初高中数学暑假衔接材料：第11讲 函数的单调性（暑假预习讲义）（原卷版及解析）

2/14第11讲函数的单调性内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：图像法求单调区间题型2：单调性判定与证明题型3：复合函数单调性题型4：由单调性求参数题型5：单调性解不等式题型6：单调性比较大小题型7：单调性求最值题型8：由最值求参数题型9：恒成立与能成立问题题型10：平均变化率04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航单调性的定义单调区间单调性的证明单调性的判定复合函数单调性函数的最值1.理解增函数、减函数的定义，明确函数单调性与单调区间的概念，能结合函数图像直观认识函数的增减变化规律。2.掌握用定义证明函数单调性的标准步骤（取值、作差变形、定号、下结论），能规范完成简单函数单调性的证明。3.掌握函数单调性的常用判定方法（图像法、性质法、复合函数“同增异减”法则），能准确求出函数的单调区间。4.理解函数最大值、最小值的概念，能结合函数的单调性求解函数在指定区间上的最值与值域。5.能运用函数的单调性比较函数值大小、解函数不等式，掌握含参函数单调性问题的分类讨论思路。学习重点：函数单调性的定义与几何意义，单调性的判定与证明方法，利用单调性求解函数的单调区间与最值。学习难点：函数单调性的严格定义证明，复合函数单调区间的求解，含参函数的单调性讨论与综合应用。

知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01函数的单调性1.单调性的定义增函数减函数定义一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数图象描述自左向右看,图象是上升的自左向右看,图象是下降的温馨提示：定义中的有以下3个特征（1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般；（2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间．2．函数的单调区间如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间．温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质．（2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等．（3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性．3.复合函数的单调性一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”增增增增减减减增减减减增即时即练下列图象表示的函数为减函数的是（

）A．

B．

C．

D．

知识点02最值定义几何意义最大值一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足：①,都有；②,使得.那么,称是函数的最大值．函数的最大值是图象最高点的纵坐标最小值一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足：①,都有；②,使得.那么,称是函数的最小值．函数的最小值是图象最低点的纵坐标注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素．（2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值．（3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值．即时即练已知.(1)用定义证明fx在区间上是增函数；(2)求该函数在区间上的最大值与最小值.知识点03直线的斜率及平均变化率1.直线的斜率一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，当时，称为直线的斜率；当时，称直线AB的斜率不存在．（1）直线AB的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度．（2）若记，相应的，则当时，斜率可记为．2.平均变化率一般地，当时，称为函数在区间时)或时)上的平均变化率．（1）在上是增函数的充要条件是在上恒成立；（2）在上是减函数的充要条件是在上恒成立．即时即练函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为m1，m2，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．m1，m2的大小无法确定

题型1：图像法求单调区间【典例1-1】（2026·高一·广东潮州·阶段检测）已知函数y=fx的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（

）A．fx的单调递减区间为B．fx的最大值为C．fx的最小值为D．fx的单调递增区间为【典例1-2】（2026·高一·山东德州·开学考试）若函数fx的图象如图所示，则其单调递增区间是（

A． B．C． D．【变式1-1】函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（

）

A．定义域为；单调递增区间为B．定义域为；单调递增区间为，C．定义域为；单调递增区间为D．定义域为；单调递增区间为【变式1-2】函数y=fx的图象如图所示，其单调递增区间是（

A． B． C． D．【变式1-3】（2026·高二·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（

）A． B．和 C． D．题型2：单调性判定与证明【典例2-1】已知函数，证明：函数fx在上单调递减；【典例2-2】（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数，(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论．(2)求该函数在区间上的最大值与最小值．【变式2-1】（2026·高一·广西钦州·期末）已知函数．(1)证明fx在上单调递增；(2)设，若gx在上满足恒成立，求实数k的取值范围．【变式2-2】（2026·高一·云南普洱·期末）已知函数fx是一次函数，且．(1)求fx(2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明．【变式2-3】已知函数，判断并证明函数fx在上的单调性.题型3：复合函数单调性【典例3-1】（2026·高一·全国·期末）函数的增区间是______．【典例3-2】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）函数的单调递减区间是________．【变式3-1】（2026·高三·贵州·阶段检测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是_____．【变式3-2】（2026·高一·福建泉州·期中）已知函数，则该函数的单调递增区间为_______.【变式3-3】（2026·高一·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________.题型4：由单调性求参数【典例4-1】（2026·高一·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是_____．【典例4-2】（2026·高二·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________【变式4-1】（2026·高一·陕西渭南·期末）已知函数是R上的减函数，则a的取值范围是________.【变式4-2】（2026·高一·贵州铜仁·期末）设函数，若对，都有，则实数a的取值范围为______．【变式4-3】（2026·高一·广东潮州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是__________.题型5：单调性解不等式【典例5-1】（2026·高一·河北邢台·期末）已知fx是定义在上的增函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2026·高一·山西晋中·期中）已知函数y=fx是定义在R上的减函数，且，则不等式的解集为（

