慧眼看重叠 妙思画圈圈-集合思想初步认识教学设计（人教版三年级上册）

慧眼看重叠妙思画圈圈——集合思想初步认识教学设计（人教版三年级上册）一、教学内容分析【基础】“重叠问题”是人教版小学数学三年级上册第九单元“数学广角——集合”的核心内容。本课是在学生已经积累了一定的分类思想与计数经验的基础上，首次系统性地接触集合这一基本的数学思想方法。从知识脉络上看，学生在低年级的学习中已经经历过按照某种标准对事物进行分类的过程，如“把同一类的物体圈起来”，这实际上就是集合表示的雏形；在数与计算的学习中，也渗透了对应思想。然而，对于两个集合之间存在的交集关系，特别是当两个集合有公共元素时，如何计算并集的元素个数，这对三年级学生而言是一个全新的认知挑战。【重要】从数学思想方法的视角审视，本课不仅仅是教会学生解答几道关于重复人数的题目，其深层价值在于引导学生经历从生活经验抽象出数学模型的过程，感悟集合思想，尤其是交集与并集的概念。教材编排了“跳绳与踢毽比赛人数统计”这一典型的生活情境，旨在通过解决“两项比赛一共有多少人”这一认知冲突，驱动学生主动探索更为直观、简洁的表达方式，最终引出韦恩图（Venn图），并借助这一直观模型理解各部分的意义，掌握计算总数的方法15。这一内容的学习，为学生后续学习公因数与公倍数、概率中的事件关系等更为抽象的数学知识奠定了重要的思维基础。【高频考点】从历年教学评价与质量监测来看，本课的核心考点主要体现在三个层面：一是基础层面，要求能够识别生活中的重叠现象，并能准确指出集合中的元素；二是理解层面，要求读懂韦恩图，能清晰阐述图中每一部分（只A、只B、既A又B、既非A也非B）所表示的具体含义；三是应用层面，要求能够运用“两部分相加再减去重叠部分”的方法解决简单的实际问题，并能根据不同的问题情境（如包含关系、并列关系）灵活应对。二、学情分析【基础】三年级的学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期。他们对于“数数”有着丰富的生活经验，当面对“跳绳9人，踢毽8人”时，绝大多数学生的第一反应就是“9+8=17”，这是基于无重叠假设下的直观加法模型。这种基于已有经验的判断是真实且宝贵的，它构成了本课教学的现实起点。【难点】然而，学生的认知冲突恰恰由此产生：当发现名单中有三个人既参加了跳绳又参加了踢毽时，原有的加法模型受到了冲击。如何修正这个模型？如何清晰地表达出这三个人既不“只属于”跳绳，也不“只属于”踢毽，而是同时属于两个群体？这对于学生来说是思维上的难点3。他们很难自发地想到用两个交叉的圆圈来表示这种关系，因为传统的分类活动往往是界限清晰的，而交叉关系则打破了这种“非此即彼”的认知习惯。因此，教学的难点就在于如何帮助学生突破这种思维定势，自主建构或深刻理解韦恩图的合理性。【热点】当前教育改革强调“真问题”与“深度学习”。本课的教学设计应立足于学生的真实困惑，将“17人”与“实际人数”之间的矛盾放大，作为驱动学生探究的内生动力。让学生在辩论、操作、调整的过程中，亲历知识的“再创造”过程，而非简单地接受教师灌输的“韦恩图”这一现成工具27。三、教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》中关于“综合与实践”领域及核心素养导向的要求，结合具体的教学内容与学情，本课的教学目标设定如下：1.【基础】知识与技能：学生能够借助生活实例，初步体会集合思想。能理解韦恩图中各部分的含义（特别是交集部分），并能用准确的数学语言进行描述。会列式解决含有重复部分的集合总数问题，理解算法中“减去重复部分”的道理。2.【重要】过程与方法：通过创设认知冲突，引导学生在操作、观察、比较、交流等活动中，经历韦恩图的建构过程。培养学生善于观察、勤于思考、乐于表达的学习习惯，发展初步的建模意识和几何直观能力6。3.【非常重要】情感态度与价值观：让学生感受数学与生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的价值与简洁美。在探究过程中，培养学生敢于质疑、善于合作、勇于创新的科学精神。四、教学重难点1.【教学重点】理解韦恩图的产生过程及其各部分的具体含义，能借助韦恩图分析数量关系，解决简单的重叠问题。2.