广东省广州市海珠区南武中学2025-2026 学年八年级下学期期中数学试卷

广东省广州市海珠区南武中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷一、选择题:本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列哪个图形不是凸四边形的是()A． B．C． D．2．如图的伸缩门，其原理是（）A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线3．2×A．6 B．6 C．8 D．54．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是()A．9 B．8 C．7 D．65．如图，一棵大树在此次强台风中在距地面6m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为8m，则这棵大树在折断前的高度为()A．16m B．17m C．19m D．20m6．如图，四边形ABCD是菱形，∠BCD=60°，A．3 B．4 C．3 D．27．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是()A．12 B．13 C．14 D．158．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF=12AOA．1 B．2 C．4 D．39．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点(不与点A、B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC=8，BD=6，则EF的最小值为()A．3 B．2 C．125 D．10．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30A．23 B．3 C．3π D．二、填空题:本题共6小题，每小题4分，共24分.11．若x−2有意义，则x的取值范围是.12．已知n=7−1，则代数式n213．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AC=2，BC=4，则CD=14．当2<x<3时，化简：|x−3|15．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c).在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，若16．如图，正方形ABCD的边长为6，E、F分别为AB、AD边上的动点，且AF=BE，连接EF，将EF绕点E顺时针旋转60°得到EG，连接CG，则CG的最小值为三、计算题:本大题共1小题，共6分.17．计算：（1）2+（2）15四、解答题:本题共8小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且∠AEB=∠CFD.求证：四边形BFDE是平行四边形.19．已知x=3+2（1）x+y和xy的值；（2）求x220．如图，四边形ABCD中，BD为对角线，∠ABD=90°，∠ADB=30°，AD=2，CD=621．如图所示，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=6，BC=10，求BF和EC的长.22．观察下列各式：①1+13=21（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n(n≥1（3）请证明(2)中的结论.23．在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法.（1）【应用场景1】①如图1，在数轴上分别找出表示数0的点O，表示数2的点A，AB⊥OA，AB=1，以点O为圆心，OB的长为半径作弧，则弧与数轴的交点P表示的数是.②直接写出△ABP的面积=.（2）【应用场景2】在图2中，设A(x1,y1)，B(x2,y2AB=①平面直角坐标系中有两点M(−3,2)，N(−5②求代数式x224．如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，∠ACB=∠ABD=∠ADB=4（1）当AB=2时，BD的长为；（2）求证：2AC=BC+CD（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2、AM25．如图，BD为正方形ABCD的对角线，过点C作CF∥BD，在CF上取点E，连接BE，且BE=BD，过点D作DF∥BE交CF于点F.（1）求证：四边形BDFE为菱形；（2）求∠EBC的度数；（3）当AB=t时，求代数式1t+

答案解析部分1．【答案】D【知识点】平面图形的初步认识【解析】【解答】解：A是凸四边形，不符合题意；

B是凸四边形，不符合题意；

C是凸四边形，不符合题意；

D不是凸四边形，符合题意；故答案为：D【分析】根据凸四边形的定义逐项进行判断即可求出答案.2．【答案】B【知识点】四边形的不稳定性【解析】【解答】解：如图的伸缩门，其原理是四边形的不稳定性，故选：B．

【分析】根据四边形的性质（不稳定性）结合题意即可求解。3．【答案】A【知识点】二次根式的乘法【解析】【解答】解：2故答案为：A【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.4．【答案】B【知识点】多边形内角与外角【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n

由题意可得：

n−2×180°=3×360°

故答案为：B【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.5．【答案】A【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型【解析】【解答】解：由题意可得：

BC=6，AB=8

∴AC=BC2故答案为：A【分析】根据勾股定理即可求出答案.6．【答案】D【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质【解析】【解答】解：如图，设AC交BD于点O

∵四边形ABCD为菱形，∠BCD=60°，AB=2

∴AC⊥BD，∠BCO=30°，BC=AB=2

∴BO=12BC=1

∴OC=BC2−BO2=3

7．【答案】B【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题【解析】【解答】解：将台阶展开

∵AC=3×3+1×3=12，BC=5

∴AB=A故答案为：B【分析】根据勾股定理即可求出答案.8．【答案】B【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AC=8