）A．−∞,0 B． C． D．【变式5-1】（2026·高一·天津·期中）若函数fx是定义域为R，且对，且，有，不等式的解集为（

）A． B．0,+∞ C． D．【变式5-2】（2026·高一·陕西延安·期中）已知定义在R上的函数fx满足对任意的x1、，当x1≠x2时，成立，则不等式A． B．C． D．【变式5-3】（2026·高一·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（

）A． B． C． D．题型6：单调性比较大小【典例6-1】（2026·高一·江苏宿迁·期中）已知定义在R上的函数f(x)满足，且f(x)在(0,+∞)上单调递减，则，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【典例6-2】（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知，且fx在0,2上单调递减，则，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【变式6-1】（2026·高一·上海徐汇·月考）设，奇函数fx在上减函数，且有最小值2，则函数（

）A．是上的减函数且最大值 B．是上的增函数且最小值C．是上的减函数且最大小值 D．是上的增函数且最大值【变式6-2】（2026·高一·四川南充·期中）已知函数，且不等式fx≥0的解集为，若，，，则m，n，p的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．题型7：单调性求最值【典例7-1】（2026·高一·天津武清·阶段检测）已知定义在R上的函数，且，(1)求的值；(2)利用定义证明函数y=fx在区间上单调递减；(3)求函数y=fx在区间的最大值和最小值.【典例7-2】（2026·高一·江苏苏州·期中）已知二次函数fx，满足当x=3时，fx取得最大值5，且(1)求二次函数fx(2)若，求函数fx的最大值；(3)已知函数的值域为，求实数k的取值范围.【变式7-1】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数fx满足．(1)证明：；(2)证明：fx在上单调递减，并求fx在上的值域．【变式7-2】（2026·高一·广东汕头·期中）已知函数.(1)函数单调性的定义证明：函数fx在上单调递增；(2)求函数fx在区间上的最大值和最小值.题型8：由最值求参数【典例8-1】设函数，若是fx的最小值，则实数t的取值范围是___________.【典例8-2】已知二次函数，当时，函数有最大值2a，则a=______．【变式8-1】（2026·高一·北京·期中）已知函数在区间上的值域为，则实数a的取值范围为______.【变式8-2】已知函数在区间上的值域为0,1，则______．【变式8-3】函数在上的最大值为，则a=______.【变式8-4】（2026·高一·上海·期末）已知函数的最小值为−3，则a=_____题型9：恒成立与能成立问题【典例9-1】（2026·高二·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，a∈R，(1)当时，求关于不等式的解集(2)当a=1时，若对任意1，不等式恒成立，求实数k的取值范围(3)若对任意恒成立，则实数x的取值范围【典例9-2】（2026·高一·安徽淮北·期末）已知二次函数f(x)过点，点(0,1)，点(1)求f(x)的解析式；(2)若，对任意恒成立，求实数k的取值范围．【变式9-1】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知函数．(1)，求实数m的取值范围；(2)，使得，求实数m的值；(3)，求实数n的取值范围．【变式9-2】（2026·高一·广东深圳·期末）已知函数的定义域为．(1)请用单调性定义证明：fx(2)当x>0时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【变式9-3】（2026·高一·甘肃张掖·阶段检测）已知函数．(1)若不等式的解集是−1,4，求a，b(2)解关于x的不等式；(3)若函数fx的值域为，存在，对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【变式9-4】已知函数，，(1)判断并证明函数fx(2)若存在实数，使得不等式成立，求实数a的取值范围．【变式9-5】（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）已知函数，，．(1)若，方程有解，求实数m的取值范围；(2)若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围．题型10：平均变化率【典例10-1】（2026·高二·陕西·阶段检测）函数从1到2的平均变化率为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【典例10-2】（2026·高一·北京海淀·期中）已知函数fx=x2，则fxA．1 B． C．3 D．4【变式10-1】（2026·高一·辽宁锦州·期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（