【教学难点】理解交集部分的双重属性（既属于A又属于B），体会集合思想，能用自己的方式解释“为什么要减去重复部分”。五、教学准备1.教具：多媒体课件（包含运动会报名情景、动态演示韦恩图形成过程）、磁性黑板、两色磁力扣、带有学生姓名的磁性卡片（或打印的名帖）。2.学具：学习任务单（含空白圆圈、姓名贴纸）、水彩笔。六、教学过程（一）唤醒经验，制造冲突——从“熟悉”走向“陌生”1.情境导入，引发猜想课件出示学校趣味运动会报名场景：三（1）班参加跳绳比赛的同学有9人，参加踢毽比赛的同学有8人。教师提问：“根据这两条信息，你能提出一个数学问题吗？”引导学生提出“参加这两项比赛的一共有多少人？”学生根据已有经验，脱口而出：“17人。”（板书：9+8=17（人））2.呈现名单，制造冲突教师出示具体的参赛学生名单（表格形式）：跳绳：杨明、陈东、刘红、李芳、王爱华、马超、丁旭、赵军、徐强踢毽：刘红、于丽、周晓、杨明、朱小东、李芳、陶伟、卢强教师引导：“请大家仔细观察这份名单，再算一算，参加这两项比赛的总人数真的是17人吗？”（给予学生充分观察、对比的时间）学生很快发现：“不对！不是17人。因为刘红、杨明、李芳三个人在两个项目里都出现了。”教师顺势追问：“看来，我们的计算和实际名单对不上号了。问题出在哪儿？”（引导学生理解：有人重复参加了两个项目，我们数了两次）3.揭示课题，明确任务教师总结：“像这样，在一件事情中，有部分人同时参与了两项活动，这种现象在生活中很常见，我们把它叫做‘重叠问题’。（板书课题：重叠问题）今天，我们就来当一回‘小数学家’，一起研究怎样能既清楚又明白地解决这类重叠问题。”1（二）自主探究，建构模型——从“模糊”走向“清晰”1.初次尝试，个性表达教师布置探究任务：“同学们，这份名单现在有点乱，重复的人藏在了里面。你能想一个好办法，重新整理一下这份名单，让人一眼就能看出‘哪些同学只参加跳绳’、‘哪些同学只参加踢毽’、‘哪些同学两项都参加了’吗？”学生以小组为单位，利用老师提供的姓名贴纸和空白纸，尝试着画一画、摆一摆、连一连。教师巡视，收集有代表性的学生作品。2.展示交流，碰撞思维教师将收集到的典型作品依次呈现在黑板上，邀请小作者上台介绍自己的想法。【预设作品一】：把名单重新抄写，用连线的方式把重复的姓名连起来。【预设作品二】：画两个分开的圆圈，左边圆圈里写跳绳的人，右边圆圈里写踢毽的人，但重复的名字（如杨明）在两个圈里都写了。【预设作品三】：尝试把两个圆圈画在一起，但只是简单地并排放置，重复的名字不知该放哪里，只好在旁边标注。【预设作品四】：创造性地画出了两个部分重叠的圆圈，将三项都参加的人名写在中间重叠的区域，左右两边分别写只参加一项的人名。在交流过程中，教师引导学生对作品进行评价：“你觉得哪种表示方法最好？为什么？”通过辩论，学生逐渐形成共识：1.3.重复的名字不能写两遍，因为那是同一个人。2.4.需要有一个特别的位置，来安放这些“两边都参加”的人。3.5.这个位置既要能看出他们属于跳绳队，也要能看出他们属于踢毽队。6.动态演示，引出韦恩图教师抓住学生思维的火花，特别是能画出重叠圆圈的小组，给予高度评价，并借助多媒体进行动态演示：1.7.先出现一个红色的椭圆，表示“跳绳的同学”。（将跳绳的名单贴入，但暂时只贴有重复的几个人和部分只跳绳的人，留出悬念）2.8.再出现一个蓝色的椭圆，表示“踢毽的同学”。（同样操作）3.9.接着，让两个椭圆缓缓移动，逐渐靠拢，最终有一部分重合在一起。4.10.在重合的瞬间，将原本分别属于两个圈的“杨明、刘红、李芳”这三张姓名卡片合并，放入重叠的阴影区域。教师用充满惊奇与欣赏的语气说：“同学们，你们太了不起了！你们刚才想到的方法，和一百多年前英国的大数学家约翰·韦恩想到的一模一样！这种图，后来就用他的名字来命名，叫做‘韦恩图’，也叫‘集合图’。”（板书：韦恩图）1511.解读模型，深化理解教师指着最终的韦恩图，引导学生逐部分解读，并要求用规范的语言表达：1.12.“左边这整个红色圈表示什么？”（参加跳绳的所有同学）2.13.“右边这整个蓝色圈表示什么？”（参加踢毽的所有同学）3.14.【非常重要】“中间重叠的这一部分表示什么？”（既参加跳绳又参加踢毽的同学。板书：既……又……）4.15.【重要】“那左边这个月牙形的部分，也就是红色圈里去掉中间部分，表示什么？”（只参加跳绳的同学。板书：只……）5.16.“右边这个月牙形部分呢？”