小学五年级数学上册《商的近似数》导学案（人教版）

小学五年级数学上册《商的近似数》导学案（人教版）

  一、教学指导思想与理论依据

  本课设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养为导向，深度融合建构主义学习理论与问题解决教学理念。教学不再将“商的近似数”视为孤立的计算技能，而是将其置于真实、复杂的问题情境中，引导学生经历“数学化”的过程。通过创设认知冲突，让学生在解决实际问题的需求中，自发地感受到精确值与近似值的辩证关系，从而主动建构“根据实际需要取商的近似数”的数学模型。教学过程强调跨学科视野，将数学与经济学、科学探究、社会生活紧密联系，培养学生数据意识、模型意识、应用意识与创新意识。在探究方法上，贯彻“理解-迁移-创造”的学习路径，不仅让学生掌握“四舍五入法”，更引导其批判性地思考不同情境下近似方法的多样性与合理性，实现从算法操作到策略思维的升华。

  二、教学背景分析（教材分析与学情分析）

  （一）教材分析：本节课位于人教版小学数学五年级上册第三单元《小数除法》中，是继“小数除以整数”、“一个数除以小数”、“循环小数”之后的关键内容。教材的编排逻辑清晰：首先通过“爸爸给王鹏买羽毛球”的实际情境引出计算19.4÷12，发现商除不尽，进而自然产生“求近似数”的需求；然后明确介绍“四舍五入法”求商的近似数的一般方法；最后通过“做一做”进行巩固。然而，高水平的设计需超越教材的单一情境与单一方法。本设计将教材作为知识起点，横向整合生活中丰富的应用场景（如货币结算、材料裁剪、数据统计、科学测量等），纵向链接已学的“积的近似数”与后续的“解决问题”，构建知识网络。同时，深入挖掘“根据需要求近似数”背后蕴含的数学思想，如逼近思想、模型化思想以及最优化思想。

  （二）学情分析：五年级的学生已经掌握了小数除法的计算方法，理解了小数除法的意义，并且在前面的学习中接触过用“四舍五入法”求小数的近似值以及“积的近似数”，这为本节课的学习奠定了知识和技能基础。他们的抽象逻辑思维正在发展，具备一定的观察、比较、分析和概括能力。然而，潜在的认知困难主要体现在三个方面：一是机械记忆“四舍五入”步骤，但对“为何要近似”及“近似到哪一位”缺乏深刻理解；二是容易混淆“求商的近似数”与“求积的近似数”在步骤上的异同，尤其在确定需要保留的位数时逻辑不清；三是面对复杂真实情境时，难以将实际问题抽象为数学问题，并灵活选择合适的近似策略（如“进一法”、“去尾法”的初步渗透）。因此，教学的关键在于创设富有挑战性的任务，引发学生的认知冲突，驱动其深度思考。

  三、学习目标

  基于以上分析，设定以下三维学习目标：

  1.知识与技能：在具体的问题情境中，理解求商的近似数的必要性和意义；熟练掌握用“四舍五入法”求商的近似数的一般方法，能根据要求或实际需要，正确、熟练地求出商的近似数；初步了解在解决实际问题时，可能需要用到“进一法”或“去尾法”。

  2.过程与方法：经历观察、比较、分析、归纳、交流等数学活动，在解决实际问题的过程中，体验“发现问题-提出需求-探索方法-应用解决”的完整探究过程；发展估算意识、数据分析和问题解决能力。

  3.情感态度与价值观：感受数学与日常生活的紧密联系，体会求商的近似数在解决实际问题中的价值；养成认真计算、周密思考、严谨求实的科学态度；在合作交流中体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。

  四、教学重难点

  教学重点：理解并掌握用“四舍五入法”求商的近似数的方法，能根据实际问题需要正确求出商的近似数。

  教学难点：理解求商的近似数的意义；能根据具体情境灵活确定需要保留的小数位数，并理解其合理性；初步感受解决问题策略的多样性。

  五、教学准备

  1.教师准备：制作交互式多媒体课件，包含核心问题情境动画、计算过程动态演示、分层练习题库及实时反馈系统。

  2.学生准备：课前完成关于“生活中哪些地方用到近似数”的微调查；复习小数除法的计算及“四舍五入法”求小数近似数的规则。

  3.环境准备：将教室桌椅调整为小组合作模式，每组4-6人，配备小白板、马克笔、学习任务单。

  六、教学过程实施

  （一）创设情境，引发冲突，明确需求（预计用时：8分钟）

    师：（课件动态出示情境一：精算困境）同学们，学校体育组的李老师遇到了一个难题。他用97元去购买单价为8元的跳绳，请问最多可以买多少根？还剩多少钱？请大家快速口算或笔算。