）A． B． C． D．【变式10-2】函数，当自变量x由1变到1.1时，函数f(x)的平均变化率为（

）A．2.1 B．1.1 C．2 D．1

1．（2026·高一·四川德阳·期末）已知定义在R上的函数fx为增函数，则关于m的不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．（2026·高一·江西吉安·期中）已知函数fx满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．3．（2026·高一·天津东丽·期中）已知fx在上是减函数，，若，则下列正确的是（

）A． B．C． D．以上都可能4．（2026·高一·浙江·期中）设，若不等式fx≥0的解集为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．5．已知函数的图象上一点及邻近一点，则（

）A．4 B． C． D．6．（2026·高二·北京·期末）对于以下四个函数：①y=x；②；③；④y=1x．在区间上函数的平均变化率最大的是（

）A．① B．② C．③ D．④7．（2026·高一·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．8．（2026·高一·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数m的最小值是（

）A． B． C．3 D．−39．（2026·高一·湖南·阶段检测）设函数，若，且x1≠x2，使成立，则实数a的取值范围是（

A． B． C． D．10．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数，若对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．11．（2026·高一·四川宜宾·期中）若函数是R上的单调函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．12．（2026·高一·河南·阶段检测）已知函数，且对任意的（且a<b），总存在，使得，则（

）A． B． C． D．13．（多选题）（2026·高一·河北唐山·期中）已知函数，则（

）A． B．C．fx在区间0,1上单调递减 D．fx在区间14．（多选题）（2026·高一·江西吉安·阶段检测）下列选项正确的是（

）A．f(x)的定义域为，则的定义域为B．函数的值域为C．函数在的值域为D．函数的值域为15．（多选题）（2026·高一·重庆·阶段检测）定义，设，则下列结论正确的是（

）A．fxB．当，fx的最大值为1C．不等式的解集为D．fx的单调递减区间为16．（多选题）（2026·高一·福建漳州·期末）定义域为的函数fx满足，则（

）A． B．fx为增函数C． D．17．（2026·高一·上海浦东新·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是________.18．（2026·高一·广东揭阳·期中）已知函数为定义在上的单调函数，则a的取值范围是___________．19．（2026·高三·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则a的取值范围是_________.20．（2026·高三·青海·阶段检测）已知函数在区间上的最大值为5，则a=__________.21．若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______．22．函数在区间上的最小值为，则的表达式为____.23．（2026·高一·上海·期末）利用函数的单调性求解，关于x的不等式的解集是______．24．（2026·高一·湖南娄底·期末）已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________．25．（2026·高一·上海·期末）已知（m为实数）．若函数y=fx在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围．26．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数．(1)请用函数单调性定义证明，f(x)在上单调递增；(2)若a>0，函数，求g(x)在上的值域（用含a的式子表示）27．（2026·高一·安徽阜阳·开学考试）已知函数，且.(1)用定义证明函数f(x)在上是增函数；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.28．若对于，恒成立，求实数x的取值范围.29．（2026·高一·河北唐山·期中）已知函数在区间上是单调函数．(1)求实数m的所有取值组成的集合A；(2)试写出fx在区间上的最大值．30．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）已知函数，．∀x∈R，用表示f(x)，g(x)中的最大者，记为函数．(1)求的值；(2)求函数的解析式；(3)若函数的定义域为时，值域为，求b−a的最小值．

第11讲函数的单调性内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：图像法求单调区间题型2：单调性判定与证明题型3：复合函数单调性题型4：由单调性求参数题型5：单调性解不等式题型6：单调性比较大小题型7：单调性求最值题型8：由最值求参数题型9：恒成立与能成立问题题型10：平均变化率04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航单调性的定义单调区间单调性的证明单调性的判定复合函数单调性函数的最值1.理解增函数、减函数的定义，明确函数单调性与单调区间的概念，能结合函数图像直观认识函数的增减变化规律。2.掌握用定义证明函数单调性的标准步骤（取值、作差变形、定号、下结论），能规范完成简单函数单调性的证明。3.掌握函数单调性的常用判定方法（图像法、性质法、复合函数“同增异减”法则），能准确求出函数的单调区间。4.理解函数最大值、最小值的概念，能结合函数的单调性求解函数在指定区间上的最值与值域。5.能运用函数的单调性比较函数值大小、解函数不等式，掌握含参函数单调性问题的分类讨论思路。学习重点：函数单调性的定义与几何意义，单调性的判定与证明方法，利用单调性求解函数的单调区间与最值。学习难点：函数单调性的严格定义证明，复合函数单调区间的求解，含参函数的单调性讨论与综合应用。