（只参加踢毽的同学。）6.17.“如果我们在两个圈的外面写上‘王强’，他应该站在哪里？”（哪里都不站，因为他什么都没参加。）通过层层递进的追问，辅以手势比划，确保每一个学生都能清晰地理解韦恩图中每一个区域所对应的实际意义。这是后续列式计算的基础。（三）数形结合，解决问题——从“直观”走向“抽象”1.独立列式，算法多样教师指着韦恩图提问：“现在，根据这个图，你能列算式算出三（1）班参加比赛的一共有多少人吗？先自己想一想，然后在小组里交流你的想法。”学生独立思考，小组交流后，全班汇报。教师相机板书学生出现的典型算式，并引导学生结合图解释算理。【预设算法一】：6+3+5=14（人）1.2.追问：“6、3、5分别指图中的哪一部分？”（学生上台指：6是左边的月牙，3是中间重叠部分，5是右边的月牙）2.3.小结：把三部分直接加起来。【预设算法二】：9+83=14（人）【高频考点】3.4.追问：“9+8得到的是什么？为什么要减去3？”（9+8是把跳绳的9人和踢毽的8人合起来，但中间重叠的3个人算了两次，所以要去掉一次。）4.5.教师用课件动画演示：红色圈的点与蓝色圈的点逐一汇合，当中间部分闪烁并重复计数时，再用一个“删除”的动画去掉一个3。【预设算法三】：9+(83)=14（人）5.6.追问：“83求的是什么？”（只参加踢毽的人数。）6.7.小结：先算出只踢毽的，再加上跳绳的全部。【预设算法四】：8+(93)=14（人）道理同上。8.沟通比较，提炼方法教师引导学生观察这些算式：“同学们想出了这么多方法，真了不起！你们仔细观察，这些方法之间有什么共同的地方？”引导学生发现：无论哪种方法，都关注到了中间那个重叠的部分。在计算总数时，重叠的部分只能算一次。教师总结核心思想：“当我们把两个部分合起来时，如果里面有重复的，一定要把重复的去掉一个，才能得到准确的总数。这就是解决重叠问题的基本策略。”（板书核心关系式：A+B重叠部分=总数）（四）分层练习，应用拓展——从“课内”走向“生活”1.【基础练习】看图填空课件出示简单的韦恩图（例如：喜欢画画的和喜欢唱歌的动物图），让学生根据图中各部分的数量，独立列式计算总数，并互相说一说算式的含义。旨在巩固对韦恩图的基本认识5。2.【重要练习】解决生活中的问题出示书本“做一做”：商店两天进货情况。第一天进了5种水果，第二天进了7种水果，两天都进的有4种。商店两天一共进了多少种水果？要求学生先画韦恩图（或脑中构图），再列式解答。重点交流：哪部分是重叠的？为什么这样列式？3.【难点突破】可能性探究在基本题的基础上进行变式：三（2）班参加跳绳的有9人，参加踢毽的有8人。但这个班参加这两项比赛的总人数可能是多少人呢？这是一个开放性问题，旨在引导学生思考重叠部分的不同可能性。学生讨论后得出：如果没有重叠，总数是17人；如果重叠部分最大（即踢毽的8人全部包含在跳绳的9人里），总数是9人。所以，总数可能是9到17之间的整数。这一环节极大拓展了学生的思维空间，让学生对交集的变化有了更深刻的理解7。4.【拓展视野】寻找生活中的重叠引导学生观察生活：教室里，既戴眼镜又戴红领巾的同学；既喜欢吃苹果又喜欢吃香蕉的同学……让学生用今天所学的知识来描述身边的这些现象，感受数学的应用价值。（五）回顾整理，反思提升——从“学会”走向“会学”1.全课总结教师引导学生回顾：“今天这节课，我们研究了什么问题？我们是用什么方法来研究的？你有哪些收获和体会？”学生从知识、方法、情感等多个角度畅谈收获。2.教师提升“同学们，今天我们不仅学会了计算重叠问题，更重要的是，我们像数学家一样，经历了一场思维的旅行。当我们遇到‘混乱’的信息时，我们通过画图（韦恩图）的方式，让它们变得‘有序’；当我们发现‘重复’时，我们懂得了要‘减去’多余的。这种‘韦恩图’的思考方式，能帮助我们解决生活中很多有趣的问题。希望同学们课后能继续用数学的眼光去观察世界，发现更多数学的奥秘。”七、板书设计慧眼看重叠妙思画圈圈——集合思想初步认识(左侧贴磁性姓名卡片，(中间重叠区域贴：(右侧贴磁性姓名卡片，代表只跳绳的6人)杨明、刘红、李芳代表只踢毽的5人)【既……又……】╭──────────╮╭──────────╮│只跳绳的同学││只踢毽的同学││（6人）││（5人）│╰──────────╯╰──────────╯↖↗╲╱╲╱╭─────╮│两项都参加│