    生：97÷8=12.125（根）。可以买12.125根？可是跳绳不能买零点几根啊！

    师：是的，结果是一个小数，但商品数量必须是整数。这个12.125根在现实中意味着什么？我们该如何回答李老师的问题？

    （学生讨论，明确：在购物付款时，钱可以精确到分，但商品数量通常取整数。这里需要求商的近似数，而且是整数。）

    师：（课件出示情境二：测量局限）科学课上，小明用一根2米长的绳子测量桌子的周长，绕了4圈后绳子还剩0.4米。请问桌子的周长是多少米？（2-0.4）÷4=1.6÷4=0.4（米）。这个结果恰好是有限小数。但如果绳子剩0.38米呢？（2-0.38）÷4=1.62÷4=？

    生计算：1.62÷4=0.405（米）。

    师：得到0.405米，即40.5厘米。而你们手中的直尺最小刻度通常是1毫米（0.1厘米），你能精确量出0.5厘米吗？在实际测量和记录中，我们通常怎么办？

    生：需要根据测量工具的精度，把结果保留到厘米或者毫米，也就是取近似数。

    师：（总结冲突，揭示课题）通过这两个例子，我们发现，在解决实际问题时，由于现实条件的限制（如物品的完整性、测量工具的精度、货币的单位等），很多时候我们无法或不需要得到除法计算完全精确的商，而只需要一个足够接近精确值的、符合实际需求的近似数。这就是我们今天要深入探究的课题——如何根据实际需要，求出“商的近似数”。（板书核心课题）

  （二）合作探究，建构方法，理解本质（预计用时：20分钟）

    活动一：聚焦核心例题，初探“四舍五入法”。

    师：回到李老师的购物问题。97元买8元一根的跳绳，计算结果是12.125。如果只考虑可以买完整的跳绳，我们通常说“大约可以买12根”。这个“12”是怎么来的？

    生1：因为0.125小于0.5，所以舍去，直接取整数部分12。

    生2：就是看十分位是1，比5小，所以“四舍”，保留整数就是12。

    师：很好，大家联系了之前求小数近似数的“四舍五入法”。（板书：97÷8≈12（根）看十分位，四舍）那么，如果问题是：平均每根跳绳花了多少钱？（结果保留两位小数，即精确到分）又该怎么求呢？

    生列式计算并汇报：97÷8=12.125，保留两位小数，就看第三位千分位，千分位是5，要“五入”，所以百分位的2变成3，结果是12.13元。（板书：97÷8≈12.13（元）看千分位，五入）

    师：请同学们对比这两个问题。同样是97÷8，为什么求出的近似数不同？一个≈12，一个≈12.13？

    （小组讨论，派代表发言）

    组1：因为第一个问题是求数量，必须保留整数；第二个问题是求单价，钱可以算到分，所以要保留两位小数。

    组2：关键是要看题目的要求，或者根据实际情况来决定保留几位小数。

    师：精彩！你们的发现至关重要。求商的近似数，第一步不是盲目计算，而是——“明确需求”（板书）。这个需求可能来自题目的明确要求（如“保留两位小数”），也可能来自对现实情境的分析（如“跳绳必须整根买”）。需求决定了我们要将商保留到哪一位。