∴BD=AC=8

∴OD=12BD=4

∵点E是边AD的中点，AF=12AO故答案为：B【分析】根据矩形性质可得BD=AC=8，OD=19．【答案】C【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD，OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3

∴AB=OA2+OB2=5

连接OP

∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F

∴四边形OEPF是矩形

∴EF=OP故答案为：C【分析】根据菱形性质可得AC⊥BD，OA=OC=110．【答案】A【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；圆的面积【解析】【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4

∴BC=12AC=2，AB=32AC=23

∴S阴影=S半圆故答案为：A【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得BC，AB，再根据割补法，结合半圆，三角形面积即可求出答案.11．【答案】x≥2【知识点】二次根式有无意义的条件【解析】【解答】解：由题意可得：

x-2≥0

解得：x≥2故答案为：x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.12．【答案】7【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值【解析】【解答】解：n故答案为：7【分析】根据完全平方公式化简，再将n值代入即可求出答案.13．【答案】5【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：由题意可得：

AB=AC2+BC2=25故答案为：5【分析】根据勾股定理可得AB，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.14．【答案】1【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数【解析】【解答】解：∵2<x<3

∴x-3<0，x-2>0

∴|故答案为：1【分析】根据绝对值，二次根式化简，再计算加减即可求出答案.15．【答案】3【知识点】三角形的面积【解析】【解答】解：由题意可得：

p=a+b+c2=故答案为：3【分析】根据三角形面积公式代值计算即可求出答案.16．【答案】92【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS【解析】【解答】解：取正方形对角线CA的中点O，连接OB、OE、OF，由旋转的性质可得EF=EG，∠FEG=60°，因此∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠FAO=∠EBO=45°，又∵AF=BE，∴ΔFAO≅ΔEBO (∴OF=OE，∠FOA=∠EOB。∵∠EOB+∠AOE=∠BOA=90∴∠FOA+∠AOE=∠FOE=90即ΔEOF为等腰直角三角形。过点E作线段FG的垂线，垂足为H，∵ΔEFG是等边三角形，∴EH为FG的垂直平分线，且∠GEH=30结合等腰直角ΔEOF的对称性可知，点O在直线EH上，且OH=EH=1由正方形边长AB=AD=6，且BE=AF，可得AE+AF=AE+BE=AB=6；结合∠EAF=90°、OE=OF与∠EOF=90因此AE=AF=3。在RtΔAEF中，由勾股定理得：EF=∴EH=EF在RtΔEHG中，∠EGH=30∴HG=3∴OG=HG−OH=3正方形对角线CA=62+根据两点之间线段最短，当O、G、C三点共线且点G落在线段OC上时，CG取得最小值，此时：CG故答案为：9【分析】本题综合考查正方形的性质、图形旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及利用三点共线求线段最值的几何方法。首先根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等、对应夹角等于旋转角，由EF绕点E顺时针旋转60°得到EG，可得EF=EG且∠FEG=60°，再依据“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”，判定ΔEFG为等边三角形，为后续线段长度推导提供基础。为确定动点G的参考定点，选取正方形对角线CA的中点O，利用正方形对角线相等且互相平分、对角线平分一组内角的性质，得到OA=OB、∠FAO=∠EBO=45°的条件，结合题目给出的AF=BE，通过边角边判定定理证明ΔFAO与ΔEBO全等；由全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，推出OF=OE，且∠FOE与正方形对角线夹角∠BOA度数相等，即∠FOE=90°，由此确定ΔEOF为等腰直角三角形。结合等边三角形“三线合一”的性质，过点E作FG的垂线，该垂线同时是FG的垂直平分线与∠FEG的角平分线，再结合等腰直角三角形的对称性，可确定点O在这条垂线上，进而得到OH与EF的长度关系。结合正方形边长与AF=BE的条件，推导得出AE与AF的长度，在直角ΔAEF中利用勾股定理计算出EF的长度，再依次求出EH、HG的长度，最终得到线段OG的长度。最后依据两点之间线段最短的原理，当O、G、C三点共线且G在线段17．【答案】（1）解：原式=2+22−4（2）解：原式=15÷3×12【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减即可求出答案.