知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01函数的单调性1.单调性的定义增函数减函数定义一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数图象描述自左向右看,图象是上升的自左向右看,图象是下降的温馨提示：定义中的有以下3个特征（1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般；（2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间．2．函数的单调区间如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间．温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质．（2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等．（3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性．3.复合函数的单调性一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”增增增增减减减增减减减增即时即练下列图象表示的函数为减函数的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】对于A，该函数随着x的增大，y的取值在减小，符合减函数定义，A正确；对于B，该函数随着x的增大，y的取值在增大，不符合减函数定义，B错误；对于C，该函数在y轴右侧，随着x的增大，y的取值在增大，不符合减函数定义，C错误；对于D，该函数在y轴左侧，随着x的增大，y的取值在增大，不符合减函数定义，D错误.故选：A.知识点02最值定义几何意义最大值一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足：①,都有；②,使得.那么,称是函数的最大值．函数的最大值是图象最高点的纵坐标最小值一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足：①,都有；②,使得.那么,称是函数的最小值．函数的最小值是图象最低点的纵坐标注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素．（2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值．（3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值．即时即练已知.(1)用定义证明fx在区间上是增函数；(2)求该函数在区间上的最大值与最小值.【解析】（1）任取x1，，且，则.，，而，，即，在区间上是增函数.（2）由（1）知，fx在区间上是单调增函数，，.知识点03直线的斜率及平均变化率1.直线的斜率一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，当时，称为直线的斜率；当时，称直线AB的斜率不存在．（1）直线AB的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度．（2）若记，相应的，则当时，斜率可记为．2.平均变化率一般地，当时，称为函数在区间时)或时)上的平均变化率．（1）在上是增函数的充要条件是在上恒成立；（2）在上是减函数的充要条件是在上恒成立．即时即练函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为m1，m2，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．m1，m2的大小无法确定【答案】A【解析】，，故.故选：A.

题型1：图像法求单调区间【典例1-1】（2026·高一·广东潮州·阶段检测）已知函数y=fx的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（

）A．fx的单调递减区间为B．fx的最大值为C．fx的最小值为D．fx的单调递增区间为【答案】D【解析】对于A，由图象可知：fx的单调递减区间为0,2对于B，当x=0时，，B正确；对于C，当x=2时，，C正确；对于D，由图象可知：fx的单调递增区间为−1,0和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误.故选：D.【典例1-2】（2026·高一·山东德州·开学考试）若函数fx的图象如图所示，则其单调递增区间是（

A． B．C． D．【答案】D【解析】由函数fx的图象可知，fx单调递增区间是又由图知，而，所以A不正确，故选：D.【变式1-1】函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（

）

A．定义域为；单调递增区间为B．定义域为；单调递增区间为，C．定义域为；单调递增区间为D．定义域为；单调递增区间为【答案】D【解析】由图象可知定义域为，函数的单调递增区间有2个，即，.故选：D.【变式1-2】函数y=fx的图象如图所示，其单调递增区间是（

A． B． C． D．【答案】C【解析】由题图可知，函数y=fx的单调递增区间为.故选：C【变式1-3】（2026·高二·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（