    活动二：总结计算步骤，辨析算法异同。

    师：现在，请以97÷8≈12.13为例，同桌两人合作，用规范的语言梳理一下，用“四舍五入法”求商的近似数，具体分几步操作？

    （学生讨论，师生共同提炼步骤，教师板书）

    步骤一：审清需求。分析题目要求或实际情况，确定需要保留的小数位数（如：保留两位小数）。

    步骤二：除到所需位数下一位。根据需求，计算时要比需要保留的位数多除出一位（如：保留两位，则除到小数点后第三位）。

    步骤三：应用“四舍五入”。观察多除出的那一位数字，按照“四舍五入”的原则进行舍取。

    步骤四：写出近似值。注意使用约等号“≈”。

    师：我们之前学过“积的近似数”，现在又学了“商的近似数”。请大家思考：它们在求法上有什么相同点和不同点？

    （引导学生对比讨论）

    相同点：都要先根据要求或需要确定保留位数；都用“四舍五入法”进行舍取。

    不同点：“积的近似数”是先精确算出乘积，再对结果进行四舍五入；而“商的近似数”在计算过程中就要有意识地进行“控制”——除到比保留位数多一位即可，不必完全除尽（除非恰好除尽）。这体现了除法计算过程的特殊性。

    活动三：深化理解，探究“需求决定位数”。

    师：（出示探究题）2.5千克大米共18.75元。请问：（1）每千克大米多少钱？（2）如果小明只有7元钱，他最多能买多少千克这样的大米？（结果均请根据生活实际合理确定近似程度）

    学生分组探究。

    对于（1）：计算18.75÷2.5=7.5（元/千克）。价格通常表示到“角”或“分”。有小组认为保留一位小数（7.5元）即可，表示7元5角；有小组认为现在电子支付普及，可以精确到分，即7.50元。教师引导讨论，两种表示在实际中均可，但7.50元更精确。

    对于（2）：计算7÷7.5≈0.9333…（千克）。这是求重量。学生争论：是保留两位小数（0.93千克）还是三位小数（0.933千克）？教师引导：日常称重，家用电子秤通常精确到克（0.001千克），但买菜时卖家往往精确到“两”（0.05千克）或“50克”。从最贴近生活的“精确到两”考虑，0.933千克约合1斤8两6钱，过于精细。更实际的做法可能是保留两位小数（0.93千克，即1斤8两6，口头常说“一斤八两多”），甚至为了便于称量，直接说“大约0.9千克”或“九两多”。这个过程没有唯一答案，核心是让学生激烈辩论，体会到“需求决定位数”的深刻内涵——这个需求包括信息用途、计量工具精度、社会习惯等综合因素。

  （三）分层应用，拓展策略，解决问题（预计用时：12分钟）

    基础层（巩固“四舍五入”，熟练技能）：

    1.计算下面各题，按要求保留小数位数。

    （1）4.8÷2.3（保留一位小数）（2）14.6÷3.4（保留两位小数）

    （3）25÷1.5（保留整数）（4）3.81÷7（精确到千分位）

    （学生独立完成，重点强调计算时除到指定位数下一位即可，并规范书写。）

    2.判断下列近似数的求法是否正确，并说明理由。

    （1）一瓶饮料1.5升，4.8元。求每升价格（保留两位小数）：4.8÷1.5=3.2≈3.20（元）。

    （错，3.2是精确值，不应使用约等号，应为3.20元，这是为了统一格式添加的末尾0，不改变大小）。

    （2）150本书捆成6捆，求平均每捆的本数（保留整数）：150÷6=25≈25（本）。

    （错，25是精确值，应直接写25本，无需约等号）。

    综合层（联系实际，灵活取舍）：

    3.一套童装用布2.2米，50米布最多可以做多少套这样的童装？

    学生计算：50÷2.2≈22.7272…

    讨论：这里如果“四舍五入”是约23套，但布料做22套后剩下的布不够做一套完整的，所以实际只能做22套。引出“去尾法”的概念（板书：去尾法——不管多余部分是否满5，都舍去）。让学生对比“四舍五入”与“去尾法”在此情境下的不同结果，理解“去尾法”适用于保证物品完整性的情境。

    4.一个油桶最多装4.5千克油，要装60千克油，需要准备多少个这样的油桶？

    学生计算：60÷4.5≈13.333…

    讨论：如果“四舍五入”是13个，但13个桶装不完，必须用14个桶。引出“进一法”的概念（板书：进一法——不管多余部分是否满5，都向前一位进一）。理解“进一法”适用于确保容量足够、数量充足的情境。