（2）根据二次根式的乘除即可求出答案.18．【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形

∴AD∥BC

∴∠AEB=∠EBF

∵∠AEB=∠CFD

∴∠EBF=∠CFD

∴四边形BFDE是平行四边形【知识点】平行四边形的判定与性质【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.19．【答案】（1）解：∵x=3+2，y=3−2，∴x+y=3+2+3−2=2（2）∵x+y=23，xy=1，x2−xy+y2

=x+y2−3xy

=232【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值【解析】【分析】（1）先根据二次根式的加减运算得到x+y，进而根据二次根式的乘除运算计算xy即可求解；（2）根据完全平方公式结合题意变换得到x2（1）解：∵x=3+2∴x+y=3xy=3∴x+y的值为23，xy的值为1（2）∵x+y=23，xy=1x===12−3=9．∴x2−xy+y20．【答案】证明：∵∠ABD=90°，∠ADB=30∴AB=1∴BD=3∵BD∴△BDC是直角三角形，∴∠BDC=∠ABD=90∴AB∥CD.【知识点】平行线的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理【解析】【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AB，BD，根据勾股定理逆定理可得△BDC是直角三角形，再根据直线平行判定定理即可求出答案.21．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形

∴CD=AB=6，AD=BC=10，∠B=90°，∠C=90°

∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处

∴AF=AD=10

∴BF=AF2−AB2=8

∴CF=BC-BF=2

设DE=x，则EF=x，CE=6-x

∵在Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2

∴22+(6-x)2=x【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得CD=AB=6，AD=BC=10，∠B=90°，∠C=90°，根据折叠性质可得AF，根据勾股定理可得BF，根据边之间的关系可得CF，设DE=x，则EF=x，CE=6-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.22．【答案】（1）4+（2）n+（3）解：证明：左边=n+====(故结论正确.【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律【解析】【解答】解：（1）∵①1+13=213②2+14=314③3+15=415

∴第④个等式：4+23．【答案】（1）5；5（2）解：①13；

②由题意可得：x2−6x+18−x2+2x+5=x−32+0−32−x−−12+0−22

∵x−32+0−32可表示为x轴上一点P(x，0)到点A(3，3)的距离

x−−12+【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：OA=2，AB=1

∴OB=OA2+AB2=5

∴OP=OB=5

∴点P表示的数为5

②∵AP=OP−OA=5−2

S△ABP=12AP·AB=12×5−2×1=5−22

故答案为：5−22

（2）①如图，作点N关于x轴的对称点N'，连接MN'交x轴于点P

根据对称性质可得N'(-5，-1)，PN=PN'，DN=DN'

∴PM+PN=PM+PN'，当点M，P，N'三点共线时，PM+PN'的值最小，为MN'的长

∴MN'=(x24．【答案】（1）2（2）证明：如图，作AE⊥AC，交CB延长线于点E，则∠CAE=90°，∴∠BAE+∠BAC=90°，∵∠CAD+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠CAD，∠ACB=45°，∠BCD=90°，∴∠E=90°-45°=45°，∠ACD=90°-45°=45°，∴∠E=∠ACD，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADC（AAS），∴EB=CD，AE=AC，∴CE=2∴2（3）解：BM2+2AM2=DM2．证明：过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，则∠MAF=∠BMF=90°，∵△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，∴∠AMB=∠ACB=45°，AM=AC，BM=BC，∴∠FMA=45°，∴△AMF是等腰直角三角形，∴AM=AF，MF=2∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，∴∠FAB=∠MAD，在△ABF与△ADM中，AF=AM∠FAB=∠MAD∴△ABF≌△ADM（SAS），∴BF=DM，在Rt△BMF中，BM2+MF2=BF2，∴BM2=（2AM）2=DM2，即BM2+2AM2=DM2【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；轴对称的性质；等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵∠ABD=∠ADB=45°

∴∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=90°

∴△ABD为等腰