）A． B．和 C． D．【答案】B【解析】由函数图像可知函数在和上单调递减，在上单调递增，故选：B题型2：单调性判定与证明【典例2-1】已知函数，证明：函数fx在上单调递减；【解析】设x1,x2是区间则由于，所以，所以，即，所以函数在区间上单调递减.【典例2-2】（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数，(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论．(2)求该函数在区间上的最大值与最小值．【解析】（1）f(x)在上的单调递增，证明如下：在内任取x1,x2，因为，所以，所以，即，所以f(x)在上的单调递增.（2）由（1）得f(x)在上的单调递增，所以f(x)的最大值为，f(x)的最小值为.【变式2-1】（2026·高一·广西钦州·期末）已知函数．(1)证明fx在上单调递增；(2)设，若gx在上满足恒成立，求实数k的取值范围．【解析】（1），设，则，易得，故，即当x≥2时，，，所以f(x)在上单调递增.（2）由在恒成立，则有当x≥2时，，，易得g(x)是开口向上的二次函数，对称轴为x=32故g(x)在上单调递增，所以，即，故实数k的取值范围是【变式2-2】（2026·高一·云南普洱·期末）已知函数fx是一次函数，且．(1)求fx(2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明．【解析】（1）因为函数fx为一次函数，可设，.由b=0，由.所以.（2）由题意：，在上单调递增，证明如下：设，则.因为，所以，，所以，所以，即.所以函数在上单调递增.【变式2-3】已知函数，判断并证明函数fx在上的单调性.【解析】fx在上单调递减，证明如下：由，任取，则，因为，所以，，，所以，即，所以fx在上单调递减.题型3：复合函数单调性【典例3-1】（2026·高一·全国·期末）函数的增区间是______．【答案】【解析】函数是由函数复合而成的，∵在其定义域上为增函数，∴要求函数的增区间即求函数的增区间，由于函数的增区间为，又由函数的定义域为,故函数的增区间是.故答案为：．【典例3-2】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）函数的单调递减区间是________．【答案】【解析】设，由可得，x≥2或，记函数，由在单调递减，在单调递增，而在[0,+∞)故函数的单调递减区间是．故答案为：【变式3-1】（2026·高三·贵州·阶段检测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是_____．【答案】【解析】由题意可得解得．故答案为：【变式3-2】（2026·高一·福建泉州·期中）已知函数，则该函数的单调递增区间为_______.【答案】【解析】由函数，则满足，解得或，设，则函数的图象开口向上，对称轴为x=1，所以函数gx在上单调递增，则函数fx的单调递增区间为.故答案为：.【变式3-3】（2026·高一·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________.【答案】【解析】要使函数有意义，则，解得，令，则t在单调递增，在单调递减，且在0,+∞单调递减，在单调递减，在单调递增.故答案为：.题型4：由单调性求参数【典例4-1】（2026·高一·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是_____．【答案】【解析】由题意可得，解得.故答案为：.【典例4-2】（2026·高二·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________【答案】【解析】的对称轴为，开口向上，递减区间为.所以，所以.【变式4-1】（2026·高一·陕西渭南·期末）已知函数是R上的减函数，则a的取值范围是________.【答案】【解析】依题意得，解得.故答案为：.【变式4-2】（2026·高一·贵州铜仁·期末）设函数，若对，都有，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】由题意知函数fx在上单调递减，需满足以下条件：，解得故答案为：.【变式4-3】（2026·高一·广东潮州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】函数的对称轴是，开口方向向上，在区间上单调递减，∴对称轴是在区间的右侧或对称轴为x=7，.故答案：.题型5：单调性解不等式【典例5-1】（2026·高一·河北邢台·期末）已知fx是定义在上的增函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】已知fx是定义在上的增函数，不等式，则，解得，∴不等式的解集为，故A正确．故选：A．【典例5-2】（2026·高一·山西晋中·期中）已知函数y=fx是定义在R上的减函数，且，则不等式的解集为（

）A．−∞,0 B． C． D．【答案】C【解析】因为y=fx是定义在R上的减函数，且，所以当时，，当时，，由，得或，解得或x<0，所以解集为.故选：C【变式5-1】（2026·高一·天津·期中）若函数fx是定义域为R，且对，且，有，不等式的解集为（

）A． B．0,+∞ C． D．【答案】C【解析】由，令，因为对，且，有，所以有，所以函数是上的增函数，由，故选：C【变式5-2】（2026·高一·陕西延安·期中）已知定义在R上的函数fx满足对任意的x1、，当x1≠x2时，成立，则不等式A． B．C． D．【答案】A【解析】不妨设，由可得，则，所以函数fx是R则由，可得，即，解得或.故原不等式的解集为.故选：A.【变式5-3】（2026·高一·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为当x<1时单调递增，且x=1时，，当时单调递增，且x=1时，，所以分段函数fx由可得，解得或x>1.故选：B.题型6：单调性比较大小【典例6-1】（2026·高一·江苏宿迁·期中）已知定义在R上的函数f(x)满足，且f(x)在(0,+∞)上单调递减，则，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】依题意，，由f(x)在(0,+∞)上单调递减，，得，所以.故选：C【典例6-2】（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知，且fx在0,2上单调递减，则，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，，因为fx在0,2上单调递减，所以.故选：A.【变式6-1】（2026·高一·上海徐汇·月考）设，奇函数fx在上减函数，且有最小值2，则函数（