    拓展层（跨学科应用，发展思维）：

    5.（科学探究）科学家测算，一种节能灯每小时耗电0.012度。实验室记录了该灯总共亮了85小时，请估算总耗电量（结果保留适当的小数位数，并说明理由）。

    计算：0.012×85=1.02（度）。这里虽然是乘法，但涉及估算思维。讨论保留位数：电能表通常精确到0.01度（即百分位），所以1.02度是合适的。若题目改为“根据电费单价0.6元/度估算电费”，则结果为0.612元，通常保留到分（百分位），即0.61元（四舍五入）。

    6.（数据分析）班级植树活动，36人3.5小时共植树94棵。求平均每人每小时植树多少棵？（为便于进行班级间的效率比较，请保留一位小数）。

    计算：先求平均每人植树：94÷36≈2.611…（棵/人）；再求平均每人每小时植树：2.611…÷3.5≈0.746…（棵/人·时）。保留一位小数约为0.7棵/人·时。引导学生讨论这个近似数的意义，以及在比较分析中的价值。

  （四）回顾反思，总结升华，布置任务（预计用时：5分钟）

    师：同学们，回顾今天的学习历程，我们从一个现实冲突开始，经历了发现问题、探究方法、应用拓展的过程。现在，请大家静心思考，并围绕以下问题在小组内分享你的收获与困惑：

    1.求商的近似数与求积的近似数，最核心的区别是什么？（计算过程的控制）

    2.决定商的近似数保留位数的根本因素是什么？（实际问题的需求）

    3.除了“四舍五入法”，我们还接触到了哪两种近似方法？它们分别适用于什么情况？（“去尾法”、“进一法”，分别适用于保证物品完整和确保数量足够的情境）

    4.在解决一个复杂实际问题时，你认为应该如何思考，才能合理求出并应用商的近似数？

    （学生分享后，教师进行总结性提升）今天的学习，我们掌握的不仅仅是一种计算技巧，更是一种数学眼光和数学思维。我们用数学的眼光发现了生活中“近似”的普遍性与必要性；用数学的思维分析了“如何近似”才合理。数学源于生活，又服务于生活。求商的近似数，本质是在精确数学与复杂现实之间架起一座智慧的桥梁，它要求我们既要有严谨的计算能力，又要有灵活的实际判断力。

    分层作业布置：

    基础性作业（必做）：教材“做一做”及练习八相关基础题。重点巩固“四舍五入法”的规范步骤。

    实践性作业（必做）：完成一份“生活中的近似数”微型调查报告。选择一种生活场景（如超市购物小票、家庭水电费账单、地图比例尺测算距离、食谱材料配比等），找出其中用到“商的近似数”的例子，并分析其近似方法和理由。

    探究性作业（选做）：挑战题——“最优化包装”。已知一种长方体盒子的长、宽、高，以及一批物品的总体积。请设计用最少的盒子装下所有物品的方案。在计算过程中，你会如何运用今天所学的关于“近似数”的知识和思维方法？

  七、板书设计

    （左侧主区域）

    课题：商的近似数——基于实际需求

    核心问题：当“精确”遇到“现实”……

    探究主线：

    需求决定位数→计算控制过程→方法服务实际

    （例题区）

    例1：97÷8=12.125

      需求1：求可买根数（整）→≈12（根）看十分位（1<5）舍

      需求2：求单价/元（两位）→≈12.13（元）看千分位（5=5）入

    （方法区）

    “四舍五入法”步骤：

      1.审需求，定位数。

      2.除到下一位。

      3.看数位，四舍五入。

      4.写近似，用≈。

    （策略区）

    联系对比：积的近似数vs.商的近似数

    拓展策略：去尾法（保完整）←情境分析→进一法（保足够）

    （右侧副区域，用于课堂生成性内容记录）

    学生疑问区：

    思维火花区：（如学生提出的独特见解、争论焦点）

  八、教学特色与创新反思

    本设计的特色与创新主要体现在以下五个方面：第一，立意高远，以核心素养发展为统领。教学设计超越了单纯的知识传授和技能训练，将“商的近似数”作为培养学生数据意识、模型意识、应用意识和创新意识的载体。通过真实、复杂的问题情境，引导学生理解数学知识的本质、思想方法及其价值，实现了从“学科教学”到“学科育人”的转变。第二，结构优化，体现深度学习的完整循环。教学过程遵循“情境冲突-自主探究-方法建构-迁移应用-反思升华”的逻