=2sin(∵C∈(0,π2)，∴C=π3．由题cosAa+cosCc=sinBsinC3sinA，由正弦定理有cosAa+cosCc=b⋅3∵A∈(π6，π2)，∴A+π6∴a+b的取值范围为23故选：A．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的分别为a，b，c，下列结论错误的是（

）A．若a＝2，b＝2021，c＝2022，则△ABC为钝角三角形B．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形C．若a：b：c＝2：3：4，则△ABC中最小的内角为A，且A∈D．若a＝2，c=6，C=π【答案】B【解析】在△ABC中，最大的内角为C，cosC=a2因为sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A+B=π2，故设a＝2x，b＝3x，c＝4x（x>0），△ABC中最小的内角为A，由余弦定理知cosA=b2+c2−a22bcsinA=asinCc=2×326=22．因为0<A<π，所以A=π故选：B.8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinC=23sinBA．323 B．32+3 【答案】C【解析】由sinC=23由余弦定理得：a2两式结合得：a2即a2即a2则当A=7π12时，(a故由λ=ba可得其最小值为故选：C9．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2bcos①A=2B

②角B③cosA的取值范围是0,12

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：因为a=2bcos所以A=2B或因为b≠c，所以B≠C，所以A+2B≠A+B+C=π，则A=2因为A+B+C=π，所以C=π−A−B=π−3因为△ABC是锐角三角形，所以0<A<即0<2B<所以22利用正弦定理：ab=sinAsin因为A=2B，所以所以0<cosA<故选：C．10．在面积为S的锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S=12cA．92 B．4 C．23【答案】B【解析】解：由S=12c2，所以12所以sinAsinB=所以1=sinA所以1tanA+1tan故选：B11．在△ABC中，角A､B､A．sinB．若sinA>sinC．若acosB−bcosD．若b=3,A=60【答案】ABC【解析】对于A，在△ABC中，sinB+C对于B，在△ABC中，由正弦定理得：sinA>对于C，在△ABC中，由余弦定理得：a⋅a2+c2对于D，依题意，S=12bc由余弦定理得：a=b由正弦定理得外接圆半径R=1故选：ABC12．在△ABC中，a,b,c分别为∠A，A．若△ABC为钝角三角形，则aB．若△ABC是锐角三角形，则不等式sinA>C．a=bsinC+cD．若tanA+tanB+【答案】BCD【解析】对于A中，由余弦定理可得cosC=a2+b2−对于B中，若△ABC是锐角三角形，可得A+B>π2，所以且0<A<π2,0<B<即不等式sinA>对于C中，因为a=bsinC+ccos又由sinA=所以sinBcosC+因为B∈(0,π)，可得sinB>0又因为C∈(0,π)对于D中，在△ABC中，可得tanC=−所以tanA+因为tanA+tanB+所以tanA,tanB,tanC必有一个小于0所以△ABC为钝角三角形，所以D正确；故选：BCD13．已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（

）A．若sin2A=sin2BB．若sinA>sinC．若△ABC是锐角三角形，则sinD．若AB=3，AC=1，B=30°，则△ABC【答案】BCD【解析】解：对于A：若sin2A=sin2B，则sin(π−2即A=B或A+B=π2，故对于B：若sinA>sinB，即2Rsin对于C：△ABC是锐角三角形，所以A+B>π2，整理得π2整理得：sinA>对于D：由余弦定理b2=a2+c2所以S△ABC=1故选：BCD14．设△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，且A−C=π2.若a､b､c成等差数列，则【答案】34【解析】由A+B+C=π且A−C=π2，故A=π2+C所以sinA=sinπ因为a，b，c成等差，则2b=a+c，故2sin所以2cos2C=2(cosC+所以cosC−sinC=12，两边同时平方(cos所以cosB=故答案为：315．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=3，b=4，sinB=【答案】π6##【解析】解：因为a=3，b=4，sinB=所以，A为锐角，由正弦定理asinA=所以B=π故答案为：π616．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA【答案】3【解析】由正弦定理变形有：sinAa=sinBb，又因为sinAa=又因为b2所以a+c2≤4则该三角形周长的最大值为a+b+c=6故答案为：3617．在①2c−ba=cosBcosA在△ABC中，角A,B,(1)求角A的大小；(2)若a=3，求△ABC注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，A=π(2)3.【解析】(1)选①，在△ABC中，由正弦定理及2c−ba=即2sinCcosA=sinA因此，cosA=12，又0选②，2sinA2cosA2=cosA2，在△ABC选③，在△ABC中，由正弦定理及3b=a(sinC+sinAsinC+而0<C<π，即sinC>0，有tanA=(2)由（1）知，A=π3，由余弦定理得：当且仅当b=c时取“=”，则S△ABC所以当b=c=2时，△ABC面积的最大值为318．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①bcosA+acosB=2ccosC，(1)求角C的大小；(2)若c=2，求△ABC【答案】(1)C=(2)6【解析】(1)选①bcosA+a∴sin∵C∈∴sin∴cos选②a+b+c∵c∴cos选③cos2又0所以cosC=所以C=(2)由余弦定理知：c由基本不等式知：ab≤所以c所以：a+b≤2c=4所以a+b+c≤综上：△ABC的周长的最大值为6．19．在①a=7，②AC边上的高为332，问题：记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠A=60°，(1)求c的值；(2)若点D是边BC上一点，且∠ADB−∠ABC=π3，求【答案】(1)c=(2)2【解析】(1)解：选条件①：a=7由余弦定理cosA=b2解得b=2，则c=b+