）A．是上的减函数且最大值 B．是上的增函数且最小值C．是上的减函数且最大小值 D．是上的增函数且最大值【答案】A【解析】奇函数fx在上是减函数，且有最小值；则奇函数fx在上是减函数，有最大值；可得函数在上为增函数，且最小值为2；所以函数在上为减函数，有最大值.故选::A【变式6-2】（2026·高一·四川南充·期中）已知函数，且不等式fx≥0的解集为，若，，，则m，n，p的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设是的两个根，且，则，可得，所以，其图象开口向下且对称轴为x=1，所以f(x)在上单调递增，且，而，所以，即.故选：B题型7：单调性求最值【典例7-1】（2026·高一·天津武清·阶段检测）已知定义在R上的函数，且，(1)求的值；(2)利用定义证明函数y=fx在区间上单调递减；(3)求函数y=fx在区间的最大值和最小值.【解析】（1）函数，且，则，解得a=−2，，所以.（2）由（1）知，，且，则，由，得，，则，即，所以函数y=fx在区间上单调递减.（3）由（2）得函数y=fx在区间上单调递减，则，，所以函数y=fx在区间的最大值和最小值分别为38和11.【典例7-2】（2026·高一·江苏苏州·期中）已知二次函数fx，满足当x=3时，fx取得最大值5，且(1)求二次函数fx(2)若，求函数fx的最大值；(3)已知函数的值域为，求实数k的取值范围.【解析】（1）由二次函数fx，满足当x=3时，f可设二次函数，又因为，所以，即二次函数；（2）当，有，此时fx的最大值，当时，则，此时fx在上单调递增，即fx的最大值，当时，则，此时fx在上单调递减，即fx的最大值，综上可得：；（3）函数，由的值域为，则满足或，即实数k的取值范围或【变式7-1】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数fx满足．(1)证明：；(2)证明：fx在上单调递减，并求fx在上的值域．【解析】（1）由，令，则，则有，，即，，，所以．（2）设，则，因为，，所以，即fx在上单调递减，又，，故值域为．【变式7-2】（2026·高一·广东汕头·期中）已知函数.(1)函数单调性的定义证明：函数fx在上单调递增；(2)求函数fx在区间上的最大值和最小值.【解析】（1）证明：任取，且，则因为，，所以，，，所以，即，所以fx在上单调递增.（2）由（1）知fx在区间上单调递增，所以，，所以函数fx在区间上的最大值为1，最小值为−1题型8：由最值求参数【典例8-1】设函数，若是fx的最小值，则实数t的取值范围是___________.【答案】【解析】当x>0时，，当且仅当即x=1时，等号成立；当时，，为开口向上的二次函数，对称轴为.要使是fx的最小值，只需在上递减，且，即，解得.故答案为：【典例8-2】已知二次函数，当时，函数有最大值2a，则a=______．【答案】1【解析】对于二次函数，先讨论a的正负，当a>0时，对于，对称轴为x=1，此时最大值在端点处取得，当时，，当x=2时，，因为a>0，所以，即最大值为1，而函数有最大值2a，则，解得a=12当时，最大值在对称轴处取得，当x=1时，，可得，解得a=13综上，a的值为12故答案为：1【变式8-1】（2026·高一·北京·期中）已知函数在区间上的值域为，则实数a的取值范围为______.【答案】【解析】，由对勾函数的单调性知，时，fx单调递减；时，fx单调递增；∴fx在x=2处取得极小值若a≤2，则fx在上单调递减，，，因为fx的值域为，所以，解得a=2；若a>2，则fx在上单调递减，在上单调递增，，，因为fx的值域为，所以，解得，又a>2，所以.综上，故答案为：.【变式8-2】已知函数在区间上的值域为0,1，则______．【答案】1【解析】由题意得，且fx在上的值域为0,1，所以，fx在上单调递减，即，故．故答案为：1【变式8-3】函数在上的最大值为，则a=______.【答案】【解析】易知，是由向左平移1个单位得到，当a>0时，即在上单调递减，所以在上单调递减，所以，解得，与a>0矛盾；当时，即在上单调递增，所以在上单调递增，所以，解得a=−2.故答案为：.【变式8-4】（2026·高一·上海·期末）已知函数的最小值为−3，则a=_____【答案】或3【解析】当a≤0时，在上单调递增，当x=0时，，解得a=−2，因此a=−2；当0<a<1时，，，解得a=−1或a=2，无解；当时，在上单调递减，当x=1时，，解得a=3，因此a=3，所以a=−2或a=3.故答案为：或3题型9：恒成立与能成立问题【典例9-1】（2026·高二·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，a∈R，(1)当时，求关于不等式的解集(2)当a=1时，若对任意1，不等式恒成立，求实数k的取值范围(3)若对任意恒成立，则实数x的取值范围【解析】（1）因为，．①当a=0时，不等式为，解集为；②当时，，不等式可化为，解集为；③当a=2时，，不等式可化为，解集为；④当a>2时，，不等式可化为，解集为，综上，当a=0时，解集为；当时，解集为；当a=2时，解集为；当a>2时，解集为．（2）当a=1时，，知不等式对任意x>1恒成立，只需．因为，且x>1，所以，当且仅当，即x=2时，等号成立，所以，，故实数k的取值范围为（3）设，则若对任意，恒成立，即，解得.【典例9-2】（2026·高一·安徽淮北·期末）已知二次函数f(x)过点，点(0,1)，点(1)求f(x)的解析式；(2)若，对任意恒成立，求实数k的取值范围．【解析】（1）设二次函数解析式，因为二次函数过点，点(0,1)，点，因而，，解得，所以.（2）要使得，对任意恒成立，即，任意不妨令，因为，因此，即，，，由（1）得，对称轴方程为x=−2，因此在单调递增，则，所以，即.【变式9-1】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知函数．(1)，求实数m的取值范围；(2)，使得，求实数m的值；(3)，求实数n的取值范围．【解析】（1）因为，因为，当时，，因为，当时，，因为，所以，即，所以；（2）由（1）知，因为，所以，由题意，则，所以m=1；（3），设，所以，即ℎ(x)在上单调递减，所以，根据定义法，设，所以，即在上恒成立，因为，所以，所以，所以．【变式9-2】（2026·高一·广东深圳·期末）已知函数的定义域为．(1)请用单调性定义证明：fx(2)当x>0时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）任取，规定，则，因为，所以，且，所以，即，即，所以函数fx为0,+∞（2）当x>0时，恒成立，即恒成立，令函数，x∈0,+∞因为函数fx为0,+且也为0,+∞上的单调递减函数，所以gx为0,+由恒成立，等价于不等式恒成立，因为gx为0,+所以对任意恒成立，且m>0，令，所以问题转化为，由，当且仅当x=1时等号成立，所以，即实数m的取值范围为0,2．【变式9-3】（2026·高一·甘肃张掖·阶段检测）已知函数．(1)若不等式的解集是−1,4，求a，b(2)解关于x的不等式；(3)若函数fx的值域为，存在，对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）由题意得和4为方程的两实数根，则.（2）将原不等式代入得，整理后得：，即，①当时，不等式的解集为，②当a>−3时，不等式的解集为：，③当时，不等式的解集为：，综上所述：当时，不等式的解集为，当a>−3时，不等式的解集为：，当时，不等式的解集为：，（3）因为函数fx的值域为，所以，所以由不等式，对于任意的恒成立，设，该二次函数的对称轴为，因为，所以，所以当时，函数gx单调递增，所以，因为，所以，所以，又存在使得上式成立，所以，所以实数m的取值范围为.【变式9-4】已知函数，，(1)判断并证明函数fx(2)若存在实数，使得不等式成立，求实数a的取值范围．【解析】（1）由题意，任取，则，因为，所以，，即，所有，所以，故函数fx在区间内单调递增；（2）由（1）得，函数fx在区间内单调递增，所以当x=−2时，，当x=2时，，所以fx的值域为，若存在实数，使得不等式成立，只需即可，解得，所以a的取值范围为.【变式9-5】（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）已知函数，，．(1)若，方程有解，求实数m的取值范围；(2)若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围．【解析】（1）若，方程有解，即，，因为函数的图象开口向上，对称轴是直线x=2，可知y=fx在上为减函数，则，可得，即，所以m的取值范围为.（2）若对任意的，总存在，使得，因为函数的图象开口向上，对称轴是直线x=2，且，由对称性可知函数f(x)有最大值为；可得在有解，即，即在有解，可得或，解得或，可得，所以a的取值范围为.题型10：平均变化率【典例10-1】（2026·高二·陕西·阶段检测）函数从1到2的平均变化率为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】函数从1到2的平均变化率为.故选：C【典例10-2】（2026·高一·北京海淀·期中）已知函数fx=x2，则fxA．1 B． C．3 D．4【答案】A【解析】由题设fx在上的平均变化率为.故选：A【变式10-1】（2026·高一·辽宁锦州·期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图分别令、、、、、、所对应的点为,所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；故选：B【变式10-2】函数，当自变量x由1变到1.1时，函数f(x)的平均变化率为（

）A．2.1 B．1.1 C．2 D．1【答案】A【解析】由题意，函数的平均变化率为：.故选：A.

1．（2026·高一·四川德阳·期末）已知定义在R上的函数fx为增函数，则关于m的不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数fx为定义在R上的增函数，且，所以，解得．故选：A．2．（2026·高一·江西吉安·期中）已知函数fx满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对任意,当时，恒成立，则有在上是减函数，而不等式可变形为，又因为，所以有，即有，根据有在上是减函数，所以，解得x>2，故选：C.3．（2026·高一·天津东丽·期中）已知fx在上是减函数，，若，则下列正确的是（

）A． B．C． D．以上都可能【答案】C【解析】因为fx在上是减函数，所以，若，则，故选：C.4．（2026·高一·浙江·期中）设，若不等式fx≥0的解集为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题设，则，故，所以，，，且，所以.故选：D5．已知函数的图象上一点及邻近一点，则（

）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，故选：C．6．（2026·高二·北京·期末）对于以下四个函数：①y=x；②；③；④y=1x．在区间上函数的平均变化率最大的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【解析】①，②，③，④．故选：C．7．（2026·高一·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，fx在R当a=0时，，满足题意；当时，需满足，解得，所以.综上，.8．（2026·高一·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数m的最小值是（

）A． B． C．3 D．−3【答案】A【解析】当时，由，若时，，即，故；若时，，即，故；此时；当时，由，所以或，即或（舍），若时，，即，显然无解；若时，，即，故；此时；综上，实数m的取值范围是.故实数m的最小值是.9．（2026·高一·湖南·阶段检测）设函数，若，且x1≠x2，使成立，则实数a的取值范围是（

A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，函数，对称轴为x=a2，当，即时，此时，使得，满足题意；当，即时，fx在上单调递增，在上也单调递增，要想，且x1≠x2，使得，则，得，而，矛盾.综上.10．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数，若对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，，当时，，此时，当时，，所以fx的最大值为3因为对任意x∈R恒成立，所以，即，整理得，用数轴穿根法解得或，即实数m的取值范围是．11．（2026·高一·四川宜宾·期中）若函数是R上的单调函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵函数fx在R上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减，∴函数fx在R上不可能单调递减，故y=fx在∴，解得，∴a的取值范围是．12．（2026·高一·河南·阶段检测）已知函数，且对任意的（且a<b），总存在，使得，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，，对任意，存在使得，即（因为，区间内的数同号，乘积为正），所以必须在区间内，因此，对于所有，有，由于a<b且，分两种情况讨论：若a>0，则x>0，函数递减，值域为，需满足，即且，得且，故；若，则x<0，同样递减，值域为，需满足，需满足且，同样得.因此，.13．（多选题）（2026·高一·河北唐山·期中）已知函数，则（

）A． B．C．fx在区间0,1上单调递减 D．fx在区间【答案】ABD【解析】，定义域为，选项A：因为，所以A正确。选项B：因为，所以B正确。选项C：，因为函数在0,1上单调递减，且此时y>0，所以函数在0,1上单调递增，所以C错误。选项D：由A知fx是偶函数，f由上可知：fx在0,1所以当x∈0,1时，，又因为，fx的图象关于纵轴对称，所以fx在区间上的最小值为1，所以D正确.14．（多选题）（2026·高一·江西吉安·阶段检测）下列选项正确的是（

）A．f(x)的定义域为，则的定义域为B．函数的值域为C．函数在的值域为D．函数的值域为【答案】ABC【解析】对于A，f(x)的定义域为，则在中，，解得，即的定义域为，A正确；对于B，函数，当且仅当时取等号，则函数的值域为，B正确；对于C，在上递减，，则函数在的值域为，C正确；对于D，函数，函数的值域为，D错误.15．（多选题）（2026·高一·重庆·阶段检测）定义，设，则下列结论正确的是（

）A．fxB．当，fx的最大值为1C．不等式的解集为D．fx的单调递减区间为【答案】BD【解析】根据定义，当时，，解不等式得，当时，，解不等式得或，因此，，作出函数fx的图象，如图所示，根据图象，可得fx根据图象得，当，fx的最大值为1，所以B正确；由，得或，解得：0≤x≤2或，得不等式的解集为，所以C错误；由图象得，fx的单调递减区间为0,1故选：BD.16．（多选题）（2026·高一·福建漳州·期末）定义域为的函数fx满足，则（

）A． B．fx为增函数C． D．【答案】ACD【解析】令，可得，即，A正确，假设存在常函数，此时满足，但函数不是增函数，因此B错误.所以，C正确，令,则,所以,当且仅当m=−1时等号成立，即可得，D正确，故选：ACD17．（2026·高一·上海浦东新·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】因为函数在0,1单调递减，在单调递增，又已知函数在区间上是严格增函数，所以，故答案为：.18．（2026·高一·广东揭阳·期中）已知函数为定义在上的单调函数，则a的取值范围是___________．【答案】【解析】因为函数在上